Ascent sequences and upper triangular matrices containing non-negative integers
本文给出了上升序列与非负元素使得所有行和列至少有一个非零元素的上三角形矩阵之间的一个双射。我们展示了几个自然统计的等价性，这些结构下的双射，并证明了这些统计是equidistributed。几类特殊的矩阵有简单的配方在上升序列。二进制矩阵被示出为对应于没有两个相邻条目相同的上升序列。双对角矩阵的顺序连续集分区和一个简单的条件生成这个类的上升序列。
2009-09-18 math.CO
On pairs of triangular numbers whose product is a perfect square and pairs of intervals of successive integers with equal sums of squares
National Research University Higher School of Economics (HSE)（国立研究大学高等经济大学）；RUTCOR, Rutgers,the State University of NJ（罗格斯州立大学新泽西分校 RUTCOR）；Rutgers Business School, Rutgers University（罗格斯大学罗格斯商学院）
本文研究了乘积为完全平方数的三角数对以及具有相等平方和的连续整数区间对，构造了多项式并提出了相关猜想。
2026-09-17 math.CO math.NT
On almost universal mixed sums of squares and triangular numbers
1997年K. Ono和K. Soundararajan [发明。Math.130（1997）]证明了在广义黎曼假设下，任何大于2719的正奇数都可以用著名的拉马努金形式$x^2+y^2+10z^2$表示，等价地，形式$2x^2+5y^2+4T_z$表示所有大于1359的整数，其中$T_z$表示三角数$z(z+1)/2$。给定正整数$a,b,c$，我们采用模形式和二次型的理论，以确定完全时，一般形式$ax^2+by^2+cT_z$表示足够大的整数，并建立类似的结果，形式$ax^2+bT_y+cT_z$和$aT_x+bT_y+cT_z$。下面是我们的主要定理的一些结果：（1）所有足够大的奇数都有$2ax^2+y^2+z^2$的形式当且仅当$a$的所有素因子全等于1模4。(ii)形式$ax^2+y^2+T_z$几乎是通用的（即，它表示足够大的整数）当且仅当$a$的每个奇素因子全等于1或3模8。(iii)$ax^2+T_y+T_z$几乎是泛的当且仅当$a$的所有奇素因子全等于1模4。(iv)当$v_2(a)\not=3$时，形式$aT_x+T_y+T_z$几乎是普适的当且仅当$a$的所有奇素因子全等于1模4和$v_2(a)\not=5,7,...$，其中$v_2(a)$是$a$的2进阶。
2010-08-17 math.CO math.NT
Log-concavity of rows of triangular arrays satisfying a certain super-recurrence
本文研究满足超递推关系的三角阵列，给出其行具有对数凹性的充分条件，统一证明多类经典组合序列的对数凹性并证实广义 Lah 数猜想，还引入双参数 Eulerian 数推广并讨论其性质。
2025-08-17 math.CO math.NT
Mixed sums of squares and triangular numbers (II)
对于整数$x$，令$t_x$表示三角数$x(x+1)/2$。在Z. W. Sun，我们证明了每一个自然数都可以用$x,y,z\in\Z$写成以下任何一种形式：$$x^2+3y^2+t_z, x^2+3t_y+t_z, x^2+6t_y+t_z, 3x^2+2t_y+t_z, 4x^2+2t_y+t_z.$$这证实了Sun的一个猜想。
2007-12-24 math.CO math.NT
Triangular Arrays using context-free grammar
University of Fianarantsoa（菲亚纳兰楚阿大学）
本文利用上下文无关文法与组合微分方程的关系，将三角数组T(n,k)解释为递增树，并推导出显式公式和结构性质，特别涉及r-Whitney-Eulerian数和特定参数下的结果。
2026-04-29 math.CO
Integer Sequences and Output Arrays
第一作者最近在OEIS中引入了一个现在编号为A355519的整数序列。这个数列是从计数括号竞赛中产生的;它的研究唤起了对加泰罗尼亚三角形（OEIS中的数列A009766）和相关加泰罗尼亚数（OEIS中的数列A000108）的分析。因此，我们介绍了一个一般的建设，这些序列放在同一个立足点，并提出了许多新的整数序列。我们提供了执行这种构造的代码和一个很长的示例列表。该构造确定从输入序列到输出序列的函数。一些结果输出序列在OEIS中，而另一些则不在。
2022-08-19 math.CO math.NT
Integer flows on triangularly connected signed graphs
本文将Fan等人关于普通三角连通图允许无处零3-流或4-流的结论推广至符号图，证明每个允许流的三角连通符号图允许无处零4-流当且仅当它不是与特定符号关联的轮W5，且该结果具有尖锐性。
