Categories with norms
本文研究范畴上的类度量结构，证明了度量空间中序列的极限概念和范畴中序列的上极限概念具有共同的推广。主要概念是一个范畴上的规范，推广了伪度量和群赋值。在这个新的背景下，我们讨论的主题，如柯西完成和巴拿赫压缩原理。
2017-05-29 math.CT
Approximate injectivity and smallness in metric-enriched categories
研究了在度量空间范畴上丰富的范畴的性质，并应用于研究从该范畴和巴拿赫空间范畴中已知的构造。对于每一类满足弱小性条件的态射，证明了相应的近似内射类是弱反射的，并研究了反射态射的性质。作为应用，我们给出了Gurarii空间的本质唯一性的一个新的范畴证明。
2021-10-12 math.CT math.FA
Metric completions of discrete cluster categories
本文计算了离散簇范畴在内部 t-结构诱导度量下的完备化，发现 coaisle 度量生成新三角范畴，并证明任意三角范畴关于内部 aisle 度量的完备化为其厚子范畴。
2024-09-23 math.CT math.RT
Six model categories for directed homotopy
我们在多点$d$ -空间和流上构造了一个q-模型结构、一个h-模型结构和一个m-模型结构。这两个q模型结构是组合的，并且与这些类别上已知的组合模型结构一致。其他四个模型结构（两个m模型结构和两个h模型结构）是可访问的。我们给出了一个例子，多点的$d$ -空间和流动，这是不相干的任何模型结构。我们解释了为什么m模型结构，Quillen等价于同一范畴的q模型结构，比q模型结构表现得更好。
2020-06-02 math.AT math.CT
Extensivity of categories of relational structures
我们证明了满足一个温和的句法条件的任何关系Horn理论的模型的范畴是无限广泛的。这类范畴的中心例子包括预序集和偏序集范畴，以及小$\mathscr{V}$范畴、（对称）伪$\mathscr{V}$ -度量空间和（对称）$\mathscr{V}$ -度量空间（对于交换酉Quantale $\mathscr{V}$）范畴。我们还明确地描述了初始源和最终汇在这样的类别，特别是嵌入和concierents。
2022-07-07 math.CT
Presenting the Sierpinski Gasket in Various Categories of Metric Spaces
本文研究了几类具有附加指定点的度量空间上函子的Sierpinski gasket作为最终余代数的表示.这三个类别，我们研究不同的态射：一个使用短（非扩展）地图，第二个使用Lipschitz地图，第三个使用连续地图。在所有情况下，函子都与我们在垫圈作为吸引子的标准表示中发现的非常相似。我们证明了Sierpinski垫片本身是一个自然发生的函子在连续设置的最终余代数。在短的设置，最终余代数存在，但它是更好地描述为初始代数的完成，这是不同构的谢尔宾斯基垫片。在Lipschitz设置中，最终余代数不存在。我们确定初始代数在所有三个设置以及。
2021-10-18 math.CT
Varieties of quantitative algebras as categories
本文以度量强化范畴语言刻画定量代数簇，引入子同余、子正则满态射和子簇生成元，给出 Lawvere 经典簇定理的定量对应。
2024-07-07 math.CT
Excellent metrics on triangulated categories, and the involutivity of the map taking $\mathcal{S}$ to $\mathfrak{S}({\mathcal{S})^{\mathrm{op}}}$
本文研究三角范畴上度量与 $\mathcal{S}\mapsto\mathfrak{S}(\mathcal{S})^{\mathrm{op}}$ 构造的对合条件，界定一大类优秀度量并给出新例子，为后续证明增强唯一性奠定基础。
2025-05-14 math.AG math.AT math.CT
Metric abstract elementary classes as accessible categories
我们证明了度量抽象初等类（mAEC）在[LR]（即arXiv：1404.2528）意义下是具有定向上极限、具有具体$\aleph_1$ -定向上极限和具体单态的一致可达范畴.更广泛地说，我们定义了一个概念的$κ$ -具体AEC--AEC类，其中只有$κ$ -定向colimits需要具体--和发展的理论，这样的类别，开始与一个范畴理论模拟谢拉的介绍定理和证明的存在的Escherichfeucht-Mostowski函子的情况下，类别是大的。特别是对于mAEC，[LR]中的参数精炼证明了任何范畴mAEC在许多低于范畴基数的基数中都是$μ$ -d-稳定的。
2017-03-29 math.CT math.LO
