On a discrete scheme for time fractional fully nonlinear evolution equations
Yoshikazu Giga, Qing Liu, Hiroyoshi Mitake
本文介绍了一种求解二阶完全非线性抛物型偏微分方程的离散格式。在黏性解理论的框架下证明了该格式的收敛性。离散格式可以看作是一个分解型近似。
We introduce a discrete scheme for second order fully nonlinear parabolic PDEs with Caputo's time fractional derivatives. We prove the convergence of the scheme in the framework of the theory of viscosity solutions. The discrete scheme can be viewed as a resolvent-type approximation.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Schauder estimates for discrete fractional integrals
本文主要研究离散的分数次积分，作为我们以前关于非局部分数阶导数的工作的自然延续。利用半群理论定义了离散分数次积分，研究了离散Hölder空间上{离散分数次积分}的正则性，在微分方程领域中称为离散Schauder估计.
On (Global) Unique Continuation Properties of the Fractional Discrete Laplacian
我们研究了分数阶离散拉普拉斯算子的各种定性和定量的（全局）唯一延拓性质。我们表明，虽然分数拉普拉斯算子享有惊人的刚性性质的形式（全球）唯一的延续性，分数离散拉普拉斯算子一般不享有这些。虽然离散化，从而抵消了强刚性的连续分数拉普拉斯算子的性质，通过讨论定量形式的独特的延续，我们说明，这些属性可以恢复，如果指数小（在晶格尺寸）的校正项。这特别使我们能够推导出一致稳定性属性的离散，线性反问题的分数拉普拉斯算子。我们补充这些意见与转让原则和讨论这些属性的离散环面。
Asymptotic of the Discrete Volume-Preserving Fractional Mean Curvature Flow via a Nonlocal Quantitative Alexandrov Theorem
我们的特点的体积保持分数中曲率流的离散时间近似的长时间行为。特别地，我们证明了从有限分数周长的任何有界集开始的离散流指数快速收敛到单个球。作为一个中间结果，我们建立了一个定量的亚历山德罗夫型估计的分数设置正常变形的球。最后，当时间离散化参数趋于零时，我们证明了作为离散流极限点的平坦流的存在性。
Subordination principle, Wright functions and large-time behaviour for the discrete in time fractional diffusion equation
本文的主要目的是研究含Caputo分数阶$h$ -差分算子的时间离散$N$ -维扩散方程的分数阶解在$L^p(\mathbb{R}^N)$中的渐近性态.证明结果的技术是基于新的从属公式，涉及离散的时间高斯内核，并通过一个模拟的离散时间设置的缩放赖特函数定义。此外，我们得到了该从属公式的Fox H-函数的等价表示。
Discrete Time-Dependent Wave Equations II. Semiclassical Fractional Klein-Gordon Equation
本文考虑格点上分数阶Klein-Gordon方程的一个半经典形式$h{\mathbb{Z}}^n.$与[2]中所考虑的欧氏情形相反，离散分数阶Klein-Gordon方程在$\ell^2(h{\mathbb{Z}}^n).$中是适定性的。然而，在半经典参数$h\rightarrow 0.$的极限下，我们也恢复了某些索伯列夫空间中的适定性结果
Non-local fractional derivatives. Discrete and continuous
我们证明了整数中分数阶离散导数的最大值原理和比较原理。正则性的结果时，空间是一个网格的长度$h$，和逼近定理的连续分数阶导数。当函数足够好时，这些近似过程给出了近似阶的度量。这些结果也使我们能够证明的巧合，足够好的功能，Marchaud和Grünwald-Letnikov衍生物在每一个点和收敛速度的Grünwald-Letnikov衍生物。分数阶离散导数也将被描述为由半离散扩展问题定义的Neumann-Dirichlet算子。一些与调和分析有关的算子也将被考虑，特别是它们在Lebesgue空间$\ell^p(\mathbb{Z}).$中的行为
A fractional approach to strain-gradient plasticity: beyond core-radius of discrete dislocations
该研究借助2023年提出的有限视界分数阶梯度构建半离散位错非局部模型，推导出无需芯半径的塑性应变梯度理论，证明重标度能量随α趋于0会Γ-收敛到2010年的宏观应变梯度模型。
Uniform semigroup spectral analysis of the discrete, fractional \& classical Fokker-Planck equations
本文从半群的观点研究了离散、分数阶和经典Fokker-Planck方程的谱分析。离散和分数阶Fokker-Planck方程在某种意义上收敛于经典方程。因此，我们首先处理离散和经典的Fokker-Planck方程在同一个框架，证明统一的谱估计使用微扰参数和放大参数。然后，我们对分数阶和经典的Fokker-Planck方程做了类似的分析，使用了一个扩大半群衰变空间的论点。我们还处理了另一类离散的Fokker-Planck方程，它收敛到分数阶Fokker-Planck方程，我们也能够从谱分析的观点在同一个框架下处理这些方程，仍然是一个半群的方法，并感谢微扰的论点结合扩大之一。让我们在这里强调，我们改进了在[7]中引入并在[11]中发展的微扰论证，放松了定理的假设，从而扩大了满足应用它所需假设的算子类。
