On the list decodability of rank-metric codes containing Gabidulin codes
Wachter-Zeh在[42]中以及后来与Raviv [31]一起证明，如果$τ$足够大，则对于任何半径$τ$，Gabidulin码都不能被有效地列表解码。此外，他们还证明了Gabidulin码的参数有无穷多个选择，无法有效地进行列表解码。随后，在[41]中，这些结果被推广到广义Gabidulin码族和进一步的MRD-码族。在本文中，我们提供的范围内的秩度量码的列表大小包含广义Gabidulin码，以确定是否存在一个多项式时间的列表解码算法。我们检测几个家庭的秩度量码包含一个广义Gabidulin码作为子码，不能有效地列表解码的任何半径足够大，不能有效地列表解码的秩度量码的家庭。这些结果表明，秩度量码是$\mathbb{F}_{q^m}$ -线性的或包含（幂）广义Gabidulin码不能有效地列表解码的大值的半径。
2021-03-12 cs.IT math.CO math.IT
On the List Decodability of Self-orthogonal Rank Metric Codes
V. Guruswami和N.研究证明了在~ \cite{venkat2017}中，$\mathbb{F}_q$ -线性秩度量码的列表可译码性与随机秩度量码的列表可译码性相当。由于自正交秩度量码的潜在应用，本文重点研究了自正交秩度量码的列表译码。本文证明了速率为$R=(1-τ)(1-\frac{n}{m}τ)-ε$的$\mathbb{F}_q^{n\times m}$上的$\F_q$ -线性自正交秩度量码在分数半径$τ\in(0,1)$和小$ε\in(0,1)$下是列表可译码的，且列表大小至多取决于$τ$和$q$ $O_{τ, q}(\frac{1}ε)$ .此外，我们证明了速率达到Gilbert-Varshamov界的$\mathbb{F}_{q^m}$ -线性自正交秩度量码是$(τn, \exp(O_{τ, q}(\frac{1}ε)))$ -列表可译码的。
2018-01-22 cs.IT math.IT
On the list decodability of random linear codes with large error rates
众所周知，速率为Ω（ε^2）的随机q元码可列表解码到半径为（1 - 1/q - ε），列表大小为1/ε^2的数量级，概率为1 - o（1）。然而，直到最近，关于随机线性码的类似陈述仍然难以捉摸。在最近的一篇论文中，Cheraghchi，Guruswami和Velingker展示了随机线性码的列表可解码性与压缩感知的限制等距属性之间的联系，并使用这种联系证明了速率为Ω（ε^2 / log^3（1/ε））的随机线性码以恒定概率实现上述列表解码属性。我们改进了他们的结果，表明实际上我们可以取最优的速率Ω（ε^2），并进一步证明成功概率是1 - o（1），而不是常数。作为一个额外的好处，我们的证明相对简单。最后，我们将我们的方法扩展到更一般的线性码的合奏。作为一个例子，我们表明，随机打孔Reed-Muller码具有相同的列表解码性能的原始代码，即使当速率提高到一个常数。
2013-07-09 cs.IT math.IT
On the List-Decodability of Random (Linear) Sum-Rank Metric Codes
本文建立了和秩度量码的列表译码容量定理，并证明随机一般及随机 $\mathbb{F}_q$-线性和秩度量码在速率不超过容量时均以高概率具有 $O(1/ε)$ 大小的列表可译性，其中通过证明和秩度量球与子空间的有限相关性实现了列表大小的指数级改进。
2025-03-13 cs.IT math.IT
On the List Decodability of Insertions and Deletions
在这项工作中，我们研究的问题列表解码的插入和删除。我们提出了一个约翰逊型上限的最大列表大小。只有当插入发生时，绑定才有意义。我们的界限意味着，有二进制码的率$Ω(1)$，是列表解码从一个$0.707$ -分数的插入。对于任何$τ_\mathsf{I} \geq 0$和$τ_\mathsf{D} \in [0,1)$，存在速率$Ω(1)$的$q$ -元代码，其可从$τ_\mathsf{I}$ -插入分数和$τ_\mathsf{D}$ -缺失分数列表解码，其中$q$仅取决于$τ_\mathsf{I}$和$τ_\mathsf{D}$。我们还提供了有效的编码和解码算法，用于从$τ_\mathsf{I}$ -插入分数和$τ_\mathsf{D}$ -任何$τ_\mathsf{I} \geq 0$和$τ_\mathsf{D} \in [0,1)$的缺失分数进行列表解码。基于约翰逊型界，我们推导出一个Plotkin型上界的代码大小的Levenshtein度量。
2020-02-17 cs.IT math.IT
Improved List-Decodability of Reed--Solomon Codes via Tree Packings
本文通过树打包定理，构造了在指数大有限域上几乎达到列表解码容量的Reed-Solomon码，并推广到列表恢复，同时提出超图树打包猜想以追求最优非渐近列表可解码性。
2023-12-26 cs.IT math.CO math.IT
Average-Radius List-Decodability of Random Linear Codes