Metric-like spaces as enriched categories: three vignettes
本文介绍将度量空间与小范畴统一为充实范畴的范畴论视角，并通过紧张成、幅度和Legendre-Fenchel变换三个例子展示其应用价值。
2024-12-31 math.CT
On the Initial Algebra and Final Co-algebra of some Endofunctors on Categories of Pointed Metric Spaces
我们考虑两个闭函子的形式$~F:X\longrightarrow M\otimes X~$，其中$~M~$是一个非退化的模块，有关的单位间隔和Sierpinski垫圈，和他们的最终的余代数。在双点和三点度量空间范畴上定义函子，选择连续映射、短映射或Lipschitz映射作为态射.首先，我们证明了这些endofunctors的最终余代数的相应类别的点度量空间与连续映射的选择是最终的余代数的短映射和忘记后的度量结构是在设置。利用最终余代数可以通过Cauchy完备化过程得到这一事实，通过迭代余代数得到的序列的极限，从余代数构造中介态射.我们还表明，Sierpinski垫片$~(\mathbb{S},σ)~$是不是最终的共代数这些endofunctors时，态射被限制为Lipschitz地图。
2017-10-20 math.CT
Comparing the non-unital and unital settings for directed homotopy
本文比较流的 q-模型结构与拓扑富集小范畴的 Ilias 模型结构，证明二者间的提升性质及恒等函子非 Quillen 伴随，并给出极小模型结构的同伦范畴。
2023-01-25 math.AT math.CT
Theory of interleavings on categories with a flow
交错距离最初是由Chazal等人在拓扑数据分析（TDA）领域中定义的，作为在实数线上参数化的持久性模块类的度量。Bubenik等人随后将定义扩展到偏序集上的函子范畴，这些范畴中的对象被视为“广义持久性模块”。这些度量通常依赖于偏序集的自同态的lax半群的选择。本文件的目的是使用“行为”理论为交错距离的概念建立一个更一般的框架。具体来说，我们扩展的概念交错距离的任意类别配备了一个流，即宽松monoidal行动的幺半群$[0,\infty)$。这样，在这样一个范畴中的对象类就获得了一个Lawvere度量空间的结构。为colax $[0,\infty)$ -等变的函子生成为$1$ -Lipschitz的映射。这导致简明的证明各种已知的稳定性结果TDA，通过考虑适当的共轴$[0,\infty)$ -等变函子。一路上，我们表明，几个常见的度量，包括Hausdorff距离和$L^{\infty}$规范，可以实现为交织距离在这个一般的角度来看。
2018-05-31 math.CT
Metrics on triangulated categories and their enhancements
Università degli Studi di Pavia（帕维亚大学）；Università degli Studi di Milano（米兰大学）
研究弱可逼近三角化范畴自然子范畴增强的唯一性，通过在∞-范畴层面增强优秀度量理论，推广了增强唯一性结果，回答开放问题，还证明子范畴等价关系可提升，完善前文并扩展相关猜想结果。
2026-07-15 math.AG math.CT
Exact weights and path metrics for triangulated categories and the derived category of persistence modules
本文在三角范畴上引入精确权重和路径度量，推广了Chuang-Lazarev秩函数，证明上同调函子诱导精确权重、三角等价诱导等距，并给出精确性的三种等价刻画，最终应用于持续模导出范畴和连续箭图表示。
2025-02-05 math.CT
The categories ${\mathcal T}^c$ and ${\mathcal T}^b_c$ determine each other
本文研究三角范畴的度量完备化与紧支撑对象子范畴，证明该构造仍得到三角范畴，并举例说明 $D^b(R\text{-mod})$ 与 $K^b(R\text{-proj})$ 可借由适当度量相互生成。
2025-05-14 math.CT
Magnitude and magnitude homology of filtered set enriched categories
本文提出滤集富集范畴的 magnitude 与 magnitude homology 框架，统一有限范畴 Euler 示性数和度量空间 magnitude，并推广 Grothendieck 纤维化。
2023-07-25 math.AT math.CT math.MG
Metrics on triangulated categories and restrictions of (co)-$t$-structures
