Treewidth is NP-Complete on Cubic Graphs (and related results)
在本文中，我们给出了一个非常简单的证明，树宽是NP-完全的，这个证明也显示了NP-完全的类的共同二部图。然后，我们改进了Bodlaender和Thilikos从1997年的结果，树宽是NP-完全的最大程度的图最多9，通过证明树宽是NP-完全的立方图。
2023-03-02 cs.CC cs.DS math.CO
Inapproximability of Treewidth, One-Shot Pebbling, and Related Layout Problems
我们研究了一些图形问题的可逼近性：树宽和路径宽度的图形，一次性黑（和黑白）卵石成本的有向无环图，以及各种不同的图形布局问题，如最小切割线性排列和区间图完成。我们表明，假设最近引入的小集合扩展猜想，所有这些问题都很难在任何常数因子内近似。
2011-09-22 cs.CC cs.DS
Metric Dimension is NP-complete on Graphs of Treewidth Two
Normandie Univ, UNICAEN, ENSICAEN, CNRS, GREYC（诺曼底大学，卡昂大学，ENSICAEN，法国国家科学研究中心，GREYC）
该研究确定树宽为2的图上的度量维数判定问题是NP完全的，通过归约可满足性问题构造对应图，明确了该问题难度的树宽阈值。
2026-10-21 cs.CC cs.DM
On the Treewidth of Dynamic Graphs
动态图理论是一个新的，不断增长的领域，它处理随着时间的推移而变化的图形，并且在建模现代无线，移动和动态环境中具有很大的实用性。随着图形的演变，可能是任意的，识别可以随时间保留的图形属性并理解它们各自的可计算性是具有挑战性的。本文研究了动态图的树宽。我们专注于元定理，它允许生成一系列的结果的基础上的一般性质的结构类。在图论中，关于树宽的两个主要元定理通过使用结构图测度和有限模型理论提供了复杂性分类。Courcelle定理给出了一个一般的易处理性结果的问题表示在一元二阶逻辑上的图有界树宽，和弗里克和Grohe证明了一个类似的结果为一阶逻辑和图有界局部树宽。我们扩展这些定理表明，动态图的有界（本地）树宽的时间长度，图的演变和观察是有限的和有界的，可以建模在这样一种方式，（本地）树宽的基础图形保持。我们将这些结果应用于动态图论中的问题和静态问题的动态扩展。此外，我们证明了某些广泛使用的动态图类自然有界的局部树宽。
2012-05-25 cs.CC cs.DM cs.LO
Weighted Counting of Matchings in Unbounded-Treewidth Graph Families
本文考虑任意固定图族$\mathcal{G}$上匹配的加权计数问题，记作$\textrm{PrMatching}(\mathcal{G})$.输入由图$G\in \mathcal{G}$和$G$的每条边上存在的有理概率组成，假设独立性。输出是在所得分布中获得$G$的匹配的概率，即，成对不相交的一组边。已知，如果$\mathcal{G}$具有有界树宽，则$\textrm{PrMatching}(\mathcal{G})$可以在多项式时间内求解。在本文中，我们表明，在一些假设下，有界树宽实际上表征了这个问题的听话的图形家庭。更准确地说，我们显示棘手的所有图形家庭$\mathcal{G}$满足以下树宽的可构造性要求：给定一个整数$k$在一元，我们可以在多项式时间内构造一个图$G \in \mathcal{G}$的树宽至少$k$。我们的硬度结果是：对于任何树宽可构造的图族$\mathcal{G}$，问题$\textrm{PrMatching}(\mathcal{G})$是棘手的。这概括了在不限制树宽的一些限制下加权匹配计数的已知硬度结果，例如，是平面的，3-正则的，或二分的;它也回答了Amarilli，Bourhis和Senellart（PODS'16）中的一个问题。我们也得到了一个类似的下界加权计数的边缘覆盖。
2023-01-07 cs.CC cs.DM
Fixed-parameter tractable canonization and isomorphism test for graphs of bounded treewidth
