Morse theory and the resonant Q-curvature problem
本文研究了四维闭黎曼流形上的指定$Q$ -曲率问题，当$Q$ -曲率的全积分是四维球面上的全积分的正整数倍.这个问题有一个变分的结构，缺乏紧凑性。利用“无穷远临界点”理论的拓扑工具，结合精细的爆破分析和动力学参数，我们确定了伪梯度流的所有非紧流线的聚集点，即相应的变分问题的无穷远临界点，并将它们与自然Morse指数联系起来.然后证明了强Morse型不等式，将完整的莫尔斯理论推广到这个非紧变分问题.最后，我们从我们的结果得出Poincaré-Hopf指数型存在性准则，推广文献中的已知结果，并得出新的。
2014-09-28 math.DG
On the asymptotics of Morse numbers of finite covers of manifolds
设M是闭连通流形.设m（M）为M的Morse数，即M上Morse函数的最小临界点数。设N是M的d次有限覆盖。M.Gromov提出了以下问题：当d趋于无穷大时，m（N）的渐近性质是什么？本文研究了具有自由交换基本群的高维流形M的情形。设x是H ^1（M）的非零元，M（x）是与x对应的无限循环覆盖，t是该覆盖的结构群的生成元.设M（x，k）=M（x）/t^k。证明了当k趋于无穷大时，序列m（M（x，k））/k收敛.对于H ^1（M）中超平面的有限并之外的x，我们根据M的同伦不变量和M的Novikov同调，得到了m（M（x，k））在k趋于无穷大时的渐近性。
1998-10-22 math.DG
Variational theory for the resonant T-curvature equation
研究了紧致四维带边黎曼流形上的共振规定T曲率问题。我们得到尖锐的能量和梯度估计的相关Euler-Lagrange功能的特点在无穷远的临界点的相关变分问题下的一个自然相关的Hamilton函数的非退化。利用这一点，我们得到了一个莫尔斯型引理周围的临界点在无穷远。利用无穷远处的Morse引理，证明了Morse理论型的新的存在性结果.结合无穷远处的Morse引理和在[46]中发展的Bahri-Coron[13]的重心技术的Liouville版本，我们证明了在拓扑假设下关于基础流形的边界以及无穷远处的入口集和出口集的新的存在性结果.
2021-07-27 math.AP math.DG
Eternal forced mean curvature flows III - Morse homology
我们完成了所需的理论框架，为某些类型的强迫中曲率流的莫尔斯同调论的建设。本文的主要结果描述了当强迫项以某种方式趋于无穷大时这些流动的渐近行为。这一结果允许莫尔斯同调被明确计算，并将允许我们在即将进行的工作表明，对于一个大家庭的顺利正功能，$F$，定义在$(d+1)$维平坦环面，至少存在$2^{d+1}$不同的，局部严格凸，亚历山德罗夫嵌入超球面的中曲率规定在每一个点由$F$。
2016-01-13 math.DG
The Beta- flatness Condition in CR Spheres Multiplicity Results
在Beta平坦性条件下，给出了Cauchy- Riemann球面上的数量曲率的多重性结果。为了给出解的个数的下界，我们使用基于无穷远点处的临界点理论和Poincare-Hopf型公式的Bahri方法。
2018-12-22 math.DG
Scalar curvature flow on S^n to a prescribed sign-changing function
本文考虑n维球面上的数量曲率的给定问题。假设允许改变符号的候选曲率函数$f$满足某种Morse指数或对称条件。通过研究著名的标量曲率流，我们能够证明流收敛到一个度量，指定的功能$f$作为其数量曲率。
2017-05-26 math.AP math.DG
The Webster scalar curvature flow on CR sphere. Part II
这是两篇论文中的第二篇，在这篇论文中，我们研究了将CR球面上的韦伯斯特数量曲率作为给定函数f的问题。利用Webster数量曲率流，在适当的假设下，证明了f的Morse指标的存在性.