本文研究了带有度量的三角范畴中硅亭诱导的t-结构和co-t-结构的限制行为，通过建立硅亭子范畴在预完成中的反变有限性等价于标准t-结构限制到预完成的条件，得出右余合环的纯类别刻画。
2026-04-29 math.CT math.RA math.RT
Morse flow categories as exit path categories
Institut de Recherche Mathématique Avancée, UMR 7501 Université de Strasbourg et CNRS（斯特拉斯堡大学与法国国家科学研究中心联合数学高级研究所）
本文证明光滑闭流形上 Morse-Smale 对 $(f,ξ)$ 诱导的拓扑流范畴 $\mathcal{M}$ 作为 $\infty$-范畴等价于 Lurie 的关于稳定流形分层的出口路径 $\infty$-范畴 $\mathrm{Sing}_A(X)$。
2026-11-06 math.AT math.CT math.SG
Enriched categories, real metrics and Lorentz manifolds
Università di Genova（热那亚大学）
本文通过将富集范畴中的广义度量与洛伦兹流形结合，探讨了如何利用范畴论为相对论时空提供基础，并提出了一种基于扩展实数的度量空间结构。
2026-05-18 math-ph math.CT math.MP
Unitary, Inner product, and Dagger categories
University of Calgary（卡尔加里大学）；Tallinn University of Technology（塔林理工大学）
本文通过内积范畴重新定义了Dagger范畴，指出内积范畴等同于弱Dagger范畴，通过内积结构可将弱Dagger范畴严格化为Dagger范畴。
2026-03-29 math.CT
Left properness of Moore flows
Université Paris Cité（巴黎西岱大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；IRIF（IRIF研究所）
该研究引入带割的重参数化范畴概念，证明此类范畴上P-空间的张量引理，进而得到P-流q-模型结构的左正则性，还证明了三类带割的重参数化范畴，其中终范畴的例子可还原普通流的对应左正则性。
2026-10-16 math.AT math.CT
Reversing information flow: retrodiction in semicartesian categories
本研究结合半笛卡尔范畴的信息流公理体系提出回溯的通用定义，将贝叶斯推断与杰弗里概率运动学扩展至任意半笛卡尔范畴，构建了超越经典与量子概率论的抽象回溯框架。
2024-01-30 cs.IT math.CT math.IT
Topology from enrichment: the curious case of partial metrics
对任意小量子群$\Q$，存在一个新的对角量子群$\D(\Q)$在$\Q$中.如果$\Q$是可分的，那么$\D(\Q)$也是可分的（反之亦然），然后将富含$\Q$的类别与富含$\D(\Q)$的类别进行比较是特别有趣的。以扩展正实数的Lawvere Quantale为基Quantale，$\Q$ -范畴是广义度量空间，$\D(\Q)$ -范畴是广义部分度量空间，即度量空间，其中自距离不必为零，并具有适当修改的三角不等式。我们展示了如何每一个小的类量子丰富的范畴有一个规范的封闭操作的对象集：这使得函子从类量子丰富的范畴封闭空间。在基拟量子体上的温和的充要条件下，这个函子落在拓扑空间的拓扑空间范畴中;对合拟量子体是柯西双边的（这是早先在分配律的上下文中发现的性质）当且仅当任何丰富范畴上的闭包与其对称化上的闭包相同。由于这现在适用于度量空间和部分度量空间一样，我们证明了这些一般范畴结构如何产生“正确”的定义的收敛性和柯西序列在广义部分度量空间。最后，我们再次应用广义量子充实范畴论描述了部分度量空间的柯西完备性、Hausdorff收缩性和指数性。
2017-06-20 math.CT math.GN
Monads on Categories of Relational Structures
我们在由有限关系签名和有限或无限Horn理论给出的关系结构类别中引入了泛代数的框架，其中Horn理论的元数$λ$被理解为其公理中前提数量的严格上界;关键示例包括偏序（$λ=ω$）或度量空间（$λ=ω_1$）。我们建立了一个双射之间的$λ$ -访问丰富的单子上的关系结构和$λ$ -ary代数理论的概念（即与操作的arity $<λ$），与语法的代数理论引起的关系签名（例如不等式或方程高达$ε$）。我们提供了一个通用的声音和完整的推导系统，这样的关系代数理论，因此特别是恢复（扩展）最近的系统，这种类型的单子偏序和度量空间的实例。特别地，我们提出了度量完备化的$ω_1$ -元代数理论。我们对应的理论到单子的方向对于$κ$ -ary代数理论和$κ$ -accessible单子对于$κ<λ$，例如对于度量空间上的有限理论仍然是正确的。