UC Berkeley（加州大学伯克利分校）
该研究证明速率为1−h_q(p)−ε的随机F_q线性码具有平均半径列表可译性，将标准列表译码结果推广到平均半径场景，补充了二元线性码及非线性随机码之外的相关结论。
2026-10-27 cs.CC cs.IT math.CO
On List-decodability of Random Rank Metric Codes
在本文中，我们考虑了随机秩度量码和随机线性秩度量码的列表译码。首先，我们证明了，对于任意的$0<R<1$和$ε>0$（$ε$和$R$是独立的），如果$0<\frac{n}{m}\leq ε$，那么以很高的概率，在$F_{q}^{m\times n}$的速率$R$的随机秩度量码可以列表解码的分数$(1-R-ε)$的秩误差与恒定的列表大小$L$满足$L\leq O(1/ε)$。此外，如果$\frac{n}{m}\geqΘ_R(ε)$，则$F_{q}^{m\times n}$中具有速率$R$和解码半径$ρ=1-R-ε$的任何秩度量码都不能在${\rm poly}(n)$时间内被列表解码。其次，我们证明了，如果$\frac{n}{m}$趋向于一个常数$b\leq 1$，则$F_{q}^{m\times n}$中的每个具有速率$R$和列表解码半径$ρ$的$F_q$ -线性秩度量码满足Gilbert-Varsharmov界，即，$R\leq (1-ρ)(1-bρ)$。此外，对于任意$ε>0$和任何$0<ρ<1$，具有高概率的随机$F_q$ -具有速率$R=(1-ρ)(1-bρ)-ε$的线性秩度量码可以被列表解码直到具有满足$L\leq O(\exp(1/ε))$的恒定列表大小$L$的秩误差的分数$ρ$。
2014-01-23 cs.IT math.IT
Improved list-decodability of random linear binary codes
在速率为$1 - H(p) - ε$的随机线性二进制码是$(p,O(1/ε))$ -列表可高概率解码的意义上，已经进行了大量的工作来确定随机线性码与均匀随机码一样是列表可解码的。在这项工作中，我们表明，这样的代码是$(p, H(p)/ε+ 2)$列表解码的概率很高，任何$p \in (0, 1/2)$和$ε> 0$。除了改进已知的列表大小界限的常数，我们的参数，这是很简单的，同时适用于所有值的$p$，而以前的作品获得$L = O(1/ε)$拼凑在一起不同的参数，以涵盖不同的参数制度。我们的方法是加强（Guruswami，Håstad，Sudan和Zuckerman，IEEE Trans. IT，2002）的存在论证，以保持高概率。为了补充随机线性码的上界，我们还改进了（Guruswami，Narayanan，IEEE Trans. IT，2014）的论点，以获得关于均匀随机码的列表大小的$1/ε$的本质上紧的下界;这意味着随机线性码实际上比均匀随机码更可列表解码，在这个意义上，列表大小严格地更小。为了证明这些技术的适用性，我们使用它们来（a）获得更多的信息列表大小的随机线性码的分布和（b）证明一个类似的结果随机线性秩度量码。
2020-11-24 cs.IT math.IT
Exponential decay of intersection volume with applications on list-decodability and Gilbert-Varshamov type bound
给出了度量空间中球有小交的一些自然的充分条件。粗略地说，当度量空间是（i）膨胀的，（ii）良好分布的，以及（iii）球边界上的某个随机变量有一个小尾巴时，就会发生这种情况。作为应用，我们证明了球在Hamming、Johnson空间和对称群中的相交体积随它们的中心漂移而指数衰减。为了验证条件（iii），我们证明了具有利普希茨条件的函数在切片上的大偏差不等式.然后，我们使用这些估计的交集体积$\bullet$随机$q$ -ary码的列表可解码性得到了一个尖锐的下界，证实了李和伍特斯的猜想;和$\bullet$改进经典界Levenshtein从1971年的常数重量码的一个因素，线性的尺寸，解决了一个问题提出的江和Vardy。我们的概率的观点也提供了一个统一的框架，以获得其他吉尔伯特-Varshamov型界限的改进，给概念上简单和计算的证明$q$ -ary码，置换码，和球形码。另一个结果是对代码数量的计数结果，显示了大代码的大量存在。
2022-01-03 cs.IT math.CO math.IT
Restricted Isometry of Fourier Matrices and List Decodability of Random Linear Codes
本文证明了F_q上随机线性码在半径（1 - 1/q-ε）上是列表可解的，其列表长度L = O（1/ε ^2），速率R = Ω_q（ε ^2/（log^3（1/ε））.直到（1/ε）中的多对数因子和依赖于q的常数因子，这匹配列表大小的下限L = Ω_q（1/ε ^2）和速率的上限R = O_q（ε ^2）。在此之前，只有q = 2的特殊情况下才知道存在（而不是大量）这样的代码（Guruswami，Hastad，Sudan和Zuckerman，2002）。为了获得我们的结果，我们采用了一个宽松的版本，众所周知的约翰逊约束列表解码，翻译的平均汉明距离码字之间的列表解码保证。我们还证明了所需的平均距离保证举行的代码提供了一个自然的复杂的矩阵编码的码字满足限制等距属性相对于欧几里德范数（RIP-2）。对于随机二进制线性码的情况，该矩阵与压缩感知文献中充分研究的Hadamard-Walsh变换矩阵的随机子矩阵一致。最后，我们改进了Rudelson和Vershynin（2008）关于长度为N的k-稀疏信号精确重建所需的随机频率样本数量的分析。具体来说，我们将样本数从O（k log（N）log^2（k）（log k + loglog N））提高到O（k log（N）log^3（k））。该证明涉及绑定的相关高斯过程的预期上确界，通过使用一个改进的过程定义的度量分析。这种改进对于我们在列表解码中的应用…
