Efficient and fast predictor-corrector method for solving nonlinear fractional differential equations with non-singular kernel
针对非线性Caputo-Fabrizio分数阶微分方程，提出了一种快速有效的预估校正法，其中Caputo-Fabrizio算子是一种新提出的具有光滑核的分数阶导数.所提出的方法实现了统一的精度顺序与二阶计划的线性插值和三阶计划的二次插值。利用离散的Gronwall不等式证明了算法的收敛性。此外，应用记忆项的递归关系，它减少了所提出的方法执行的CPU时间。所提出的快速算法需要近似的$O(N)$算术运算，而在常规预测校正方案的情况下需要$O(N^2)$，其中$N$是时间步的总数。以下数值例子证明了所提出的方法的精度以及效率;非线性分数阶微分方程，时间分数阶子扩散，时间分数阶对流-扩散方程。数值实验也验证了理论上的收敛速度。
2020-10-06 cs.NA math.NA
Remarks on boundary layers in singularly perturbed Caputo fractional boundary value problems
关于奇摄动Caputo分数阶边值问题解的层结构几乎一无所知。我们讨论简单的对流扩散和反应扩散问题。
2022-09-07 cs.NA math.NA
Approximation of Hamilton-Jacobi equations with Caputo time-fractional derivative
本文研究了具有Caputo时间分数阶导数的Hamilton-Jacobi方程的数值逼近。我们引入一个明确的时间离散的Caputo衍生物和有限差分格式的近似的哈密顿量。我们证明了这样得到的近似格式在适当的离散参数条件下是稳定的，并且收敛于Hamilton-Jacobi方程的唯一黏性解.
2019-12-18 cs.NA math.NA
The sine and cosine diffusive representations for the Caputo fractional derivative
针对 Caputo 分数阶导数非局部性导致数值方法耗时且耗内存的问题，本文提出了两种新的扩散表示方法用于近似阶数为 $0<α<1$ 的 Caputo 分数阶导数，并给出了误差分析与数值算例。
2023-09-07 cs.NA math.NA
Error of discretization of Caputo fractional derivative in weighted spaces
Wroclaw University of Science and Technology（弗罗茨瓦夫理工大学）
本文研究了Caputo分数导数在加权Sobolev空间中的L1离散化误差界，通过多个加权例子验证了框架的有效性，并展示了分数ODE的L1方案收敛性。
2026-04-24 cs.NA math.NA
Caputo-Hadamard fractional derivatives of variable order
University of Aveiro（阿威罗大学）
本文提出三种可变分数阶Caputo-Hadamard导数，研究其关系，并通过整数阶导数获得近似公式及误差估计，最后用具体例子比较精确导数与数值近似。
2016-07-26 cs.NA math.NA
On a discrete composition of the fractional integral and Caputo derivative
本文证明了分数阶积分与Caputo导数复合的离散类比，基于Euler-Maclaurin求和公式，对分数阶PDE数值分析中的L1格式具有重要意义。
2023-09-06 cs.NA math.NA
Fast second-order evaluation for variable-order Caputo fractional derivative with applications to fractional sub-diffusion equations
基于$L2$ - $1_σ$公式和指数和逼近技术，提出了一种变阶Caputo分数阶导数的快速二阶逼近方法.该方法可以达到二阶精度，并进一步减少计算成本和代理内存的VO Caputo分数阶导数。应用该快速算法构造了求解多维VO时间分数阶子扩散方程的相应的时间二阶和空间四阶快速格式（$FL2$格式）.从理论上证明了$FL2$ - $1_σ$格式具有与$L2$ - $1_σ$格式相似的系数性质。因此，严格证明了$FL2$ - $1_σ$格式是无条件稳定和收敛的.数值算例表明，该方法在计算量和作用内存方面都有明显的降低，从而证明了该方法的有效性。
2021-02-05 cs.NA math.NA
Analytical and numerical study of nonlinear Riesz-Caputo boundary value problems
Sapienza University of Rome（罗马第一大学）；University of L’Aquila（拉奎拉大学）
本文研究了涉及Riesz-Caputo算子的非线性分数边值问题，通过积分表示证明解的存在唯一性，并提出B-样条离散方法进行数值逼近，结合理论分析与实验验证其收敛性。
2026-10-27 cs.NA math.NA