2021-07-08 math.CT
Flows revisited: the model category structure and its left determinedness
流是一种并发的拓扑模型，它可以编码观察的细化概念，并理解执行路径的分支和合并的同调属性。粗略地说，它们是没有底层拓扑空间的Grandis的$d$-空间。它们只是有一个基本的同伦类型。本说明有两个方面。首先，我们给出了一个新的建设的模型类别结构的流量，这是更概念化的感谢Isaev的结果。它避免了使用困难的拓扑参数。其次，我们证明了这个模型的类别是左确定的适应由于Olschok的参数。引言包含了一些关于我们期望通过本地化这个极小模型范畴结构来发现什么的推测。这些flots sont un modèle topologique de la concurrence whi permet d'encoder la notion de raffinement de l'observation et de comprendre les propriétés homologiques des branchements et des confluences des chemins d'exécution.直观地说，这是$d$--Grandis意义上的空间，没有拓扑学上的空间。它们是一个下同伦型。注意两个目标。首次推出一个新的结构类别的模式的浮动加上概念grâce au travail d'Isaev。这是一个很难理解的拓扑学论证。第二，我们认为这种模式的分类是根据Olschok的论点确定的。L'in…
2020-01-15 math.AT math.CT
Injective symmetric quantaloid-enriched categories
本文研究小型、整且对合 quantaloid 上的对称强化范畴，刻画其内射对象、内射包和本质嵌入，并给出内射偏度量空间的精确表述。
2023-12-12 math.CT
Classification of connected étale algebras in multiplicity-free modular fusion categories up to rank nine
本文分类了秩不超过9的重数无关模融合范畴中的连通étale代数及其右模范畴，并应用于约束重正化群流，通过非幺正极小模型预测基态简并度与证明自发对称性破缺。
2024-04-24 hep-th math-ph math.CT
Cartesian closed exact completions in topology
本文利用广义充实范畴，证明了Rosicksberg关于拓扑空间范畴的精确完备的Carnival闭性的证明可以推广到$\mathsf{Set}$上的许多拓扑范畴，如度量空间、逼近空间、超度量空间、概率度量空间和双拓扑空间.为了做到这一点，我们证明了一个充分的准则，指数的$(\mathbb{T},V)$ -范畴，并表明，在适当的条件下，每一个$(\mathbb{T},V)$ -内射范畴是指数在$(\mathbb{T},V)\text{-}\mathsf{Cat}$。
2019-05-01 math.CT
Dilations and information flow axioms in categorical probability
本文研究马尔可夫范畴中膨胀与信息流的正性和因果性公理，证明正性为附加性质，因果蕴含正但反之不然，并指出准博雷尔空间的失败关联隐私。
2025-10-16 cs.IT cs.LO math.CT
Homotopical models for metric spaces and completeness
本文在Lawvere度量空间及对称Lawvere度量空间范畴上构建三种同伦模型结构，明确了各结构对应的纤维-上纤维对象，并证明其中两种模型结构具有与Cat上典范模型结构类似的唯一性，拓展了度量空间的同伦研究框架。
2024-09-11 math.CT
A variety of co-quasivarieties
该研究针对有序集、广义度量空间、概率度量空间、拓扑空间和逼近空间等拓扑风味范畴，证明其对偶均为拟簇，并提供统一论证。
2024-04-07 math.CT math.GN
Semiprojectivity and semiinjectivity in different categories
投射性和内射性是范畴论中的基本概念。我们认为自然弱化称为半投射性和半内射性，并研究这些概念在不同的类别。例如，在度量空间的范畴中，（半）内射对象恰好是绝对（邻域）收缩。证明了平凡群是唯一的半内射群，而平凡群与自由群的每个自由积都是半内射的.对于紧致度量空间$X$，我们将交换C*-代数$C(X)$联系起来。这种关联是逆变的，因此$X$的半内射性与$C(X)$的半投射性有关。我们与Adam Sørensen一起证明了$C(X)$在所有C*-代数范畴中是半投射的当且仅当$X$是维数至多为1的绝对邻域收缩核。
2018-02-14 math.CT math.GN math.GR