2012-07-04 cs.IT math.CO math.IT
Threshold Rates of Codes Ensembles: Linear is Best
在这项工作中，我们证明了有关随机线性码组合性质的新结果。首先，我们证明了一个下界的列表大小所需的随机线性码在$\mathbb F_q$ $\varepsilon$ -接近容量列表恢复错误半径$ρ$和输入列表的大小$\ell$。我们表明，列表大小$L$必须至少是$\frac{\log_q\binom{q}{\ell}-R}{\varepsilon}$，其中$R$是随机线性码的速率。作为比较，我们还确定了随机码的列表大小为$\frac{\log_q\binom{q}{\ell}}{\varepsilon}$。这留下了随机线性码在列表可恢复性方面比随机码表现得更好的可能性（我们认为可能），这与最近针对从擦除的列表恢复的情况所示的差距形成对比（Guruswami等人，IEEE TIT 2021B）。接下来，我们考虑具有恒定列表大小的列表解码。具体来说，我们获得新的下限所需的速率列表$3$解码随机线性码的$\mathbb F_2$和列表$2$解码随机线性码超过$\mathbb F_q$（任何$q$）。这扩展了Guruswami等人（IEEE TIT 2021 A），其仅研究了随机线性码在$\mathbb F_2$上的$2$列表可解码性。此外，在这两种情况下，我们能够表明，该速率大于均匀随机码的速率。
2022-05-03 cs.IT math.IT
Average-radius list-recovery of random linear codes: it really ties the room together
我们分析了随机线性码的列表可解码性和相关概念。这在之前已经被广泛研究过：有许多不同的参数区域和许多不同的变体。以前的作品都使用互补风格的参数-每个工作在自己的参数制度，但不是在其他-而且留下了一些空白，在我们的理解列表的随机线性代码的可解码性。特别是，这些参数都不能很好地用于列表恢复，列表恢复是列表解码的一种概括，在各种设置中都很有用。在这项工作中，我们提出了一种新的方法，它的工作参数制度，并进一步推广到列表恢复。我们的主要定理可以建立更好的列表解码和列表恢复结果低速率随机线性码在大字段;列表恢复高速率随机线性码;它可以恢复率界Guruswami，Hastad，和Kopparty的恒定速率随机线性码（虽然与大列表大小）。
2017-04-08 cs.IT math.IT
Singleton-type bounds for list-decoding and list-recovery, and related results
列表解码和列表恢复是近年来受到广泛关注的唯一解码的重要推广。然而，列表解码之间的最佳权衡（分别为：列表恢复）半径、列表大小和码率在这两个问题中都没有完全理解。本文向这个方向迈出了一步时，列表的大小是一个给定的常数和字母表的大小是大的（作为代码长度的函数）。我们证明了一个新的Singleton型的上限列表可解码的代码，这改善了以前已知的约束的一个因素，大约$1/L$，其中$L$是列表的大小。我们还证明了一个Singleton型上限列表可恢复的代码，这是我们所知的，第一个这样的列表恢复的界限。我们应用这些结果，以获得新的下界是最佳的列表大小的乘法常数列表可解码和列表可恢复的代码与速率接近的能力。此外，我们表明，列表可解码的\emph{nonlinear}码可以严格优于列表可解码的线性码。更确切地说，我们表明，有一个差距，为广泛的参数，增长迅速的字母表的大小，最大的列表可解码的非线性代码的大小和最大的列表可解码的线性代码之间。这是通过列表解码和极值组合学中稀疏超图概念之间的新联系实现的。我们注意到，这样的差距是不知道存在的唯一解码的问题。最后，我们表明，列表可解码或可恢复的代码意味着在某种意义上良好的唯一可解码性。
2021-12-10 cs.IT math.CO math.IT
Every list-decodable code for high noise has abundant near-optimal rate puncturings
我们表明，任何q元码具有足够好的距离可以随机打孔，以获得高概率，一个代码，是列表解码半径$1 - 1/q - ε$与接近最佳的速率和列表大小。我们的研究结果意味着，“大多数”里德-所罗门码的列表解码超出约翰逊界，解决了长期存在的开放问题，是否有任何里德-所罗门码满足这一标准。更准确地说，我们表明，里德-所罗门码随机评估点，具有高概率，列表解码半径$1 - ε$列表大小$O(1/ε)$和速率$Ω(ε)$。作为我们的论点的第二个推论，我们得到了改进的界限上的列表可解码的随机线性码在大字段。我们的方法利用了高维概率的技术。以前的工作使用类似的工具来获得随机线性码的列表可解码性的界限，但界限不随字母表的大小而缩放。在本文中，我们使用一个链接参数来处理大的字母表大小。
2013-10-07 cs.IT math.IT