A Discrete Model for Nonlocal Transport Equations with Fractional Dissipation
本文提出一个离散模型来研究具有非局域漂移和超临界耗散的一维输运方程。我们模型的灵感来自等式$$ θ_t + (Hθ) θ_x +(-Δ)^αθ=0 $$，其中$H$是希尔伯特变换。对于我们的离散模型，我们提出了爆破的结果，类似于上述方程的已知结果。此外，我们将证明我们的离散模型的规律性，这表明在连续设置的范围$1/4<α<1/2$超临界规律性。
On Existence and Uniqueness of Viscosity Solutions for Second Order Fully Nonlinear PDEs with Caputo time fractional derivatives
在黏性解理论框架下，研究了Caputo时间分数阶导数小于1的二阶完全非线性偏微分方程的初边值问题.相关的边界条件是Dirichlet和Neumann，他们被认为是在强意义和粘性的意义，分别。利用比较原理和Perron方法，证明了Cauchy-Dirichlet和Cauchy-Neumann问题解的存在唯一性.
Fractional Crank-Nicolson-Galerkin Finite Element Scheme for the Time-Fractional Nonlinear Diffusion Equation
本文提出了一种求解时间分数阶非线性扩散方程的牛顿法有限元格式。对于时间离散，我们使用分数的Crank-Nicolson计划的基础上向后欧拉卷积求积。我们讨论了全离散问题的存在唯一性结果。利用D.Li等人在[11]中给出的思想，建立了用于逼近Riemann-Liouville分数阶导数的后向Euler卷积求积的离散分数阶Gronwall型不等式.推导了全离散问题在$L^2(Ω)$范数下的先验误差估计。基于有限元格式的数值结果验证了理论估计。
Solutions to discrete fractional Schödinger equations
针对定义在 $\mathbb{Z}^d$ 上、含离散 Fourier 变换定义的非局部算子 $(-\Delta)^\alpha$ 的分数阶 Schrödinger 方程，本文在适当势函数与非线性项假设下，用变分法证明了解的存在性与多重性。
Backward problem for time fractional reaction-diffusion equation with nonlinear source and discrete data
本文研究了具有非线性源的多维时间分数阶反应扩散方程的终值解问题。我们证明了目前的问题是不良定的。然后利用截断展开法（二维情形）和拟边值法（多维情形）构造正则化问题。最后给出了正则化解的收敛速度并进行了数值研究。
Hölder Continuity for Fully Fractional Parabolic Equations with Space-time Nonlocal Operators
本文研究含空间分数阶扩散与Marchaud型分数阶时间导数的全分数阶抛物型方程，在不假设解和非齐次项有界的条件下，引入时间依赖非局部尾项，利用非局部De Giorgi迭代技术证明弱解的局部有界性与局部Hölder连续性。
Fractional Sobolev regularity for fully nonlinear elliptic equations
证明了在无界源项存在的情况下完全非线性一致椭圆型方程的高阶分数阶Sobolev正则性。更确切地说，我们表明存在一个通用的数$0< \varepsilon <1$，只依赖于椭圆性常数和尺寸，这样，如果$u$是一个黏性解的$F(D^2u) = f(x) \in L^p$，然后$u\in W^{1+\varepsilon,p}$，适当的估计。我们的策略提出了一种完全非线性扩散过程的分数特征，因为我们实际上表明的是，对于普适常数$\frac{1}{2} < θ<1$，$F(D^2u) \in L^p \implies (-Δ)^θu \in L^p$。我们相信我们的技术是灵活的，可以适应各种模型和背景。
Global fractional Sobolev regularity for fully nonlinear elliptic equations
本文在算子一致椭圆且系数可测的条件下，证明完全非线性椭圆方程的粘性解全局具有 $W^{γ,p}$（$γ\in(1,2)$）分数阶 Sobolev 正则性，且无需凸性或凹性等额外假设。
The derivative of the fractional discrete Laplacian is an exotic Riesz potential
本文证明了分数离散拉普拉斯算子在特定条件下的导数是一种奇异的里斯势，并将Chen-Weth的对数拉普拉斯算子扩展到离散领域。
Blow-up for a fully fractional heat equation
研究了具有$p>0$的完全分数阶热方程$$ \mathcal{M} u=u^p,\qquad x\in\mathbb{R}^N,\;0<t<T $$的爆破解的存在性和行为，其中$\mathcal{M}$是由时空核$M(x,t)=c_{N,σ}t^{-\frac N2-1-σ}e^{-\frac{|x|^2}{4t}}{1}_{\{t>0\}}$，$0<σ<1$给出的非局部算子.该算子与通过半群理论定义的热算子$\mathcal{M}=(\partial_t-Δ)^σ$的分数幂相一致。我们刻画了整体存在性指数$p_0=1$和Fujita指数$p_*=1+\frac{2σ}{N+2(1-σ)}$，并研究了在$p_*$以下的爆破解趋于无穷大的速率$\|u(\cdot,t)\|_\infty\sim (T-t)^{-\fracσ{p-1}}$.
