参数几何数论中的一个变分原理
A variational principle in the parametric geometry of numbers
AI总结：
本文提出参数几何数论的变分原理，结合 Schmidt 博弈变体与模板方法计算多类丢番图集合的 Hausdorff 和 packing 维数，解决奇异线性形式维数猜想并给出多项应用。
摘要：
我们将参数几何数论（由 Schmidt 和 Summerer 开创，并由 Roy 深化）推广到 n 个变量中 m 个线性形式系统的丢番图逼近，并通过一个变分原理建立了与度量理论的新联系，该原理计算了许多具有数论意义的集合的分形维数。证明依赖于两个新颖的组成部分：一个能够计算任意集合的 Hausdorff 维数和 packing 维数的 Schmidt 博弈变体，以及模板（templates）概念，它推广了 Roy 的刚性系统。特别地，我们计算了奇异线性形式系统集合的 Hausdorff 维数和 packing 维数，并证明二者相等，解决了 Kadyrov、Kleinbock、Lindenstrauss 和 Margulis 的一个猜想，以及 Bugeaud、Cheung 和 Chevallier 的一个问题。作为 Dani 对应原理的一个推论，在恰有两个符号相反的 Lyapunov 指数的幺模格空间上，一单参数对角作用的发散轨迹具有相等的 Hausdorff 维数和 packing 维数。其他应用包括对 Cheung 和 Moshchevitin 所证明定理的定量加强，这些定理原本分别解决了 Starkov 和 Schmidt 的猜想；以及二维中同时逼近与对偶逼近关于一致无理指数的维数公式，补全了 Baker、Bugeaud、Cheung、Chevallier、Dodson、Laurent 和 Rynne 的部分结果。
英文摘要：
We extend the parametric geometry of numbers (initiated by Schmidt and Summerer, and deepened by Roy) to Diophantine approximation for systems of $m$ linear forms in $n$ variables, and establish a new connection to the metric theory via a variational principle that computes fractal dimensions of a variety of sets of number-theoretic interest. The proof relies on two novel ingredients: a variant of Schmidt's game capable of computing the Hausdorff and packing dimensions of any set, and the notion of templates, which generalize Roy's rigid systems. In particular, we compute the Hausdorff and packing dimensions of the set of singular systems of linear forms and show they are equal, resolving a conjecture of Kadyrov, Kleinbock, Lindenstrauss and Margulis, as well as a question of Bugeaud, Cheung and Chevallier. As a corollary of Dani's correspondence principle, the divergent trajectories of a one-parameter diagonal action on the space of unimodular lattices with exactly two Lyapunov exponents with opposite signs has equal Hausdorff and packing dimensions. Other applications include quantitative strengthenings of theorems due to Cheung and Moshchevitin, which originally resolved conjectures due to Starkov and Schmidt respectively; as well as dimension formulas with respect to the uniform exponent of irrationality for simultaneous and dual approximation in two dimensions, completing partial results due to Baker, Bugeaud, Cheung, Chevallier, Dodson, Laurent and Rynne.
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