Random Gabidulin Codes Achieve List Decoding Capacity in the Rank Metric
The Ohio State University（俄亥俄州立大学）；Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）
研究加比杜林码在秩度量中的列表可译码性这一长期开放问题，通过证明足够大字母表上的随机加比杜林码以高概率达到秩度量列表译码最优广义Singleton界，解决该问题，并给出高阶MRD码理论及GM - MRD定理等技术贡献。
2026-07-28 cs.IT math.CO math.IT
List-decodable Codes and Covering Codes
列表可译码是理论计算机科学中的一个活跃的研究课题，关于列表对Johnson半径的可译码性和列表译码容量定理有着普遍的结果。在本文中，我们表明，率，列表可解码半径和列表的大小是密切相关的经典主题的覆盖码。我们基于各种覆盖码证明了一般有限度量空间中列表可解码码的新的通用简单但强的上界。一般覆盖码上界可以应用于球的体积不仅取决于半径，还取决于球心的情况。那么覆盖半径或覆盖码的大小的任何好的上界都意味着列表可解码码的大小的好的上界。当码长较大时，我们的结果对最近的STOC 2020中的Hamming度量列表可解码码的广义Singleton上界给出了指数改进。从一般的覆盖码上界出发，给出了平均半径列表可译码码的广义Singleton上界。我们还建议研究组合覆盖列表可译码码作为组合列表可译码码的自然推广。我们应用我们的一般覆盖码上界列表可解码的秩度量码，列表可解码的子空间码，列表可解码的插入码列表可解码的删除码，列表可解码的和秩度量码和列表可解码的置换码。得到了关于秩度量码、子空间码、秩和度量码以及各种度量的置换码的非列表可译码性的一些新的较好结果。
2022-05-27 cs.IT math.IT
LDPC Codes Achieve List Decoding Capacity
该研究证明Gallager的LDPC码集合以高概率达到列表译码容量，通过确立随机线性码局部性质的精确阈值，推导得出随机线性码满足的局部性质LDPC码同样满足，为线性时间可达容量的列表译码码提供了新方向。
2021-11-17 cs.CC cs.IT math.CO
Random Reed-Solomon Codes and Random Linear Codes are Locally Equivalent
Ben-Gurion University（本-古里安大学）；University of Michigan, Ann Arbor（密歇根大学安娜堡分校）
本文证明大字母表场景下随机RS码与随机线性码在LCL性质上阈值等价，构建统一分析框架推导二者列表可译性达到广义Singleton界，为列表可恢复性参数分析提供支撑。
2025-11-14 cs.IT math.IT
It'll probably work out: improved list-decoding through random operations
在这项工作中，我们引入了一个框架来研究随机操作对代码的组合列表可解码性的影响。我们考虑的操作对应于通过将码字堆叠在一起作为列而从代码获得的矩阵上的行和列操作。这捕获了许多自然的代码转换，如打孔，折叠，并采取子码，我们表明，许多这样的操作可以提高列表解码性能的代码。这主要有两点。首先，我们的目标是推进我们的（组合）理解列表可解码性，通过理解什么结构其次，我们使用我们更一般的结果来获得列表解码的一些有趣的推论：（1）我们证明了组合列表的二进制码的存在性-可从具有最佳速率$Ω(ε^2)$的错误的$1/2-ε$分数解码，其可在线性时间中编码。(2)我们表明，任何代码与$Ω(1)$相对距离，随机折叠时，是组合列表解码$1-ε$分数的错误与高概率。这形式化了为什么折叠操作在获得具有最佳列表解码参数的代码方面取得了成功的直觉;以前，所有参数都使用代数方法，并且只适用于特定的代码。(3)我们表明，任何代码是列表解码次优列表大小有许多子码，具有接近最优的列表大小，同时保留了原来的代码的纠错能力。这概括了最近的结果，子空间规避集已被用来减少列表大小的代码，实现列表解码能力。
2014-08-10 cs.IT math.IT
On List Decoding of Insertion and Deletion Errors
Insdel错误发生在通信系统中，由消息的位置信息丢失引起。自Guruswami和Wang的工作以来，对插入码、删除码和insdel码的列表译码有了进一步的研究。然而，与经典的Hamming度量甚至秩度量不同，insdel码的列表译码仍然有许多问题没有解决。本文的贡献主要包括两个部分。首先，我们分析了随机insdel码的列表可译码性。我们表明，列表解码的随机insdel码超过单例界时，有更多的插入错误比删除错误和字母表的大小是足够大的。此外，我们的研究结果揭示了存在的insdel码，可以列表解码insdel错误超过其最小insdel距离，同时仍然具有多项式列表大小。这提供了一个更完整的图片列表的insdel码的可解码性时，插入和删除错误发生。其次，我们利用有效的列表译码算法构造了一族显式insdel码。因此，我们得到了一个Zyablov型的范围内的insdel错误。最近，在我们的结果出现后，Guruswami等人为insdel码的列表解码的另一个公开问题提供了完整的解决方案。与我们考虑的问题相反，他们提供了一个包含所有可能的插入和删除错误的区域，这些错误仍然可以由一些非零速率的q元insdel码进行列表解码。更具体地说，对于固定数量的插入和删除错误，虽然我们的论文专注于最大化针对该数量的插入和删除错误的列表可解码的代码的速率，但Guruswami等人专注于找出具有渐近非零速率的代码…