Inverse coefficient problem for a fully fractional diffusion equation with nonlinear and source nonlocal initial condition
本文研究了完全分数扩散方程中非线性及源非局部初始条件的反系数问题，通过傅里叶方法和固定点论证证明了解的适定性。
Continuum limit of 3D fractional nonlinear Schrödinger equation
该研究针对三维分数阶非线性薛定谔方程的连续极限问题，通过振荡积分一致估计与牛顿多面体技巧证明离散方程的一致Strichartz估计，得出离散解强收敛于连续解。
Large harmonic functions for fully nonlinear fractional operators
研究了有界光滑区域$Ω\subset \mathbb R^N$上分数阶调和函数解的存在性、唯一性和边界爆破轮廓。我们处理调和函数与一致椭圆，完全非线性非局部算子，包括线性情况$$ (-Δ)^s u = 0 \quad \mbox{in} \ Ω, $$，其中$(-Δ)^s$表示分数拉普拉斯阶$2s \in (0,2)$。利用粘性解理论和Perron方法构造了$\bar Ω^c$中具有零外部条件的调和函数，并对任意给定的边界数据$h \in C(\partial Ω)$构造了边界爆破剖面$$ \lim_{x\to x_0, x \in Ω}\mathrm{dist}(x, \partial Ω)^{1-s}u(x)=h(x_0), \quad \mbox{for all} \quad x_0\in \partial Ω, $$.我们的方法使我们能够提供爆破率的解决方案和它的梯度估计。即使在线性情况下，结果也是新的。
Pointwise regularity of solutions for fully fractional parabolic equations
本文研究了完全分数抛物方程解的点wise正则性，通过引入新的等价定义和积分表示，建立了不同正则性的条件并推导出经典局部正则性。
Maximum principles for a fully nonlinear fractional order equation and symmetry of solutions
本文考虑了含有完全非线性非局部算子$$F_α(u(x)) \equiv C_{n,α} PV \int_{\mathbb{R}^n} \frac{G(u(x)-u(z))}{|x-z|^{n+α}} dz= f(x,u).$$的方程，证明了一个最大值原理，得到了进行动平面法的关键要素，如窄域原理和无穷远衰减.然后，我们建立了单位球上和整个空间上完全非线性分数阶方程的狄利克雷问题正解的径向对称性和单调性，以及半空间上解的不存在性.我们相信，这里开发的方法可以适用于各种问题，涉及完全非线性非局部算子。我们还研究了该算子作为$α\rightarrow 2$的极限，并证明了$$F_α(u(x)) \rightarrow a(-Δu(x)) + b |\bigtriangledown u(x)|^2 .$$
Li-Yau and Harnack inequalities via curvature-dimension conditions for discrete long-range jump operators including the fractional discrete Laplacian
我们考虑具有对称可积核$k$的一维格上的形式为$L u(x) = \sum_{y \in \mathbb{Z}} k(x-y) \big( u(y) - u(x)\big)$的算子。我们证明了几个结果表明，在一定条件下的内核操作$L$满足曲率维数条件$CD_Υ(0,F)$（最近推出的两个作者）与一些$CD$ -功能$F$，其中注意也支付到$F$（指数增长性在无穷大和幂型行为接近零）。我们证明了$CD_Υ(0,F)$蕴含一个关于与算子$L$相关的热方程正解的Li-Yau不等式. Li-Yau估计反过来又导致Harnack不等式，从中我们还推导出热核界。我们的结果适用于广泛的一类运营商，包括分数离散拉普拉斯算子。
Convergence of solutions of discrete semi-linear space-time fractional evolution equations
令$(-Δ)_c^s$是分数拉普拉斯算子在连续函数空间$C_0(\mathbb{R})$上的实现，并且令$(-Δ_h)^s$表示$C_0(\mathbb{Z}_h)$上的离散分数拉普拉斯算子，其中$0<s<1$和$\mathbb{Z}_h:=\{hj:\; j\in\mathbb{Z}\}$是固定大小$h>0$的网格。证明了在$C_0(\mathbb{Z}_h)$上与离散算子$(-Δ_h)^s$相关的分数阶半线性柯西问题的解收敛于与连续算子$(-Δ)_c^s$相关的相应柯西问题的解.此外，我们还得到了在$[0,\infty)$的紧子集上$t$的一致收敛性.我们还提供了支持我们的理论结果的数值模拟。