我们给出了一个固定参数易处理的算法，给定一个参数$k$和两个图$G_1,G_2$，要么得出结论，这些图中的一个树宽至少$k$，或确定是否$G_1$和$G_2$是同构的。该算法在$n$ -顶点图上的运行时间为$2^{O(k^5\log k)}\cdot n^5$，这是第一个以树宽为参数的图同构的固定参数算法。我们的算法实际上解决了更一般的规范化问题。我们即设计了一个工作在$2^{O(k^5\log k)}\cdot n^5$时间的过程，对于给定的图$G$在$n$顶点上，要么得出$G$的树宽至少是$k$，要么：* 以同构不变的方式找到一个与$G$同构的图$\mathfrak{c}(G)$;* 找到同构不变的构造项-将$G$与宽度为$O(k^4)$的$G$的树分解一起编码的代数表达式。因此，同构测试简化为验证计算的同构副本或$G_1$和$G_2$的构造项是否相等。
2014-12-10 cs.CC cs.DS
FPT Approximation using Treewidth: Capacitated Vertex Cover, Target Set Selection and Vector Dominating Set
针对以树宽参数化仍为 W[1]-难的三个顶点选择问题，提出两类 FPT 近似方法，获得近优近似及运行时间与近似比的折衷算法。
2024-01-19 cs.CC cs.DS
New Limits of Treewidth-based tractability in Optimization
在优化问题中追求易处理性时，经常寻求稀疏结构。它们被利用从理论和计算的角度来处理复杂的问题，成为可管理的稀疏时，存在。树宽是这种结构的一个例子：这是一个图论参数，用来衡量一个图有多“像树”。几十年来，这个参数一直被用来分析各种优化问题的复杂性，并为这个参数有界的问题获得易于处理的算法。这项工作的目标是有助于理解的限制，基于树宽的易处理性优化。我们的结果如下。首先，我们证明，在一定意义上，已经知道的积极的结果扩展复杂性的基础上，低树宽是最好的可能。其次，在温和的假设下，我们证明了树宽是唯一的图论参数，产生易处理的广泛的一类优化问题，一个众所周知的事实，在机器学习的图形模型和约束满足问题，在这里，我们扩展到近似设置优化。
2019-03-20 cs.CC cs.DM
On Directed Feedback Vertex Set parameterized by treewidth
研究了以输入图的树宽为参数的定向反馈顶点集问题。我们证明了，除非指数时间假设失败，问题不能解决的时间$2^{o(t\log t)}\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$一般有向图，其中$t$是树的底层无向图的宽度。这与运行时间为$2^{\mathcal{O}(t\log t)}\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$的动态规划算法相匹配。另一方面，我们表明，如果输入的有向图是平面的，那么运行时间可以提高到$2^{\mathcal{O}(t)}\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$。
2017-09-13 cs.CC cs.DS
The Parameterised Complexity of List Problems on Graphs of Bounded Treewidth
我们考虑图上的几个列表问题的参数化复杂性，参数树宽或路径宽度。特别地，我们证明了列表边色数和列表全色数是固定参数易处理的，由树宽参数化，而列表Hamilton路是W[1]-硬的，甚至由路宽参数化。这些结果解决了Fellows，Fomin，Lokshtanov，Rosamond，Saurabh，Szeider和Schaassen（2011）的两个开放问题。
2016-08-04 cs.CC cs.DM cs.DS
Hitting forbidden subgraphs in graphs of bounded treewidth