2020-09-29 cs.IT math.IT
A new class of rank-metric codes and their list decoding beyond the unique decoding radius
与经典分组码相比，秩度量码的有效列表译码显得更加困难。虽然随机秩度量码的列表可译码性和列表可译码性的极限已经完全确定，但关于秩度量码的有效列表译码的工作还很少。秩度量码$\mC$的唯一已知的有效列表解码在$R$非常小时，即，$Θ(\Ge^2)$，其中$ρ(\mC)$表示$\mC$ \cite的行数与列数之比[STOC 2013]{Guru 2013}。通常认为，具有不小常数比$ρ(\mC)$的秩度量码$\mC$的列表译码是困难的。本文的主要目的是显式地构造一类具有不小常数比$ρ(\mC)$的秩度量码$\mC$，并在译码半径超过$(1-R)/2$的情况下对这类码进行有效的列表译码.我们的关键思想是采用双变量多项式$f(x,y)$，其中$f$在变量$x$中线性化，变量$y$用于“折叠”代码。换句话说，行用于校正秩误差，列用于“折叠”代码以扩大解码半径。除了上面的代数技巧外，我们还必须精简列表。代数思想使我们能够将消息固定到一个结构化的子空间中，该子空间的维度在列数$n$中是线性的。这种“周期性”结构允许我们对消息进行预编码，以精简列表。更准确地说，我们使用子空间设计中引入的\cite [STOC 2013]{Guru 2013}，以获得一个确定性的算法与一个较大的常数列表大小，并采用分层子空间回避集引入\cite [STOC 2012]{Guru 2012}，以获得一个随机化的算法与一…
2015-09-24 cs.IT math.IT
Punctured Low-Bias Codes Behave Like Random Linear Codes
该研究证明低偏差码的随机删余版在局部编码性质、列表可译码性及随机信道性能上与随机线性码相当，实现了去随机化且可继承母码的有用结构。
2024-06-06 cs.CC cs.IT math.CO
Ideal-theoretic Explanation of Capacity-achieving Decoding
本研究提出代数纠错码的理想论抽象框架，从线性算子视角分析列表译码性能，衍生出仿射折叠里德-所罗门码，统一解释了多类码的可达容量译码结果并推广了已有码类。
2023-12-20 cs.IT math.IT
Quantum List Decoding of Classical Block Codes of Polynomially Small Rate from Quantumly Corrupted Codewords
给定一个经典的纠错分组码，量子列表解码的任务是从任何量子损坏的码字中产生一个短列表，该短列表包含其码字在量子损坏的码字中表现出高"存在"的所有消息。有效的量子列表解码器已经被用来证明经典码的量子硬核性质。然而，不幸的是，所有已知的高效量子列表可解码码族的码率对于其他实际应用来说太小。为了提高这些已知的码率，我们证明了一个特定的代码族多项式小码率在一个固定的代码字母表，通过级联广义里德-所罗门码作为外码与Hadamard码作为内码，有一个有效的量子列表解码算法，如果它的码字有相对较高的码字存在于一个给定的量子损坏的码字。作为一个直接的应用，我们使用这个代码族的量子列表可解码性来解决某种形式的量子搜索问题在多项式时间。相反，当码字存在变得更小时，我们证明了具有高置信度的广义Reed-Solomon码的量子列表可解码性与以下两个问题的有效可解性密切相关：噪声多项式插值问题和有界距离向量问题。此外，假设NP不包含在BQP中，我们还证明了不存在有效的量子列表解码器的广义Reed-Solomon码。
2016-10-14 cs.CC cs.IT math.IT
Reed-Solomon Codes at Capacity: Algorithmic List-Decoding and Proximity Gaps
Tata Institute of Fundamental Research（塔塔基础研究所）
本文统一阐述了 Reed-Solomon 码在容量极限下的算法列表解码及邻近间隙问题的突破性结果，并提供了清晰完整的证明概述。
2026-10-07 cs.CC cs.IT math.IT
Higher-Order MDS Codes
根据线性码的参数[n，k，d]和链表长度L，给出了线性码链表译码半径的一个改进的Singleton型上界. L-MDS码然后被定义为达到这个界限的码（在稍微更强的列表可解码性的概念下），1-MDS码对应于普通的线性MDS码。这种代码的几个属性，特别是，它表明，2-MDS属性下保持对偶。最后，利用广义Reed-Solomon（GRS）码给出了2-MDS码的显式构造。
2021-12-29 cs.DM cs.IT math.IT
Zero-Rate Thresholds and New Capacity Bounds for List-Decoding and List-Recovery