Stochastic Navier-Stokes equations with Caputo derivative driven by fractional noises
School of Mathematics and Statistics, Henan University（河南大学数学与统计学院）；Department of Mathematics, Swansea University（斯旺西大学数学系）
本文研究了由分数布朗运动驱动的扩展随机Navier-Stokes方程，探讨了广义奥本海姆-乌尔岑贝克过程的路径空间和时间正则性，以及在特定条件下解的存在性、唯一性和Hölder正则性，改进了现有文献的结果。
2017-09-15 cs.NA math.NA
On a Difference Scheme for Solving Cauchy Problems wuth the Caputo Fractional Derivative in a Banach Space
本文提出并研究了求解线性齐次微分方程的Cauchy问题的时-半离散化格式，其中时间导数为Caputo分数导数，空间算子为扇形算子。研究了收敛率和误差估计，并利用Mittag-Leffler函数、超几何函数和Banach空间中的扇形算子理论。
2017-12-08 cs.NA math.NA
A discretization of Caputo derivatives with application to time fractional SDEs and gradient flows
我们考虑了离散化的Caputo衍生物导致反卷积的计划相应的Volterra积分。这种离散化的属性，包括符号的系数，比较原则，和相应的隐格式的稳定性，证明了其链接到Volterra积分与完全单调的内核。然后将相应的向后格式应用于两个时间分数阶耗散问题，这些隐格式有助于相应问题的分析。特别地，我们证明了具有分数阶噪声的过阻尼广义Langevin方程对强凸势具有唯一的极限测度，并建立了时间分数阶梯度流的数值解收敛于强解的条件.所提出的方案和使用相同的理念导出的方案也可以用于许多其他应用。
2019-08-16 cs.NA math.NA
High-order approximation to generalized Caputo derivatives and generalized fractional advection-diffusion equations
本文考虑了一种基于三次插值公式的高阶时步格式来逼近广义Caputo分数阶导数（GCFD）。该方案的收敛阶是$(4-α)$，其中$α~(0<α<1)$是GCFD的阶。还提供了局部截断误差。然后，我们利用所发展的格式建立了求解广义分数阶对流-扩散方程Dirichlet边界条件的差分格式。进一步讨论了该差分格式的稳定性和收敛性。数值例子来检验理论索赔。数值分析了差分格式的收敛阶，时间上为$(4-α)$，空间上为二阶。
2022-10-11 cs.NA math.NA
Shooting Methods for Fractional Dirichlet-Type Boundary Value Problems of Order $α\in (1,2)$ With Caputo Derivatives
本文针对带 Caputo 导数的非线性分数阶 Dirichlet 型边值问题，提出采用比例分割打靶法选取初始值，证明其可在极少数迭代内达到高精度收敛，并给出相应理论解释。
2025-07-04 cs.NA math.NA
On the formulation of fractional Adams-Bashforth method with Atangana-Baleanu-Caputo derivative to model chaotic problems
本文考虑了使用具有非局部和非奇异性质的Atangana-Baleanu导数的新制定的分数形式的Adams-Bashforth方法的数学分析和数值应用。利用不动点理论和逼近方法，通过一般的二分量时间分数阶微分方程证明了该问题解的存在唯一性。该方法进行了测试与三个非线性混沌动力系统的整数阶导数建模与建议的分数阶的情况下。给出了$(0,1]$中不同$α$值的仿真结果。
2021-10-19 cs.NA math.NA
An Efficient Numerical Scheme for a Time-Fractional Burgers Equation with Caputo-Prabhakar Derivative
本文针对具有Caputo-Prabhakar导数的时间分数阶Burgers方程，提出一种结合有限差分与Newton迭代的数值格式，证明其在$L_{\infty}$范数下稳定收敛且时间精度为$(2-α)$阶，并用两个算例验证。
2025-08-28 cs.NA math.NA
The univariate multinode Shepard method for the Caputo fractional derivatives: from Approximation to the solution of Bagley-Torvik equation
本文提出利用单变量多节点Shepard方法结合Gauss-Jacobi求积公式逼近Caputo分数阶导数，并应用于求解Bagley-Torvik方程的边值与初值问题，实验验证了其有效性。
2025-08-11 cs.NA math.NA
