A Complete Axiomatisation of the ZX-Calculus for Clifford+T Quantum Mechanics
介绍了量子力学的第一个完整的、近似通用的图形语言。我们通过在ZX-演算语言中加入四个新的公理，使Coecke和Duncan提出的一种图形语言完备化，从而使Clifford+T量子力学的ZX-演算语言完备化. Clifford+T量子力学的ZX-演算的完备性是范畴量子力学的主要开放问题之一。我们证明了Clifford+T片段的ZX-演算使用最近研究的ZW-演算，一个演算处理整数矩阵的完整性。我们还证明了ZX-演算的Clifford+T片段恰好表示并元有理数环的某个有限维扩张上的所有矩阵。
2018-02-23 quant-ph
Completeness of the ZH-calculus
本文研究ZH-演算这一图形语言，提出一组简单重写规则并证明其对Toffoli+Hadamard门集对应矩阵的完备性，还构造了对任意满足1+1非零因子的环上矩阵完备的扩展版本。
2023-07-11 quant-ph
Completeness of the ZX-calculus for Pure Qubit Clifford+T Quantum Mechanics
最近，我们给出了一个完整的公理化的ZX演算的整体纯量子位量子力学。在此基础上，利用任意可换环的ZW-演算的完备性定理，通过将复数环限制到对应于Clifford+T片段的子环上，得到了Clifford +T量子力学的ZX-演算的完备公理化.与Clifford+T片段的ZX演算的第一个完整公理化相反，我们有两个新的生成元作为特征而不是新颖性：该三角形可以被用作以非常简单的形式构造Toffoli门的基本组件，而λ盒可以稍微扩展到广义相位（分圆平行性）自然地被视为广义蜘蛛规则的特例。
2018-01-27 math.CT quant-ph
Completeness of algebraic ZX-calculus over arbitrary commutative rings and semirings
ZX-演算是基于复数域的图形量子计算的严格数学形式。在本文中，我们通过推广ZX-演算来扩展它的能力，使得它在任意交换环和任意交换半环中都是通用的。此外，我们遵循arXiv：2007.13739的框架，通过矩阵行加、行乘等初等运算的规范形式，分别证明了任意交换环（半环）上的ZX-演算对于同一交换环（半环）上的矩阵是完备的.这项工作可能会导致各种应用，包括在弦图中做初等数论。
2020-10-11 math.CT quant-ph
The Structure of Sum-Over-Paths, its Consequences, and Completeness for Clifford
我们证明了用于符号表示线性映射或量子算符的“Sum-Over-Path”（SOP）的形式体系，加上适当的重写系统，具有匕首紧的PROP结构，由此得到了几个结论：1）SOP的态射与图演算ZH-演算的图非常接近，因此我们给出了两者之间的一个解释系统;（2）一种称为丢弃构造的构造可以用来丰富形式体系，特别是它可以表示量子测量。我们还丰富了重写系统，以获得完整的Clifford片段的初始形式主义和其丰富的版本。
2020-03-12 quant-ph
Completeness and the ZX-calculus
Merton College（默顿学院）
本论文研究ZX-calculus的完备性，证明其对纯态稳定子量子力学、单量子比特Clifford+T群均完备，还构建了描述Spekkens' toy theory的完备图形演算，为量子计算与基础理论分析提供了严谨且直观的图形工具。
2016-02-29 quant-ph
Completeness of algebraic CPS simulations
代数λ演算和线性代数λ演算是经典λ演算的两种线性组合推广。它们在不同的背景下独立出现：前者是微分λ演算的一个片段，后者是量子计算的候选λ演算。它们在应用程序参数和代数规则的处理上有所不同。这两种语言可以使用著名的按值调用和按名称调用CPS翻译的代数扩展来相互模拟。这些模拟是合理的，因为它们保留了减少。在本文中，我们证明了模拟实际上是完整的，加强了两种语言之间的联系。
2012-07-31 cs.LO quant-ph
Making the stabilizer ZX-calculus complete for scalars
ZX演算是一种具有内置重写规则的量子过程图形语言。重写规则允许等式完全以图形方式导出，从而导致完整性问题：任何使用矩阵可导出的等式也可以以图形方式导出吗？已知ZX演算对于无标量纯量子比特稳定子量子力学是完备的，这意味着两个纯稳定子算子之间的任何等式都可以使用图形重写规则导出，直到非零标量因子为止。在这里，我们用正确标度的重写规则替换了那些无标量的重写规则，并表明，通过添加一个新的图元素和一个新的重写规则，可以使具有标量的纯量子比特稳定器量子力学的演算完全。这种完整性属性允许振幅和概率完全以图形方式计算。我们还明确考虑稳定器零图，即表示零矩阵的图，并表明两个新的重写规则足以使这些演算完成。
2015-11-05 quant-ph
Completeness of the ZX-Calculus
本文通过添加公理并利用第三方图形化语言的来回翻译，证明了ZX-演算在克利福德+T片段及整体上的完备性，并扩展至线性图类，最后为含额外生成器的简化版本给出完备公理化。