在这项工作中，我们考虑的列表可解码性和列表可恢复的任意$q$ -ary码，$q\geq 2$的所有整数值。如果每个半径$pn$汉明球包含少于$L$码字，则代码被称为$(p,L)_q$ -列表可解码; $(p,\ell,L)_q$ -列表可恢复性是一种推广，其中我们将半径$pn$汉明球放置在具有边长$\ell$的组合矩形的每个点上，并再次规定存在少于$L$码字。我们的主要贡献是精确计算$p$的最大值，其中存在无限个阳性率$(p,\ell,L)_q$列表可恢复代码族，我们称该数量为零率阈值。用$p_*$表示该值，我们实际上表明，纠正$p_*+\varepsilon$错误分数的码必须具有大小$O_{\varepsilon}(1)$，即，独立于$n$。这样的结果通常被称为“Plotkin界限”。为了补充这一点，一个标准的随机码与删除结构表明，存在正率代码纠正$p_*-\varepsilon$部分的错误。我们还遵循经典的证明模板（通常归因于Elias和Bassalygo），从零速率阈值中推导出速率和解码半径之间的其他权衡，用于列表解码和列表恢复。从技术上讲，证明Plotkin界归结为证明Schur凸性的定义在$q$ -单纯形以及凸性的一个单变量函数从it. We评论，早期的参数声称类似的结果$q$ -ary列表解码，但是，我们指出，这种早期的证明是有缺陷的。
2022-10-14 cs.CC cs.IT math.CO
List Decoding Random Euclidean Codes and Infinite Constellations
我们研究了一个无所不知的对手的假设下，在真正的字母表上的不同的合奏代码的列表可解码性。众所周知，当源和对手分别具有功率约束$ P $和$ N $时，列表解码容量等于$ \frac{1}{2}\log\frac{P}{N} $。随机球形码实现恒定的列表大小，本文的目标是获得更好的理解的最小可实现的列表大小作为一个功能的差距，以能力。我们展示了从任意码到球形码的一个简化，并推导出典型随机球形码的列表大小的一个下界。我们还给出了一个上限的列表大小实现使用嵌套构造A格和无限构造A格。然后，我们定义和研究一类无限的星座，推广建设-A格，并证明上界和下界相同。其他优良性质，如包装优良性和AWGN优良性的无限星座的证明。最后，我们考虑随机格从Haar分布采样，并表明，如果一定的数论猜想是真的，那么列表的大小增长作为一个多项式函数的间隙容量。
2021-09-29 cs.IT math.IT math.MG
Beyond the Guruswami-Sudan (and Parvaresh-Vardy) Radii: Folded Reed-Solomon, Multiplicity and Derivative Codes
经典的里德-所罗门码族由有限域$\mathbb{F}_q$上次数小于$k$的多项式在$n$不同域元素处的求值组成。这些可以说是最广泛使用和研究的代码，因为它们具有擦除和纠错能力，以及许多其他良好的属性。在这项调查中，我们研究密切相关的代码，折叠Reed-Solomon码，这是第一个建设性的代码，以实现列表解码能力。然后，我们研究两个代码，也有这个功能，\textit{multiplicity codes}和\textit{derivative codes}。我们的重点是在大多数情况下，这些代码的列表解码算法，虽然我们也期待到本地可解码的多重性代码。
2020-03-11 cs.DM cs.IT math.IT
Covering Codes, List-Decodable Codes and Strong Singleton-Like Bounds in the Sum-Rank Metric
本文从汉明覆盖码构造和秩覆盖码，提出其上界与块长函数，进而证明强类Singleton界，并给出列表可解码码大小及MSRD码块长的上界。
2023-12-25 cs.IT math.IT
Bounds on List Decoding of Rank-Metric Codes
到目前为止，还没有多项式时间的列表解码算法（超过一半的最小距离）的Gabidulin码。这些码可以被看作是秩度量等效的里德-所罗门码。在本文中，我们提供的秩度量码的列表大小的界限，以了解是否多项式时间列表解码是可能的，或者它是否只适用于指数时间复杂度。证明了列表大小的三个界限。第一个是Gabidulin码的指数下界，并表明对于这些代码，没有多项式时间列表解码超出约翰逊半径存在。其次，指数上界推导出，这适用于任何秩度量码的长度$n$和最小秩距离$d$。第三个界限证明，存在一个秩度量码在$\Fqm$的长度$n \leq m$，使列表的大小是指数的长度为任何半径大于一半的最小秩距离。这意味着不存在类似于Hamming度量中Johnson界的仅依赖于$n$和$d$的多项式上界。这三种秩度量界与汉明度量下的码界都有很大的不同。
2013-07-18 cs.IT math.IT
Efficiently list-decodable punctured Reed-Muller codes
Reed-Muller（RM）码编码$n$ -变量次数- $d$多项式在${\mathbb F}_q$上用于$d < q$，其在${\mathbb F}_q^n$上的评估具有相对距离$1-d/q$，并且可以从错误的$1-O(\sqrt{d/q})$分数列表解码。在这项工作中，对于$d \ll q$，我们给出了一个长度有效的打孔这样的代码（几乎）保留的距离和列表的Reed-Muller码的可解码性属性，但有更好的速率。具体地说，当采用$q =Ω( d^2/ε^2)$时，我们给出了Reed-Muller码的显式速率$Ω\left(\fracε{d!}\right)$删余，这些码的相对距离至少为$(1-ε)$，并且在$(1-\sqrtε)$错误率范围内都是有效的列表译码。这几乎与随机打孔的性能相匹配，随机打孔与较弱的场大小要求$q= Ω( d/ε^2)$一起工作。我们还可以以$1-ε^{1/3}$和速率$Ω\left(\frac{ε^2}{d!}\right)$的更差的列表解码半径为代价，将字段大小要求改进到最佳（直到常数因子）$q =Ω( d/ε)$。上述权衡中的第一个是通过用从代数函数域中仔细选择的极点阶数替换变量函数来获得的;这导致了RM码是某个代数几何码（已知其是有效列表可解码的）的子码的打孔。第二个折衷是通过将该构造与基于Reed-Solomon的乘法友好对连接，并使用代数几何…