An Exact-Moment Local Legendre Frame Method with Block Convolution for Caputo Fractional Differentiation
School of Mathematics and Statistics, Shandong University of Technology（山东理工大学数学与统计学院）
该研究提出带块卷积的精确矩局部勒让德框架方法，用于精确计算0<α<1的Caputo分数阶导数，通过解析处理奇异核实现指数型收敛，数值实验验证了其精度与效率。
2026-08-20 cs.NA math.NA
A Newton interpolation based predictor-corrector numerical method for fractional differential equations with an activator-inhibitor case study
本文提出了一种新的适用于分数阶微分方程的预估-校正数值格式。通过考虑忽略项，得到了一个改进的显式Atangana-Seda公式，并将其用作所提出方法的预测阶段。数值公式近似的经典的一阶导数以及Caputo，Caputo-Fabrizio和Atangana-Baleanu分数阶导数。仿真结果被用来评估各种微分方程的新方法的逼近误差。此外，被认为是一个案例研究，该计划是用来获得数值解的Gierer-Meinhardt激活剂-抑制剂模型的目的是评估系统的动态。
2020-08-13 cs.NA math.DS math.NA
Wellposedness of the two-sided variable coefficient Caputo flux fractional diffusion equation and error estimate of its spectral approximation
University of South Carolina（南卡罗来纳大学）；Clemson University（克莱姆森大学）
本文研究了二边可变系数分数扩散方程的适定性及其谱近似误差，通过合适变换将可变系数方程转换为常系数方程，利用Jacobi多项式谱分解方法证明了模型的适定性和解的正则性，并提出了一种谱近似方案并研究了其精度，通过两个数值实验验证了导出的误差估计。
2018-11-01 cs.NA math.NA
High order approximation to Caputo derivative on graded mesh and time-fractional diffusion equation for non-smooth solutions
本文针对解在初始时刻具有奇异性的Caputo型时间分数阶扩散方程，提出基于Lagrange插值的分级网格高阶逼近方法，构造了无条件稳定的差分格式，并分析了非光滑解下的收敛性。
2023-09-23 cs.NA math.NA
Asymptotic spectral properties and preconditioning of an approximated nonlocal Helmholtz equation with Caputo fractional Laplacian and variable coefficient wave number $μ$
本研究利用Toeplitz理论分析带Caputo分数阶拉普拉斯算子和变系数波数的非局部亥姆霍兹方程有限差分逼近的渐近谱性质，并给出数值验证及开放问题。
2024-07-22 cs.NA math.NA
Second order finite difference approximations for the two-dimensional time-space Caputo-Riesz fractional diffusion equation
School of Mathematics and Statistics, Lanzhou University（兰州大学数学与统计学院）
本文针对二维时间-空间Caputo-Riesz分数阶扩散方程，提出隐式和显式有限差分格式，理论证明隐式格式无条件稳定，显式格式条件稳定，且空间方向二阶收敛、时间方向(2-γ)阶收敛。
2012-07-09 cs.NA math.NA
A finite difference method for a two-point boundary value problem with a Caputo fractional derivative
National University of Ireland, Cork（爱尔兰国立大学科克分校）；University of Zaragoza（萨拉戈萨大学）
本文改进了Al-Refai比较原理，建立了解的导数的精确界，并证明了有限差分方法的收敛性，通过简单迎风法稳定了粗网格下的数值解。
2013-12-18 cs.NA math.NA
The Numerical Approximation of Caputo Fractional Derivative of Higher Orders Using A Shifted Gegenbauer Pseudospectral Method: Two-Point Boundary Value Problems of the Bagley Torvik Type Case Study
本研究提出一种移位 Gegenbauer 伪谱方法逼近任意正阶 Caputo 分数阶导数，通过引入分数阶 SG 积分矩阵实现高效计算，在求解 Bagley-Torvik 型两点边值问题时展现出优于现有方法的指数收敛精度与稳定性。