Fractional discrete Laplacian versus discretized fractional Laplacian
本文研究了离散拉普拉斯算子的分数次幂性质，并比较了其与连续分数拉普拉斯算子的离散化形式在小h下的误差估计，推导了Hölder估计及离散分数积分的性质。
Inverse source problem for time fractional diffusion with discrete random noise
本文研究了在固定时刻给定数据的时间分数阶扩散方程的源反问题。这个问题是不适定的，即，该解决方案并不连续地依赖于数据。为了正则化不稳定的解，我们将非参数回归中的三角函数方法与截断展开法相结合。我们还研究了收敛速度。
Characterization of the boundedness of the discrete Fractional maximal operator between weighted in Lorentz sequence spaces
本文完整刻画了离散分数阶极大算子在加权Lorentz序列空间间的有界性，通过尖锐重排估计将其归结为上确界算子的有界性，并利用近期结果得到最终判定。
Nonlocal discrete diffusion equations and the fractional discrete Laplacian, regularity and applications
本文研究网格上分数阶离散拉普拉斯方程，建立非局部公式、均值性质、正则性与Schauder估计，证明解的存在唯一性及离散Sobolev嵌入和Poincaré不等式，并给出向连续分数阶拉普拉斯方程解的收敛性与显式误差估计。
Discretization of fractional fully nonlinear equations by powers of discrete Laplacians
本文提出利用离散 Laplacian 的幂次对分数阶完全非线性方程进行离散化，设计出对所有阶数 $σ$ 均具有二阶精度的有限差分求积格式，并利用粘性解理论证明了其单调性、相容性、稳定性和收敛性。
Spectral and Dynamical Analysis of Fractional Discrete Laplacians on the Half-Lattice
本文研究多维半格上的离散分数阶拉普拉斯算子，通过将其表示为全格算子的边界限制加相对紧修正项，证明了两者具有相同的本质谱和内部阈值结构，并利用共轭算子方法建立了局部极限吸收原理，确保了全格上的谱与动力学结果在半格上依然成立。
Dynamics of periodic fractional discrete NLS in the continuum limit
本文研究周期格点上分数阶离散非线性薛定谔方程在连续极限下的收敛性，证明其收敛到分数阶NLS并获得最优收敛速率，同时揭示调制不稳定性中最大增益对振幅依赖关系的转变。
Constructing fractional Gaussian fields from long-range divisible sandpiles on the torus
在\cite{Cipriani2016}中，作者证明了，通过适当的重新标度，单位环面上的（最近邻）可分沙堆的里程表收敛到双拉普拉斯场。在这里，我们研究$α$ -远程可分沙堆，类似于\cite{Frometa2018}中介绍的沙堆。我们证明了，对于$α\in (0,2)$，极限场是环面上的分数高斯场，参数为$α/2$。然而，对于$α\in [2,\infty)$，我们恢复双拉普拉斯场。这提供了分数高斯场的替代构造，例如高斯自由场或膜模型，其使用基于Lévy Walks生成器的扩散。获得我们的结果的中心工具是一个仔细的研究离散环面上的分数拉普拉斯算子的频谱。更具体地说，我们需要特征值的发散率，因为我们让离散环面的边长变为无穷大。作为一个副作用，我们得到精确的渐近的特征值的离散分数拉普拉斯算子。进一步，我们确定了有限网格上具有参数$γ=\min \{α,2\}$和$α\in \mathbb{R}_+\backslash\{2\}$的离散分数高斯场的期望最大值的阶数。
An optimal fractional Hardy inequality on the discrete half-line
本文研究离散半直线上分数阶拉普拉斯算子的Hardy不等式，给出了对应指数范围的最优Hardy权，得到带经典权的不等式最佳常数，发现σ=1时该权在无穷远处大于已有结果，并应用得到分数阶Schrödinger方程解的无穷远唯一延拓结论。
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