2017-04-02 cs.CC cs.IT math.IT
Combinatorial Bounds for List Recovery via Discrete Brascamp--Lieb Inequalities
University of California, Berkeley（加利福尼亚大学伯克利分校）；Department of EECS, University of Michigan, Ann Arbor（密歇根大学安娜堡分校电气与计算机工程系）；Department of Mathematics, Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院数学系）；Simons Institute for the Theory of Computing, UC Berkeley and Institute for Advanced Study, Princeton（加州大学伯克利分校西蒙斯理论计算研究所和普林斯顿高等研究院）
本文利用离散熵Brascamp--Lieb不等式，为多类线性码和折叠线性码的列表恢复问题建立了新的组合界，解决了列表大小能否被ℓ的多项式界定的长期开放问题。
2026-10-14 cs.IT math.CA math.CO
List-decoding of Subspace Codes and Rank-Metric Codes up to Singleton Bound
子空间码和秩度量码可以用来纠正网络中的错误和擦除，而线性网络编码可以用来纠正网络中的错误和擦除。Koetter和Kschischang引入了子空间码，用于纠正拓扑未知（非相干情况）的网络中的错误和擦除。在之前的工作中，我们基于Koetter-Kschichang构造开发了一族子空间码，它们可以高效地列表解码。使用这些代码，我们实现了一个更好的解码半径比Koetter-Kschischiang码在低速率。在这里，我们介绍了一个新的家庭的子空间代码的基础上，导致一个线性代数列表解码算法的不同的方法。所得到的纠错半径可以表示如下：对于任何整数$s$，我们的列表解码器使用$s+1$插值多项式保证成功恢复的消息子空间提供的标准化的错误的维度是最多$s(1-sR)$。相同的列表解码算法可用于纠正擦除以及错误。输出列表的大小最大为$Q^{s-1}$，其中$Q$是从其中选择消息符号的字段的大小。秩度量码适合于在网络拓扑和底层网络码已知的情况下（相干情况）进行纠错。Gabidulin码是一类著名的代数秩度量码，其满足码的最小秩度量的Singleton界。在本文中，我们介绍了一个折叠版本的Gabidulin码类似的折叠Reed-Solomon码的Guruswami和Rudra随着列表解码算法，这样的代码。我们的列表解码算法使得有可能恢复的消息提供的标准化秩的错误是最多$1-R-ε$，对于任何$ε> 0…
2012-02-04 cs.IT math.IT
Constructions and List Decoding of Sum-Rank Metric Codes Based on Orthogonal Spaces over Finite Fields
本文基于有限域上正交空间构造Sum-rank度量码，提出两种构造方法，并利用子空间设计计算列表译码的列表大小，从而提升译码成功率。
2025-07-22 cs.IT math.IT
Conditional Correctness in List Decoding: How a Late Second Codeword Can Rescue Confidence in the First
Northeastern University（东北大学）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
本文研究列表解码中似然排名与解码正确性后验概率的关系，证明后续列表条目携带额外可靠性信息，并刻画了首个条目的渐近可靠性仅取决于第一、第二及最后排名。
2026-10-05 cs.IT math.IT
Bivariate Linear Operator Codes
本文提出了双变量线性算子（B-LO）码，推广了线性算子码框架以涵盖更多达到列表译码容量的码，并证明了其可列表译码的充分条件，统一了包括置换乘积码在内的多种已知容量可达码的译码结果。
2025-05-28 cs.IT math.IT
Bounds on List Decoding of Linearized Reed-Solomon Codes
线性里德-所罗门码是一类秩和度量码，它满足Singleton界。在和秩度量的两个极端情况下，它们与Reed-Solomon码（Hamming度量）和Gabidulin码（秩度量）相一致。在这些极端情况下的列表解码已经得到了很好的研究，这两个代码类在列表大小方面的行为非常不同，但对于一般情况则一无所知。在本文中，我们推导出一个下界的列表大小的LRS码，这是，对于一个大类的LRS码，指数直接以上的约翰逊半径。此外，我们表明，一些家庭的线性Reed-Solomon码与常数块不能列表解码超出唯一的解码半径。