2023-10-20 math.CO
The existence of square non-integer Heffter arrays
Heffter阵列$H(n;k)$是$n\times n$矩阵，使得每行和列包含$k$填充的单元，每行和列的和可被$2nk+1$整除，并且对于每个整数$1\leq x\leq nk$，$x$或$-x$出现在阵列中。Heffter数组对于将图$K_{2nk+1}$嵌入到可定向曲面上非常有用。整数Heffter阵列是其中每一行和每一列的和为$0$的阵列。整数Heffter数组$H(n;k)$存在的充要条件（关于$n$和$k$）由Archdeacon，Dinitz，Donovan和Yazıc\（2015）以及Dinitz和Wanless（2017）验证。在本文中，我们考虑平方Heffter阵列，不一定是整数。我们表明，这样的Heffter阵列存在时，$3\leq k<n$。
2018-08-08 math.CO
Every triangle-free induced subgraph of the triangular lattice is $(5m,2m)$-choosable
图$G$是$(a,b)$可选择的，如果对于与每个顶点相关联的大小为$a$的任何颜色列表，可以选择$b$颜色的子集，使得邻顶点用不相交的颜色集着色。证明了对任意整数$m\ge 1$，三角格的任意有限个无三角形诱导子图都是$(5m,2m)$ -可选的.
2011-10-12 math.CO
A theorem about partitioning consecutive numbers
在1882年J.J.西尔维斯特已经证明，不同的方式划分成连续的正整数的数目正好等于奇数除数的整数（见[1]）。现在我们将发展一个关于三角数的有趣的陈述，这些正整数可以被分割成从1开始的连续数。对于一个三角形数n的每一个连续数的划分，我们可以划分从1开始的数字序列，再加到n，这样这个划分的每一部分加起来正好是n的所选划分的一个数。
2019-07-16 math.CO
Total positivity from the exponential Riordan arrays
Bender和Canfield [J. Combin.理论系列A 74（1996）]。Schirmacher [J. Combin. Theory Ser. A 85（1999）]将它们推广到$q$ -对数凸性和几乎$q$ -对数凸性。受此启发，我们考虑了Toeplitz矩阵和Hankel矩阵的更强性质全正性。利用指数Riordan阵列方法，分别利用指数公式、对数公式和分式公式给出了广义轮换指数多项式系数三角形矩阵、多项式序列的Toeplitz矩阵和Hankel矩阵的全正性的判别准则.最后，我们将我们的准则应用于满足某些递推关系的三角形阵列，包括两类Bessel三角形及其推广，Lah三角形及其推广，幂等三角形以及与二项式系数、rook多项式和Laguerre多项式有关的三角形。我们不仅得到了这些下三角形的全正性、行生成函数的$q$ -Stieltjes矩性质和$3$ - $q$ -对数凸性，而且证明了它们的三角卷积保持Stieltjes矩性质.特别地，我们解决了Sokal关于车多项式的$q$ -Stieltjes矩性质的一个猜想.
2021-10-10 math.CO
A Note on Riordan Arrays with Catalan Halves
对于下三角形矩阵$(t_{n,k})$，我们将具有相应条目$(t_{2n-k,n})$和$(t_{2n,n+k})$的矩阵称为垂直和水平半部。本文讨论了Riordan数组的一半与Catalan矩阵密切相关。
2019-12-02 math.CO
Explicit Formulas and Combinatorial Interpretation of Triangular Arrays
University of Fianarantsoa（菲纳兰苏瓦大学）
本文通过格路在N×N中的应用，推导出满足特定递推关系的序列显式公式，并探讨了组合意义及r-Eulerian数的应用。
2026-03-21 math.CO
Magic rectangles, signed magic arrays and integer $λ$-fold relative Heffter arrays
令$m,n,s,k$为整数，使得$4\leq s\leq n$、$4\leq k \leq m$和$ms=nk$。令$λ$是$2ms$的除数，令$t$是$\frac{2ms}λ$的除数。本文构造了幻矩形$MR(m,n;s,k)$、符号幻数组$SMA(m,n;s,k)$和整数$λ$ -倍相对Heffter数组${}^λH_t(m,n;s,k)$，其中$s,k$为偶数.特别是，我们证明了存在一个$SMA(m,n;s,k)$的所有$m,n,s,k$满足前面的假设。进一步证明了在下列情况下都存在一个$MR(m,n;s,k)$和一个整数${}^λH_t(m,n;s,k)$：$(i)$ $s,k \equiv 0 \pmod 4$ ; $(ii)$ $s\equiv 2\pmod 4$和$k\equiv 0 \pmod 4$ ; $(iii)$ $s\equiv 0\pmod 4$和$k\equiv 2 \pmod 4$ ; $(iv)$ $s,k\equiv 2 \pmod 4$和$m,n$都是偶数.