本文研究了一般的H-Subgraph Hitting问题的复杂性，其中给定一个固定模式图$H$和一个输入图$G$，任务是找到一个最小尺寸的集合$X \subseteq V(G)$，它能命中$G$中与$H$同构的所有子图.在问题的彩色变体中，$G$的每个顶点都用$V(H)$中的一些颜色预先着色，并且我们只需要命中具有匹配颜色的$H$ -子图。标准技术表明，对于每个固定的$H$，问题是固定参数易处理的，由$G$的树宽参数化;然而，不清楚运行时间到底应该如何依赖于树宽。对于彩色的变体，我们证明了匹配的上限和下限显示$G$的树宽上的运行时间的依赖性是严格由$μ(H)$，最小顶点分隔符在$H$的最大尺寸。也就是说，我们表明，对于每一个固定的$H$，在树宽$t$的图，彩色的问题可以解决的时间$2^{\mathcal{O}(t^{μ(H)})}\cdot|V(G)|$，但不能解决的时间$2^{o(t^{μ(H)})}\cdot |V(G)|^{O(1)}$，假设指数时间假设（ETH）。此外，我们给出了一些初步的结果表明，在没有颜色的情况下，参数化的复杂性景观的H-子图击中更丰富。
2014-11-15 cs.CC cs.DS
Fully polynomial-time parameterized computations for graphs and matrices of low treewidth
我们调查的复杂性的几个基本的多项式时间可解问题的图和矩阵上，当给定的实例具有低树宽;在矩阵的情况下，我们考虑树宽的图形成的非零条目。在每一个考虑的情况下，最有名的算法一般图上运行在多项式时间，但多项式的指数是大的。因此，我们的主要目标是构造运行时间为$\textrm{poly}(k)\cdot n$或$\textrm{poly}(k)\cdot n\log n$形式的算法，其中$k$是输入上给定的树分解的宽度。这样的程序将优于最好的已知算法已经考虑的问题，为中等值的树宽，如$O(n^{1/c})$的一些小常数$c$。我们的成果包括：- 使用$O(k^3\cdot n)$时间和算术运算计算$n\times n$矩阵的行列式和秩的算法; -使用$O(k^3\cdot n)$时间和算术运算求解线性方程组的算法; -用于找到图中最大匹配的基数的$O(k^3\cdot n\log n)$时间随机化算法; -用于构造图中最大匹配的$O(k^4\cdot n\log^2 n)$时间随机化算法;--一个在有向图中寻找最大顶点流的$O(k^2\cdot n\log n)$时间算法。此外，我们给出了一个近似算法的树宽与时间复杂度适合的运行时间如上所述。也就是说，当给定图$G$和整数$k$时，该算法在时间$O(k^7\cdot n\log n)$中运行，并且正确地报告$G$的树宽度大于$k$，或者构造宽…
2015-11-04 cs.CC cs.DS
Graph isomorphism in quasipolynomial time parameterized by treewidth
我们扩展了Babai的拟多项式时间图同构测试（STOC 2016），并开发了多陪集同构问题的拟多项式时间算法。多陪集同构问题的算法允许利用图分解的给定输入图内Babai的群论框架。我们用它来开发一个图同构测试，运行在时间$n^{\operatorname{polylog}(k)}$，其中$n$是顶点的数量和$k$是给定的图的最小树宽和$\operatorname{polylog}(k)$是一些多项式在$\operatorname{log}(k)$。我们的结果推广了Babai的拟多项式时间图同构检验。
2020-04-20 cs.CC cs.DM cs.DS
Definability equals recognizability for graphs of bounded treewidth
我们证明了一个猜想的Courcelle，它指出，一个图形属性是可定义的MSO与模块计数谓词图的恒定树宽，当且仅当它是可识别的在以下意义上：恒定宽度树分解的图形满足的属性可以识别树自动机。虽然前向蕴涵是一个经典的事实，称为库尔塞勒定理，反向方向仍然开放
2016-05-10 cs.CC cs.DM cs.DS
Metric Dimension Parameterized by Treewidth