2020-06-03 cs.LO quant-ph
A Near-Optimal Axiomatisation of ZX-Calculus for Pure Qubit Quantum Mechanics
最近的发展在ZX演算导致了完整的公理化，首先是一个近似普遍的限制的语言，然后是整个语言。主要的缺点是，为了达到完备性而添加的公理数量众多，操作繁琐，缺乏物理解释。在本文中，我们提出了两个完整的公理化的一般ZX-演算，我们相信是最佳的，因为他们所有的方程是必要的，而且有一个很好的物理解释。
2018-12-21 quant-ph
An Algebraic Axiomatisation of ZX-calculus
ZX-演算是一种用于量子计算的图形语言，它是完备的，在这个意义上，矩阵中的计算可以用纯图形的方式完成。然而，所有以前的ZX-演算的普遍完备公理化都包含至少一个涉及三角函数的规则，如sin和cos，这使得它很难应用。在本文中，我们给出了一个代数完整的公理化的ZX演算，而不是这样，只有环操作涉及的阶段。有了ZX演算的代数公理化，我们第一次能够从另一种称为ZH演算的图形语言中建立一个简单的图翻译，并推导出ZH演算的所有ZX翻译规则。这样做的一个好处是，ZH-演算中的所有技巧都可以移植到ZX-演算中，这是单纯利用ZX-演算的完备性所不能达到的。
2021-09-06 quant-ph
Completeness for flow-preserving rewrite rules
Inria Mocqua team and Université de Lorraine, CNRS, LORIA（法国国家信息与自动化研究所莫库瓦团队与洛林大学、法国国家科学研究中心、洛林研究与信息学实验室）
本文扩展了保流的ZX演算重写规则集并证明其对适当形式ZX图间所有保流转换完备，采用保流的电路提取等价方法完成证明。
2026-08-14 quant-ph
Catalysing Completeness and Universality
该研究将量子催化应用于计算通用性证明与图形语言完备性扩展，简洁证明了CS+Hadamard、Toffoli+Hadamard门组的通用性，并扩展了无相位ZH-calculus的完备片段。
2024-04-15 quant-ph
Completeness of Sum-Over-Paths for Toffoli-Hadamard and the Dyadic Fragments of Quantum Computation
路径求和（Sum-Over-Paths）形式主义是一种符号化地操纵描述量子系统的线性映射的方法，并且是用于此类系统的形式验证的工具。本文给出了一组新的重写规则，并证明了它对量子力学中最简单的近似普适片断“Toffoli-Hadamard”是完备的.我们表明，重写是终止的，但不汇合（这是预期的普遍性的片段）。我们使用路径求和和图形语言ZH-Calculus之间的联系来做到这一点，并展示了公理化如何转化为后者。最后，我们展示了如何丰富的重写系统，以达到完整的二进片段的量子计算-通过添加相位门与二进倍数的$π$的托夫里-阿达玛门集-特别是在量子傅立叶变换。
2022-11-07 cs.LO quant-ph
ZX-Rules for 2-qubit Clifford+T Quantum Circuits
ZX演算是量子比特计算的高级图形形式。本文给出了ZX-规则，使我们能够导出2-qubit Clifford + T量子线路之间的所有方程。我们的规则集只是稳定器ZX演算规则的一个小的扩展，并且远远小于最近实现的普遍完备性所需的规则集。我们的规则之一是新的，我们希望它也有其他的实用程序。这些ZX-规则比Selinger和Bian的Clifford + T电路方程组的完备性简单得多，这表明ZX-演算为量子线路的重写提供了一个比局限于电路方程更方便的舞台.其原因是ZX演算不受用于执行中间计算的固定酉门集合的约束。
2018-06-12 math.CT quant-ph
Towards a Minimal Stabilizer ZX-calculus
本文研究稳定子ZX演算的最小化，证明多数重写规则必要，并指出双代数规则的必要性为开放问题，同时表明弱背景范畴可恢复关键元规则。
2020-12-19 cs.LO quant-ph
The ZX&-calculus: A complete graphical calculus for classical circuits using spiders
我们给出了由Z和X蜘蛛（对应于复制和加法）生成的ZX演算的片段ZX&以及“非”门和“与”门的完整介绍。为了证明完整性，我们自由地添加一个单位和计数器到由Toffoli门和辅助位生成的TOF类别中，表明这产生了有限序数和函数的完整子类别，对象幂为2;然后在此类别和ZX之间进行双向翻译。转换到TOF的某些扩展，而不是ZX演算的某些片段，是一个自然的选择，因为Toffoli门的乘法性质。为此，我们表明，自由添加计数到半Frobenius代数的离散逆范畴是相同的笛卡尔完成。特别地，对于一个离散逆范畴，经典通道范畴、笛卡尔完备化和加可数都产生同一个范畴。因此，将这些构造应用于TOF产生了有限序数的全子范畴和对象幂为2的部分映射。通过将自由单位完备化和自由单位完备化粘合在一起，这就产生了“量子比特多重关系”。"
2021-09-06 cs.LO math.CT quant-ph
