A Diagrammatic Axiomatisation for Qubit Entanglement
关于么半群范畴的推理的图解技术提供了对相互作用的计算过程的对称性和连接的直观理解。在分类量子力学的背景下，Coecke和Kissinger建议两个3-qubit态GHZ和W可以用作新的图形演算的构建块，旨在对多体量子比特纠缠进行图形分类，突出量子态的通信特性及其在加密方案中的潜在用途。在本文中，我们提出了一个完整的图形公理化GHZ和W之间的关系：ZW演算。这改进了先前存在的ZX演算的一个版本，同时保持了它最令人满意的特性：无向性、高度对称性和代数基础。我们证明了ZW演算是完整的自由阿贝尔群的两个发电机的幂的类别-“整数系数的量子比特”-并提供了一个明确的规范化过程。
2015-01-28 cs.LO math.CT quant-ph
A ZX-Calculus with Triangles for Toffoli-Hadamard, Clifford+T, and Beyond
我们考虑一个增广三角形节点的ZX演算，它非常适合于在量子力学的Toffoli-Hadamard片段上进行推理。我们精确地显示它所代表的矩阵的形式，我们提供了一个公理化，使语言完整的托夫里-阿达玛量子力学。我们扩展的语言与任意角度，并表明，任何真正的方程涉及线性图的恒定角度是多个Pi是可导的。我们表明，一个单一的公理，然后是必要的和充分的语言等价的ZX演算是已知的克利福德+T量子力学是完整的。作为一个副产品，它导致了一个新的和简单的完全公理化的Clifford+T量子力学。
2019-01-29 cs.LO quant-ph
Completeness of the ZX-calculus
本文通过转换ZW-calculus的完备性结果，首次给出了纯量子比特量子力学的ZX-calculus完备公理化，并进一步扩展至Clifford+T电路、qutrit稳定子系统及多个量子计算应用场景。
2023-05-17 quant-ph
Light-Matter Interaction in the ZXW Calculus
本文提出无限 ZW 图形演算，结合 QPath 与 qudit ZXW 演算，用于重写含光-物质相互作用及非线性效应的光子电路，并通过图解推理导出玻色子和费米子哈密顿量的指数形式。
2023-08-31 quant-ph
Completeness of the ZX-Calculus
本文通过添加公理并利用第三方图形化语言的来回翻译，证明了ZX-演算在克利福德+T片段及整体上的完备性，并扩展至线性图类，最后为含额外生成器的简化版本给出完备公理化。
2020-06-03 cs.LO quant-ph
Complete ZX-calculi for the stabiliser fragment in odd prime dimensions
我们引入了一族ZX演算，它公理化了奇素数维中量子理论的稳定子片段。这些演算恢复了量子比特ZX演算的许多好的特性，这些特性在以前的高维系统提案中丢失了。然后，我们证明这些演算是完整的，即提供一组重写规则，可以用来证明任何平等的稳定量子操作。通过引入丢弃构造，得到了奇素数维混合态稳定子量子力学的微积分完备性，进而给出了仿射余各向同性关系的图解语言的完备公理化.
2023-03-10 quant-ph
Linear-algebraic lambda-calculus
考虑到量子计算模型和/或线性逻辑的解释，我们定义了一种函数语言，其中所有函数都是线性算子。一个小的步骤操作语义（因此解释器/模拟器）提供了这种语言的形式，长期重写系统。由此构造的线性-代数演算与线性代数演算在不同（但相关）的意义上是线性的。这些线性的各种概念在量子编程语言的上下文中进行了讨论。关键词：量子微积分，线性微积分，$λ$微积分，量子逻辑。
2005-01-25 quant-ph
ZX-Calculus: Cyclotomic Supplementarity and Incompleteness for Clifford+T quantum mechanics
ZX演算是量子力学和量子信息处理的一种强大的图形语言。语言的完整性--即导出任何真实方程的能力--是一个至关重要的问题。在寻求完整的ZX演算时，最近已经证明了平行性对于量子图推理是必要的（MFCS 2016）。粗略地说，平行性包括合并两个子图时，他们被参数化的对跖角。我们介绍了一个广义的cyclo-tomic cycloentarity-它包括在合并n个子图一次，当n个角度划分成相等的部分圆。我们证明了当n是奇素数时，分圆连续性是不能导出的，从而为图解量子推理提供了一个可数的新公理族，我们展示了另一个不能从ZX演算的现有规则导出的新的简单公理，特别是暗示了Clifford+T量子力学语言的不完备性.我们最终得到了一个新的公理化的扩展ZX-演算，包括一个公理模式的分圆的concurrentarity。
2017-06-26 cs.LO quant-ph
Towards a Minimal Stabilizer ZX-calculus
本文研究稳定子ZX演算的最小化，证明多数重写规则必要，并指出双代数规则的必要性为开放问题，同时表明弱背景范畴可恢复关键元规则。
2020-12-19 cs.LO quant-ph
A diagrammatic calculus of fermionic quantum circuits
本文提出费米子 ZW 演算，一种弦图语言，用于费米子量子计算，通过公理完备性证明和规范形式重写，实现费米子电路的计算与双轨编码的图解处理。
2019-08-30 cs.LO quant-ph
A Graphical Calculus for Quantum Computing with Multiple Qudits using Generalized Clifford Algebras