图$G$的分解集$S$是它的顶点的子集，使得$G$的任何两个顶点到$S$的距离向量都不相同。度量维问题要求一个最小尺寸的解析集，在其决策形式中，要求一个尺寸至多为某个指定整数的解析集。这个问题是NP完全的，并且在非常有限的图类中仍然如此。对于解的大小，它也是W[2]-完全的。度量维数在有界树宽的图上被证明是难以捉摸的。在算法方面，多时间算法是已知的树，甚至外平面图，但树宽最多为2的一般情况是开放的。在复杂性方面，没有参数化的硬度是已知的。这导致了几篇关于这个主题的论文要求度量维度相对于树宽的参数化复杂性。我们提供了这个问题的第一个答案。我们证明了由输入图的树宽参数化的度量维数是W[1]-hard的。更精细地，我们证明了，除非指数时间假设失败，有没有算法解决度量维数在时间$f(\text{pw})n^{o(\text{pw})}$上的$n$ -顶点图的常度，与$\text{pw}$的路径宽度的输入图，和$f$任何可计算的功能。这与Belmonte等人[SIAM J. Discrete Math. ′ 17]关于组合参数$\text{tl}+Δ$的FPT算法形成鲜明对比，其中$\text{tl}$是输入图的树长度，而$Δ$是输入图的最大度。
2019-07-18 cs.CC cs.DS
5-Approximation for $\mathcal{H}$-Treewidth Essentially as Fast as $\mathcal{H}$-Deletion Parameterized by Solution Size
$\mathcal{H}$ -树宽的概念最近被引入作为无向图树宽的推广，其中$\mathcal{H}$是一个遗传图类。粗略地说，一个$\mathcal{H}$ -树宽至多为$k$的图可以被分解成（任意大的）$\mathcal{H}$ -子图，这些子图仅通过大小为$O(k)$的顶点集进行交互，这些顶点集可以以树状方式组织。$\mathcal{H}$ -treewidth可以作为一个混合参数化来开发$\mathcal{H}$ -删除问题的固定参数易处理算法，该算法要求找到一个最小顶点集，该顶点集从给定的图$G$中删除后将其变为$\mathcal{H}$的成员。当前参数化算法的瓶颈在于计算合适的树$\mathcal{H}$ -分解。我们提出FPT近似算法来计算树$\mathcal{H}$ -分解的遗传和联合封闭图类$\mathcal{H}$。给定一个$\mathcal{H}$ -树宽$k$的图，对于某个函数$f(k) \geq 2^k$，只要由解大小参数化的$\mathcal{H}$ -删除可以在时间上求解$f(k) \cdot n^{O(1)}$，我们就可以计算出一个5-近似树$\mathcal{H}$-时间分解$f(O(k)) \cdot n^{O(1)}$.当前最好的算法要么实现$k^{O(1)}$的近似因子，要么构造最优分解，同时遭受未知参数依赖的非均匀性。使用这些分解，我们得到…
2023-06-29 cs.CC cs.DS
An $O(n^ε)$ Space and Polynomial Time Algorithm for Reachability in Directed Layered Planar Graphs
给定一个图$G$和其中的两个顶点$s$和$t$，{ \em图可达性}是检验图$G$中是否存在从$s$到$t$的路径的问题.我们证明了有向分层平面图的可达性可以在多项式时间和$O(n^ε)$空间中判定，对于任何$ε> 0$。以前最好的已知的空间界限为这个问题的多项式时间近似$O(\sqrt{n})$空间\cite{INPVW13}。在{ \SC }中判定图的可达性是复杂性理论中的一个重要的开放问题，本文在解决这个问题方面取得了进展。
2015-01-23 cs.CC cs.DS
Full complexity classification of the list homomorphism problem for bounded-treewidth graphs