2025-04-01 cs.NA math.NA
On a Boundary-Initial Value Problem for Fractional Differential Equation with Sequential Caputo derivatives
National University of Uzbekistan（乌兹别克斯坦国立大学）；V. I. Romanovskiy Institute of Mathematics, Uzbekistan Academy of Sciences（乌兹别克斯坦科学院 V.I. 罗曼诺夫斯基数学研究所）
本文研究了涉及顺序Caputo导数的分数微分方程，提出利用顺序分数算子的技巧，推导出双变量Mittag-Leffler函数的精确解析解，并开发了基于顺序重述和L1有限元方法的数值方案。
2026-04-23 cs.NA math.AP math.NA
Research of the hereditary dynamic Riccati system with modification fractional differential operator of Gerasimov-Caputo
本文研究了具有变阶Gerasimov-Caputo型分数阶微分算子的常系数里卡蒂微分方程的Cauchy问题.利用牛顿数值算法，计算曲线的构造考虑到不同的值的柯西问题的参数。计算结果与以前得到的结果进行了比较。数值算法的计算精度进行了研究。利用龙格法则表明，随着计算网格节点数的增加，计算精度趋于数值方法的精度。
2021-05-16 cs.NA math.DS math.NA
A Finite Element Approximation for a Class of Caputo Time-Fractional Diffusion Equations
Moulay Ismail University（穆莱·伊斯梅尔大学）；University of Aveiro（阿威罗大学）
本文提出了一种利用时间有限差分法和空间有限元法的完全离散方案，用于求解Caputo意义下的时间分数扩散方程，并通过两个数值例子验证了该方法的准确性和效率。
2019-05-25 cs.NA math.AP math.NA
An adaptive memory method for accurate and efficient computation of the Caputo fractional derivative
Pohang University of Science and Technology（浦项科技大学）
本文提出了一种新的数值方法，用于高效准确计算Caputo分数导数，通过减少存储过去时间点函数值的内存需求并改进精度，从而降低计算负载。
2017-11-28 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Caputo derivatives of fractional variable order: numerical approximations
Polytechnic Institute of Leiria（莱里亚理工学院）；University of Aveiro（阿威罗大学）
本文提出一种新工具用于求解包含分数变量阶Caputo导数的偏微分方程，通过三种Caputo型分数算子得到仅含整数阶导数的近似公式，并提供误差估计，通过测试函数验证数值近似与精确分数导数的一致性。
2015-11-06 cs.NA math.AP math.CA
Modeling Blood Alcohol Concentration Using Fractional Differential Equations Based on the $ψ$-Caputo Derivative
本研究提出基于$\psi$-Caputo分数阶导数的血液酒精浓度动力学模型，通过广义拉普拉斯变换得到解析解，采用非标准核函数使拟合误差降低超一半，效果提升59%，性能优于现有经典及分数阶模型。
2024-02-15 cs.NA math.NA physics.med-ph
A Caputo fractional derivative-based algorithm for optimization
Brown University（布朗大学）
我们提出了一种新的Caputo分数阶导数为基础的优化算法。在定义了笛卡尔坐标系下的Caputo分数阶梯度后，我们提出了一种通用的Caputo分数阶梯度下降（CFGD）方法。我们证明了CFGD产生局部平滑目标函数的最速下降方向。通用CFGD需要指定三个参数，并且选择参数会产生CFGD的版本。我们提出了三个版本-非自适应，自适应终端和自适应顺序。通过重点放在二次目标函数，我们提供了一个收敛性分析。我们证明了非自适应CFGD收敛到Tikhonov正则化的解决方案。对于这两个自适应版本，我们推导出误差界，在一定的条件下，这表明收敛到整数阶平稳点。本文导出了二次函数的CFGD的一个显式公式。我们计算发现，自适应终端（AT）CFGD减轻了依赖于条件数的收敛速率，并导致显着加速梯度下降（GD）。对于非二次函数，我们开发了一个有效的实现CFGD使用高斯-雅可比求积，其计算成本近似成正比的求积点的数量和GD的成本。我们的数值例子表明，AT-CFGD的结果在GD上的加速度，即使当使用少量的高斯-雅可比求积点（包括一个单一的点）。
2021-04-06 cs.LG cs.NA math.NA