2014-10-21 math.AP math.CV math.DG
On Conformal Paneitz Curvature Equations in Higher Dimensional Spheres
研究了高维球面上的Paneitz曲率的定义问题。特别注意的是爆破点，即在无穷远的相应的变分问题的临界点。利用拓扑工具和对无穷远点上这类临界点附近的梯度流线的仔细分析，我们证明了一些存在性结果。
2004-12-06 math.AP math.DG
Geometry of complete minimal surfaces at infinity and the Willmore index of their inversions
本文研究有限全曲率完备极小曲面经反演后的 Willmore 能量驻定性，证明余维数一下反演极小球面或实射影平面的 Morse 指标等于端点数减三，并探讨渐近平面共点等几何性质与指标的关系。
2024-07-01 math.AP math.DG
The Scalar Curvature Problem on the Four Dimensional Half Sphere
本文考虑了标准四维半球在极小边界条件下的数量曲率的确定问题。我们给出了一个Euler-Hopf型的判别准则，使得给定的函数是一个与标准函数共形的度量的数量曲率.我们的证明涉及到相关的变分问题在无穷远的临界点的研究。
2003-06-04 math.AP math.DG
A Morse complex for the homology of vanishing cycles
本文为光滑复代数簇上的正则函数构造 Morse 同调群，通过横截紧化的大扰动生成，与消失循环同调典范同构，并推广至非紧流形的 Morse 同调。
2025-09-25 math.AG math.DG math.GT
Conformal metrics of prescribed scalar curvature on $4-$manifolds: The degree zero case
本文研究了具有正数量曲率的黎曼紧致$4-$维流形$(M^4,g_0)$上共形度量的存在性和多重性问题。证明了一个新的存在性判据，它给出了正函数稠密子集的存在性结果，推广了Bahri-Coron和Chang-Gursky-Yang的Euler-Hopf型判据.我们的论证给出了解的Morse指数的估计，并且推广了已知的解的存在性结果。此外，它提供了，一般$K$ { \it Morse不等式在无穷远}，这给了一个下界的度量的数量与规定的数量曲率的拓扑贡献的“临界点在无穷远”的相关的Euler-Lagrange功能的水平集之间的拓扑差异。
2009-06-09 math.AP math.DG
Conformal Metrics on the Disk with Prescribed Negative Gaussian Curvature and Boundary Geodesic Curvature
Universidad de Granada IMAG, Departamento de Análisis Matemático（格拉纳达大学 IMAG，数学分析系）
本文研究了通过共形变换给定圆盘负高斯曲率和边界测地曲率的问题，通过变分方法和发散分析得出存在性结果。
2026-02-17 math.AP math.DG
The Nirenberg problem on high dimensional half spheres: The effect of pinching conditions
本文研究了标准半球$(\mathbb{S}^n_+,g), \, n \geq 5$上的Nirenberg问题，它包括求出给定标量曲率和边界平均曲率为零的共形度量.这个问题相当于解决以下涉及临界Sobolev指数的边值问题：\begin{equation*} (\mathcal{P}) \quad \begin{cases} -\D_{g} u \, + \, \frac{n(n-2)}{4} u \, = K \, u^{\frac{n+2}{n-2}},\, u > 0 & \mbox{in } \mathbb{S}^n_+, \frac{\partial u}{\partial ν}\, =\, 0 & \mbox{on } \partial \mathbb{S}^n_+. \end{cases} \end{equation*}其中$K \in C^3(\mathbb{S}^n_+)$是正函数。这个问题具有变分结构，但相关的欧拉-拉格朗日泛函$J_K$缺乏紧致性。事实上，它承认\emph{critical points at infinity}，这是\emph{limits}的非紧轨道的（负）梯度流。通过在\emph{neighborhood at infinity}中构造一个适当的\emph{pseudogradient}，我们刻画了这些\emph{critical poi…
2021-05-19 math.AP math.DG
New existence results for prescribed mean curvature problem on balls under pinching conditions
考虑一类Yamabe问题，其数量曲率在单位球$\mathbb{B}^n$中为零，而在边界$\mathbb{S}^{n-1}$上规定了中曲率.通过将无穷远临界点方法与莫尔斯理论相结合，在中曲率函数适当的pinching条件下，得到了高维$n\geq 5$情形下解的存在性结果.
2021-09-13 math.AP math.DG
The resonant boundary $Q$-curvature problem and boundary-weighted barycenters
给定一个带边界的紧致四维黎曼流形$(M, g)$，研究了$M$上共形于$g$的黎曼度量的存在性问题，其中在$M$的内部$\mathring{M}$具有预定的$Q$ -曲率，在$M$的边界$\partial M$具有零的$T$ -曲率和平均曲率.这一几何问题等价于求解一个四阶椭圆型边值问题，该问题涉及Paneitz算子，边界条件为Chang-Qing算子和Neumann算子。相应的边值问题有一个变分公式，但相应的变分问题，在所研究的情况下，是不紧的。为了克服这样一个困难，我们进行了系统的研究，à la Bahri，所谓的{ \it临界点在无穷大}，计算其莫尔斯指数，确定其贡献的差异之间的子级集的相关欧拉-拉格朗日功能的拓扑结构，从而扩展了完整的莫尔斯理论，这个非紧变分问题。为了建立莫尔斯不等式，我们从拓扑的观点出发，研究了基础流形的边界加权重心空间，这是在描述相关泛函的非常负的子级集的拓扑时出现的。作为我们方法的一个应用，我们得到了紧致四维Riemann流形上的带边界的$Q$ -曲率问题的各种存在性结果，并给出了Poincaré-Hopf型判据.