从图$G$到图$H$的同态是从$V(G)$到$V(H)$的边保持映射。设$H$是一个可能有循环的固定图。在列表同态问题中，记为LHom（$H$），我们给出了一个图$G$，它的每个顶点$v$都被分配了一个$H$的顶点列表$L(v)$。我们问是否存在从$G$到$H$的同态$h$，它尊重列表$L$，即，对于每个$v \in V(G)$，它保持该$h(v) \in L(v)$。Feder、Hell和Huang [JGT 2003]证明了LHom的复杂性二分法（$H$）。我们感兴趣的问题的复杂性，参数化的输入图的树宽。这个问题由Egri，Marx和Rzewski [STACS 2018]研究，他们获得了自反图$H$特殊情况的严格复杂性界限。本文推广了他们关于\emph{all}相关图$H$的结果，即，对于这些问题，LHom{H}问题是NP难的。对于每个这样的$H$，我们发现一个常数$k = k(H)$，使得具有$n$顶点和树宽$t$ * 的实例上的LHom（$H$）可以在时间$k^{t} \cdot n^{\mathcal{O}(1)}$中求解，只要输入图与宽度$t$的树分解一起给出，对于任何$\varepsilon >0$，* 不能在时间$(k-\varepsilon)^{t} \cdot n^{\mathcal{O}(1)}$中求解，除非SETH失败。对于某些图$H$，$k(H)$的值远…
2020-09-22 cs.CC cs.DS
Steiner Trees for Hereditary Graph Classes: a Treewidth Perspective
我们考虑了经典的问题（边）Steiner树和顶点Steiner树限制输入的一类图的特征在于一个小的禁止诱导子图的集合。我们显示了一个二分法的前一个问题限制在$(H_1,H_2)$ -免费的图形和二分法的后一个问题限制在$H$ -免费的图形。我们发现，存在一个无限的图族$H$，使得顶点Steiner树是多项式时间可解的$H$ -free图，而只有两个图$H$，这对边Steiner树成立。我们还发现边Steiner树对于$(H_1,H_2)$ -free图是多项式时间可解的当且仅当$(H_1,H_2)$ -free图类的树宽是有界的（服从P $\neq$ NP）.为了得到后一个结果，我们确定所有的对$(H_1,H_2)$的类$(H_1,H_2)$ -自由图有界树宽。
2020-12-15 cs.CC cs.DM cs.DS
Does Treewidth Help in Modal Satisfiability?
利用从输入约束满足约束满足问题实例得到的图的树宽的概念，已经开发出许多易于处理的算法。具体地，CSP实例的关联图就是这样一个图。我们引入了模态逻辑公式在某种范式下的关联图的概念。以公式的模态深度和关联图的树宽为参数，研究了模态可满足性的参数化复杂性。对于欧氏、自反、对称和传递模型的各种组合，我们证明了模态可满足性是FPT的，或者是W[1]-困难的。特别地，一般模型中的模态可满足性是FPT，而传递模型中的模态可满足性是W[1]-难的。正如所料，传递模型和欧几里得模型中的模态可满足性是FPT。
2011-01-11 cs.CC cs.DS cs.LO
Locally Constrained Homomorphisms on Graphs of Bounded Treewidth and Bounded Degree
一个从图G到图H的同态是局部双射、满射或内射的，如果它对G的每个顶点的邻域的限制分别是双射、满射或内射。我们证明了测试一个给定的图G是否允许一个同态到一个给定的图H，是局部双射，满射，或内射，分别是NP-完全的问题，即使当G的路宽至多5，4，或2，分别，或当G和H都有最大程度3。我们补充这些硬度的结果表明，这三个问题是多项式时间可解的，如果G有界树宽，此外G或H有界最大程度。
2014-08-28 cs.CC cs.DM math.CO
Default Logic and Bounded Treewidth
TU Wien（维也纳工业大学）；University of Potsdam（波茨坦大学）；Leibniz Universität Hannover（汉诺威莱布尼茨大学）
本文研究了输入理论的一种图表示（半本原图）的树宽有界时的Reiter命题缺省逻辑。我们建立了一个关于树分解的动态规划算法，以决定一个理论是否有一个一致的稳定扩张（Ext）。我们的算法甚至可以用来枚举所有生成的默认值（ExtEnum），导致稳定的扩展。我们表明，我们的算法决定外的线性时间在输入理论和三倍指数时间的树宽（所谓的固定参数线性算法）。此外，我们的算法解决了ExtEnum的预计算步骤，是线性的输入理论和三倍指数的树宽，然后是一个线性延迟输出解决方案。
2017-12-30 cs.AI cs.CC cs.LO