2021-02-05 cs.IT math.IT
Sign-Rank, Index, and List Replicability: Connections and Separations
McGill University（麦吉尔大学）；Ohio State University（俄亥俄州立大学）
本文研究二元概念类的符号秩下界，通过比较Z2-索引和列表可复制数，证明Z2-索引被列表可复制数的线性函数上界，从而解决符号秩与Z2-索引的分离问题，并进一步建立列表可复制数的上界与组合性质。
2026-07-22 cs.IT cs.LG math.IT
Locality in Index Coding for Large Min-Rank
如果每个接收机可以使用其边信息并且通过仅查询所发送的码字符号的子集而不是观察整个码字来解码其需求，则索引码被称为是局部可解码的。在一些通信场景中，例如当接收机由于有限的功率可用性而能够仅监听传输的一部分时，本地可解码性可以是有益的特征。索引码的局部性是接收器查询的码字符号的最大数目与消息长度的比率。在本文中，我们分析了最小秩小于网络中接收器数目的指数编码问题族的线性码的最优局部性。我们首先推导出当边信息图是有向循环时，向量线性编码的索引编码速率和局部性之间的最佳折衷。然后，我们提供了一个更大的问题，即，最小秩仅比接收机的数量小一个的问题。虽然用于可解码性的参数是基于已知的编码技术，相反的参数依赖于本地可解码的索引码的结构上的新结果。
2019-01-17 cs.IT math.IT
Tight Bounds on List-Decodable and List-Recoverable Zero-Rate Codes
本研究确定了零率码在列表可恢复性下的紧界，证明对于所有参数，码的大小与1/ε成正比，推广了先前仅适用于二进制字母表的结果。
2023-09-04 cs.CC cs.IT math.CO
Explicit List-Decodable Linearized Reed-Solomon and Folded Linearized Reed-Solomon Subcodes
School of Computer Science, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学计算机学院）
本文提出显式可列表解码的线性化Reed-Solomon和折叠线性化Reed-Solomon子码，实现了在sum-rank度量下高效解码。
2026-02-07 cs.IT math.IT
AG Codes Achieve List-decoding Capacity over Constant-sized Fields
本文通过建立放松型高阶MDS码的形式化理论，证明随机打孔的代数几何（AG）码可在常数大小域上实现列表译码容量，并构造出常数域大小的放松型MR张量码。
2025-06-04 cs.IT math.AG math.IT
Explicit rank-metric codes list-decodable with optimal redundancy
我们构建了一个显式家庭的线性秩度量码在任何字段${\mathbb F}_h$，使有效的列表解码高达一个分数$ρ$的错误的秩度量与率$1-ρ-ε$，任何所需的$ρ\in (0,1)$和$ε> 0$。以前，这样的代码的蒙特卡罗构造是已知的，但这实际上是第一个明确的构造正速率秩度量代码的列表解码超出唯一的解码半径。我们的代码是著名的Gabidulin代码，编码线性化多项式的低程度通过其值在线性独立的点的集合的子码。通过将消息多项式限制到${\mathbb F}_h$ -子空间来挑选子码，该子空间避开由于Guruswami和Xing（STOC'13）而在用于Gabidulin码的线性代数列表解码器中出现的扩展字段${\mathbb F}_{h^t}$上的结构化子空间。这个子空间是通过将Guruswami和Kopparty（FOCS'13）构造的子空间设计与Dvir和Lovett（STOC'12）的子空间回避变体相结合而获得的。我们建立了一个类似的结果，子空间码，这是一个集合的子空间，其中每对低维交叉，并已受到广泛关注，最近在网络编码的上下文中。我们还给出了明确的子码折叠Reed-Solomon（RS）码的小折叠顺序，是列表解码（在汉明度量）与最佳冗余，动机的事实，列表解码RS码减少到列表解码这样的折叠RS码。然而，由于我们仅列表解码这些码的子码，因此约翰逊半径仍然是列表解码RS码的最佳已知…
2013-12-02 cs.CC cs.DM cs.IT
List Decoding, Linear Hashing, and Furstenberg over $\mathbb{F}_q$
Simons Institute for the Theory of Computing, UC Berkeley（加州大学伯克利分校西蒙斯理论计算研究所）；University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）
本文提出重数间隙多项式方法，证明了有限域上随机线性码列表可解码性和线性哈希最大负载的新上界，几乎匹配已知下界，并统一改进了此前结果。
2026-09-16 cs.CC cs.DS cs.IT
