一种线性化的能量守恒有限元方法用于带有波算子的非线性薛定谔方程
A linearized energy--conservative finite element method for the nonlinear Schrödinger equation with wave operator
AI总结：
本文提出了一种线性化的有限元方法，用于求解带有波算子的三次非线性薛定谔方程。该方法采用修改的Leap-Frog方案进行时间离散化，采用Galerkin有限元方法进行空间离散化。证明了所提出的方法在给定的离散范数下保持能量守恒。与非守恒方案相比，我们的算法具有更高的稳定性。同时，通过误差拆分技术给出了所提方案的最优误差估计。即，将误差拆分为两部分，一部分来自时间离散化，另一部分来自空间离散化。首先，通过引入时间离散系统，证明了该时间离散系统解在某些强范数下的统一有界性，并获得了时间方向上的误差估计。借助初步的时间估计，我们进一步证明了有限元解的点wise统一有界性，并在时间步长与空间网格尺寸无关的意义下获得了最优的L^2-范数误差估计。最后，通过数值实验验证了收敛阶、无条件稳定性和能量守恒。
摘要：
在本文中，我们提出了一种线性化的有限元方法（FEM），用于求解带有波算子的三次非线性薛定谔方程。在该方法中，采用修改的Leap-Frog方案进行时间离散化，采用Galerkin有限元方法进行空间离散化。我们证明了所提出的方法在给定的离散范数下保持能量守恒。与非守恒方案相比，我们的算法具有更高的稳定性。同时，通过误差拆分技术给出了所提方案的最优误差估计。即，将误差拆分为两部分，一部分来自时间离散化，另一部分来自空间离散化。首先，通过引入时间离散系统，我们证明了该时间离散系统解在某些强范数下的统一有界性，并获得了时间方向上的误差估计。借助初步的时间估计，我们进一步证明了有限元解的点wise统一有界性，并在时间步长与空间网格尺寸无关的意义下获得了最优的L^2-范数误差估计。最后，数值实验被提供以验证收敛阶、无条件稳定性和能量守恒。
英文摘要：
In this paper, we propose a linearized finite element method (FEM) for solving the cubic nonlinear Schrödinger equation with wave operator. In this method, a modified leap-frog scheme is applied for time discretization and a Galerkin finite element method is applied for spatial discretization. We prove that the proposed method keeps the energy conservation in the given discrete norm. Comparing with non-conservative schemes, our algorithm keeps higher stability. Meanwhile, an optimal error estimate for the proposed scheme is given by an error splitting technique. That is, we split the error into two parts, one from temporal discretization and the other from spatial discretization. First, by introducing a time-discrete system, we prove the uniform boundedness for the solution of this time-discrete system in some strong norms and obtain error estimates in temporal direction. With the help of the preliminary temporal estimates, we then prove the pointwise uniform boundedness of the finite element solution, and obtain the optimal $L^2$-norm error estimates in the sense that the time step size is not related to spatial mesh size. Finally, numerical examples are provided to validate the convergence-order, unconditional stability and energy conservation.
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