Formal balls of ${\sf Q}$-categories
Edalat和Heckmann关于度量空间的形式球模型的构造被Kostanek和Waszkiewicz推广到${\sf Q}$ -范畴。本文研究了Quantale ${\sf Q}$的结构对${\sf Q}$ -范畴的Yoneda完备性与其形式球集的有向完备性之间联系的影响。在${\sf Q}$是具有连续t-范$\&$的区间${\sf Q}$的情况下，证明了为了使每个${\sf Q}$ -范畴的Yoneda完全性等价于其形式球集的有向完全性，一个充要条件是t-范$\&$是阿基米德的。
2022-10-05 math.CT
Majority categories
我们引入了多数范畴的概念-允许多数项的泛代数的范畴对应物。这个概念可以被认为是以类似于马尔采夫范畴如何捕捉群群范畴的性质的方式捕捉格范畴的性质。代数多数范畴包括格范畴、布尔代数范畴和海廷代数范畴。许多几何范畴如拓扑空间范畴、度量空间范畴、序集范畴、任意拓扑范畴等，是commajority类别（即~）它们的序是多数范畴），并且我们证明了，在温和的假设下，唯一既是多数又是余多数的范畴是前序。Mal'tsev多数范畴提供了一种算术范畴到伯恩意义下的原算术范畴的可供选择的推广。我们证明了每一个Mal'tsev多数范畴都是原算术的，为逆蕴涵提供了一个反例，并证明了在Barr-精确上下文中，逆蕴涵也成立。然后我们可以得出结论，一个范畴是算术的当且仅当它是巴尔正合马尔采夫多数范畴，在变种上下文中恢复了皮克斯利的一个众所周知的结果。
2019-02-08 math.CT
Exponentiability in categories of relational structures
对于一个关系霍恩理论$\mathbb{T}$，我们提供了有用的充分条件指数的对象和态射的类别$\mathbb{T}\text{-}\mathsf{Mod}$的$\mathbb{T}$模型;众所周知的例子，这样的类别，最近发现的应用程序设计语言语义的研究，包括类别的预序集和（扩展）度量空间。因此，我们得到了有用的充分条件$\mathbb{T}\text{-}\mathsf{Mod}$是carbohydrate封闭的，局部carbohydrate封闭的，甚至是一个quasitopos，特别是，我们提供了两种不同的解释carbohydrate封闭的类别的预序集和偏序集。我们的结果恢复了Niefield和Clementino-Hofmann所证明的某些条件的充分性，这些条件刻画了偏序集范畴和小$V$ -范畴范畴$V\text{-}\mathsf{Cat}$对某些可交换酉量子$V$的指数性.
2022-08-15 math.CT
Join Inverse Rig Categories for Reversible Functional Programming, and Beyond
可逆计算是一种计算范式，其中计算在向前和向后方向上都是确定性的，因此程序具有良好定义的向前和向后语义。我们研究了可逆函数式程序设计语言Rfun的形式语义。为了这个目的，我们引入加入逆钻机类别，自然婚姻的加入逆类别和钻机类别，我们可以用来模拟语言Rfun，在合理的假设。这些类别被证明是一个特别自然的适合可逆计算作为一个整体，因为它们包括其他可逆程序设计语言的模型，特别是忒修斯和可逆流程图。这表明连接逆rig类别确实是可逆计算的类别模型。
2021-12-28 cs.LO cs.PL math.CT
Foundations of $(A_\infty,2)$-categories: from flow to linear
本文提出了一种新的线性$(A_\infty,2)$-范畴定义，通过扩展2-关联多面体家族，使操作与细胞链关联，从而在每个 arity 中仅使用一个操作。
2026-01-23 math.CT math.SG
Dagger Categories in Riemannian Geometry
University of Oxford（牛津大学）
本文在黎曼几何中研究dagger范畴，证明dagger编码度量与黎曼结构，分类微分算子范畴上的dagger，并揭示其与度量联络及格林公式的联系。
2026-10-05 math.CT math.DG
Cauchy convergence in V-normed categories
University of Coimbra（科英布拉大学）；University of Aveiro（阿威罗大学）；York University（约克大学）
本文在范数范畴基础上，引入柯西收敛与完备性概念，通过V-范数集的单调闭包范畴处理，证明V-范数范畴具有正确大小的柯西完备性，并证明Banach不动点定理。
2026-04-07 math.CT math.FA math.GN
Representability theorems via metric techniques
该研究利用Neeman的度量技术证明三角范畴的新布朗可表性定理，在代数几何中为凝聚层有界导出范畴的同调与上同调函子提供新可表性定理，并推广了可逼近三角范畴概念。
2025-04-16 math.AG math.CT