2020-10-22 math.CO
Interlacing triangles, Schubert puzzles, and graph colorings
本文证明交错三角阵列可用于计算 Grassmannians 及相关簇上同调中 Schubert 类乘法的结构常数，通过建立分裂引理和构造与图着色及 Knutson-Tao 谜题相关的双射，证明并反驳了相关计数猜想。
2025-04-22 math.AG math.CO math.PR
Further constructions of square integer relative Heffter arrays
针对平方整数相对Heffter数组存在性的开放问题，本文构造了两个具有可剥离性质的新无限族，完善了k=3且n为素数时该数组的存在性理论。
2025-11-11 math.CO
Integer Sequences: Irregular Arrays and Intra-Block Permutations
本文研究不规则数组的整数序列，给出编号显式公式，推广康托尔对角线方法，并定义块内置换及广义不情愿序列。
2023-10-27 math.CO
Tight Heffter Arrays Exist for all Possible Values: The Research Report
紧Heffter阵列H（m，n）是具有来自Z_{2mn+1}的非零条目的m × n矩阵，使得i）每行和每列中的元素的和为0，并且ii）来自{x，-x}的元素不出现两次。我们证明了H（m，n）存在的充要条件是m和n都至少为3.如果所有条目都是整数的大小最多mn满足每行和列的总和是0的整数，也满足ii）我们称H为整数Heffter阵列。我们证明了整数Heffter阵列存在的充要条件是mn \equiv 0，3（mod 4）.最后，整数Heffter数组是可移位的，如果每行和每列包含相同数量的正整数和负整数。我们证明了当两个$m,n$都是偶数时，可移位整数数组的存在性。这份研究报告包含了证据的所有细节。它是为了伴随这篇论文的期刊版本。
2015-09-01 math.CO
Some Linear Recurrences Motivated by Stern's Diatomic Array
我们定义了一个三角形阵列密切相关的斯特恩的双原子阵列，并表明，对于一个固定的整数$r\geq 1$，行$n$中的条目的$r$次幂的总和$u_r(n)$满足线性常系数递归。证明技术产生了广泛的推广。在某些情况下，我们可以更明确地得到线性递归。
2019-01-15 math.CO
A unified approach to combinatorial triangles: a generalized Eulerian polynomial
受经典欧拉数、超八面体群中的下降数和超越数、阶梯表中的三角形阵列等的启发，研究了满足递推关系的三角形阵列$[\mathcal {T}_{n,k}]_{n,k\ge 0}$：\begin{equation*} \mathcal {T}_{n,k}=λ(a_0n+a_1k+a_2)\mathcal {T}_{n-1,k}+(b_0n+b_1k+b_2)\mathcal {T}_{n-1,k-1}+\frac{cd}λ(n-k+1)\mathcal {T}_{n-1,k-2} \end{equation*}，其中有$\mathcal {T}_{0,0}=1$和$\mathcal {T}_{n,k}=0$，除非$0\le k\le n$ .我们从另一个满足两项递归关系的阵列$[A_{n,k}]_{n,k}$的行生成函数$A_n(x)$导出了其行生成函数$\mathcal{T}_n(x)$的函数变换。在此基础上，我们得到了$\mathcal {T}_{n,k}$和$\mathcal{T}_n(x)$的非负性、对数正性、实根性、显式等性质，并将经典欧拉多项式的Frobenius公式、$γ$正性分解和David-Barton公式推广到广义欧拉多项式.得到了广义欧拉多项式与广义导数多项式的一个恒等式。最后，我们将我们的结果应用到一个数组从兰伯特函数，一个三角形数组从楼梯tableaux和交替运行的…
2020-07-24 math.CO
Combinatorics of Fourier transforms for type A quiver representations
本文描述了两种新的组合算法（使用“三角阵列”的语言），用于计算A型等向群表示的模空间上的简单反常层的傅里叶变换。（Knight-Zelevinsky之前获得了这个问题的一个相当不同的解决方案。）在此过程中，我们还表明，封闭偏序和轨道的尺寸有特别简洁的描述语言的三角阵列。
2018-07-26 math.CO math.RT