Harvard University（哈佛大学）
该研究基于前期代数框架构建了广义Clifford代数下多qudit量子计算的图形演算，证明了其核心性质，解决了相关公开问题，并验证了其中辫子算子用于量子计算实现的可行性。
2025-11-09 quant-ph
Completeness of Graphical Languages for Mixed States Quantum Mechanics
量子信息处理有几种图形语言，如量子线路、ZX-演算、ZW-演算等，每一种语言都形成一个匕首对称monoidal范畴（dagger-SMC），并对（有限维）Hilbert空间的匕首对称monoidal范畴给出一个解释函子。近年来，量子力学的范畴方法的主要成就之一是为大多数这些图形语言提供了几个方程理论，使它们完全适用于纯量子力学的各种片段。我们解决的问题，这些语言的扩展超出纯量子力学，以理由对混合状态和一般的量子操作，即完全积极的地图。直觉上，这样的扩展依赖于丢弃映射的公理化，它允许人们摆脱量子系统，这在纯量子力学中是不允许的。我们引入了一个新的构造，丢弃构造，它将任何匕首对称monoidal范畴转化为一个对称monoidal范畴配备了丢弃映射。粗略地说，这种构造包括使任何等距成为因果关系。使用这种结构，我们提供了几个图形语言，我们证明是完整的一般量子操作的扩展。然而，这种构造对于某些边缘情形是失败的，比如Clifford+T量子力学，因为这个范畴没有足够的等距。
2019-02-19 quant-ph
Completeness of algebraic CPS simulations
代数λ演算和线性代数λ演算是经典λ演算的两种线性组合推广。它们在不同的背景下独立出现：前者是微分λ演算的一个片段，后者是量子计算的候选λ演算。它们在应用程序参数和代数规则的处理上有所不同。这两种语言可以使用著名的按值调用和按名称调用CPS翻译的代数扩展来相互模拟。这些模拟是合理的，因为它们保留了减少。在本文中，我们证明了模拟实际上是完整的，加强了两种语言之间的联系。
2012-07-31 cs.LO quant-ph
Representing and Implementing Matrices Using Algebraic ZX-calculus
Quantinuum（昆蒂努姆）；University of Oxford（牛津大学）
该研究提出代数ZX-calculus下$2^m\times 2^n$尺寸初等矩阵的图式表示，刻画其逆与转置性质，用于描述Jozsa型匹配门并在discopy中实现，为ZX-calculus在量子计算的更多应用奠基。
2023-05-04 cs.AI quant-ph
Completeness of algebraic ZX-calculus over arbitrary commutative rings and semirings
ZX-演算是基于复数域的图形量子计算的严格数学形式。在本文中，我们通过推广ZX-演算来扩展它的能力，使得它在任意交换环和任意交换半环中都是通用的。此外，我们遵循arXiv：2007.13739的框架，通过矩阵行加、行乘等初等运算的规范形式，分别证明了任意交换环（半环）上的ZX-演算对于同一交换环（半环）上的矩阵是完备的.这项工作可能会导致各种应用，包括在弦图中做初等数论。
2020-10-11 math.CT quant-ph
Lineal: A linear-algebraic Lambda-calculus
我们提供了向量空间和双线性函数的概念的计算定义。我们使用这个结果来介绍一个最小的语言相结合的高阶计算和线性代数。这种语言扩展了λ演算，使之有可能进行α t + β u项的任意线性组合。我们描述了如何“执行”这个语言的一些重写规则，并证明他们通过两个基本要求，语言是一个语言的线性运算符，它是高阶。我们提到的角度，这项工作在量子计算领域，其电路，我们可以很容易地编码在微积分。最后，我们证明了整个演算的汇合。
2017-03-21 cs.LO cs.PL quant-ph
A System F accounting for scalars
代数演算和线性代数演算扩展了代数演算，使其可以进行任意的线性组合。在本文中，我们提供了一个细粒度的，系统F型系统的线性代数演算。我们表明，这个“标量”型系统享有的主题还原属性和强规范化属性，我们的主要技术成果。后者产生了一个显着的简化的线性代数微积分本身，通过消除需要的一些限制，在其减少规则。但是，这个标量类型系统更重要的原始特性是，它跟踪每个术语中存在的“类型的数量”。作为一个使用的例子，我们证明了它可以保证一个项的范式是重心的，即它的标量和为1。
2012-02-28 cs.LO cs.PL quant-ph
Algebraic Structure of Quantum Controlled States and Operators
University of Oxford（牛津大学）；Department of Computer Science and Technology University of Cambridge（剑桥大学计算机科学与技术系）
本文研究量子受控状态与算子的代数性质，证明受控矩阵构成环并展示其代数结构，为量子哈密顿量的因式分解提供新的重写规则。
2026-03-13 cs.LO quant-ph
Graphical Algebraic Geometry: From Ideals and Varieties to Quantum Calculi
University of Oxford（牛津大学）
本文提出图示代数几何（GAG），扩展了图示线性代数程序，证明其在代数结构的（co）span语义下是通用且完整的，展示了GAG在多项式约束网络中的重写系统应用及对量子计算中qudit ZH算子的扩展。
2026-05-13 cs.LO math.CT quant-ph