2016-04-13 math.AP math.DG
Prescribed $T$-curvature flow on the four-dimensional unit ball
Tamkang University（淡江大学）；Howard University（霍华德大学）；Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
本文通过 $T$-曲率流方法研究四维单位球上的规定 $T$-曲率问题，结合不等式与 Morse 理论，证明了流在无穷远处的收敛性及极值度量的存在性。
2026-01-30 math.AP math.DG
Nontrivial periodic solutions to the one-phase free boundary problem
Pontificia Universidad Católica de Chile（智利天主教 Pontificia 大学）
本文构造了单相Bernoulli自由边界问题在$\mathbb{R}^3$中的非平凡周期解，推广到高维分岔，并借助有限Morse指标分类与距离非退化估计确保正性。
2026-10-06 math.AP math.DG
Curvature at Infinity Governs the Topology of Complete Non-Compact Surfaces Admitting Schrödinger Operators of Finite Index
该研究探究容许有限指标薛定谔算子的完备非紧黎曼曲面，证明其无穷远曲率决定整体拓扑与几何刚性，推导相关恒等式、端点数界，明确两种几何视角下的控制机制。
2026-08-12 math.AP math.DG
Geodesics and admissible-path spaces in Carnot Groups
研究了二步卡诺群G上的容许闭路空间的拓扑。我们使用Morse-Bott理论参数来研究G上连接原点与“垂直”点的测地线的结构和数量（测地线是定义在闭路空间上的“能量”泛函的临界点）。这些测地线通常出现在族（临界流形）中。让能量增长，我们得到一个上界的临界流形的能量有界s的数量：这个上界是多项式在s的次数为l（分布的余秩）。尽管有这样的证据，我们表明，Morse-Bott不等式是远离尖锐的：拓扑结构（即贝蒂数的总和）的闭路空间过滤的能量增长最多作为一个多项式在s的次数l-1。在无穷远处s的极限中，所有的贝蒂数（除了第0个）必须为零：容许闭路空间是可收缩的。在corank l=2的情况下，我们精确地计算能量小于s的容许闭路空间的贝蒂数之和的首项系数.该系数用只依赖于G的李代数的结构常数和端点坐标的单位圆上的积分表示。
2013-11-26 math.AT math.DG
Some constructions of uniformly positive scalar curvature metrics on open manifolds
Beijing International Center for Mathematical Research, Peking University（北京大学北京国际数学研究中心）
本文通过Morse函数、极小边界紧致穷竭和平均凸超曲面等条件，在开流形上构造了完整的一致正数量曲率度量，并给出了相关应用。
2026-09-29 math.DG
Prescribed $Q$-curvature flow on closed manifolds of even dimension
在一个闭黎曼流形$(M,g_0)$的偶数维$n \geqslant 4$，著名的规定$Q$ -曲率问题问是否有一个度量$g$共形$g_0$，使其$Q$ -曲率，与GJMS运营商$\mathbf P_g$，等于一个给定的功能$f$。设为$g = e^{2u}g_0$，该问题等价于求解\[ \mathbf P_{g_0} u+Q_{g_0} = f e^{nu}, \]，其中$Q_{g_0}$表示$g_0$的$Q$ -曲率。本文的主要目的是引入与$g_0$共形的含时度量$g(t)$，\[ \frac{\partial g (t)}{\partial t}= -2\Big(Q_{g (t)} - \frac{\int_M f Q_{g(t)} dμ_{g(t)} }{\int_M f^2 dμ_{g(t)} }f \Big)g(t) \quad \text{ for } t >0, \]的负梯度流，研究$Q$曲率的确定问题.由于$\int_M Q_g dμ_g$是共形不变的，我们的分析依赖于$\int_M Q_{g_0} dμ_{g_0}$，这是假设满足\[ \int_M Q_0 dμ_{g_0} \ne k (n-1)! \, {\rm vol}(\mathbb S^n) \quad \text{ for all } \; k = 2,3,... \]的大小。首先，我们确定适当的条件$…
2019-11-06 math.AP math.DG
