Balanced truncation for linear switched systems
本文对线性切换系统的模型降阶算法进行了理论分析。该算法是线性变参数系统平衡截断法的一种推广。特别是在本文中，我们提供了一个L2范数的连续时间和l2范数的离散时间线性切换系统的逼近误差的界。我们提供了文法及其奇异值的系统理论解释。此外，我们表明，平衡截断的性能只取决于输入输出映射，而不是对状态空间表示的选择。对于一类稳定的离散线性切换系统（所谓强稳定系统），定义了与切换系统的能达性和能控性相关的良能控性和良能观性文法。此外，我们还证明了L2和L2增益的二次稳定性和LMI估计仅依赖于输入输出映射。
2013-03-15 math.OC
Type II balanced truncation for deterministic bilinear control systems
在数值求解偏微分方程时，通常需要进行高阶空间离散。模型降阶（MOR）技术通常用于降低空间离散系统的阶数，从而降低计算复杂性。平衡截断法是一种获得降阶模型的特殊MOR技术，它是一种针对确定性线性系而被广泛研究的方法。作为所谓的I型BT，它已经被推广到双线性方程，非线性系统的一个重要子类。我们提供了另一种广义的线性设置双线性系统，这是所谓的II型BT。我们在此上下文中提出的Gramian包含有关控件的信息。事实证明，新方法提供的能量界限不仅在零的小邻域内有效。此外，我们提供了一个$H_\infty$ -误差界，这是迄今为止不知道当应用类型I BT双线性系统。
2017-09-17 math.OC
Snapshot-based Balanced Truncation for Linear Time-periodic Systems
我们介绍了一种算法的基础上的方法的快照计算近似平衡截断离散时间，稳定，线性时间周期系统。通过构造，该算法适用于非常高维的系统，甚至具有非常高维的输出（或者，非常高维的输入）。最后通过一个实例验证了该方法的有效性。
2007-08-02 math.DS math.OC
Balanced Truncation Model Reduction of a Nonlinear Cable-Mass PDE System with Interior Damping
本文研究了一类具有内阻尼和动态边界条件的一维波动方程的非线性索-质量系统的模型降阶问题。该系统是由一个不定常强迫输入的线性质量弹簧系统在一个边界。模型简化的目标是产生低阶模型，该低阶模型产生对在相对边界处的非线性质量-弹簧系统中的质量的位移和速度的精确近似。首先证明了线性化和非线性非强迫系统在一定的阻尼参数条件下是适定的和指数稳定的，然后考虑用平衡截断方法生成非线性输入输出系统的降阶模型.关于非线性输入输出系统的模型降阶知之甚少，因此我们提出了详细的数值实验的非线性ROM的性能。我们发现，ROM是准确的模型参数的许多不同的组合。
2018-01-09 math.OC
On Frequency-Weighted Extended Balanced Truncation
University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学）；KTH Royal Institute of Technology（皇家理工学院）
本文提出了一种递归算法用于频率加权扩展平衡截断，解决了离散和连续时间系统的模型约简问题，并通过数值实验验证了理论结果。
2025-12-02 cs.SY eess.SY math.OC
Empirical balanced truncation of nonlinear systems
提出了非线性系统的经验能控性和能观性Gramian的新构造，用于平衡截断模型降阶。新的Gramian是基于线性时变系统的基本解的推广。建立了非线性系统的给定Gramian与线性时不变系统和线性时变系统的标准Gramian之间的关系以及与经验Gramian的先前构造的关系。通过一个测试系统实例说明了新gramian的应用。
2006-06-18 math.DS math.OC
Nonlinear balanced truncation model reduction through scalable Taylor series
University of California San Diego（加州大学圣迭戈分校）
本文提出基于非线性平衡理论的可扩展算法，通过多项式近似和克罗内克积表示，实现降阶模型计算，展示非线性平衡的优势与局限。
2026-04-24 math.DS math.OC
Balanced truncation model reduction for symmetric second order systems -- A passivity-based approach
本文提出了一种基于正实平衡截断的线性定常二阶系统模型降阶方法。我们的方法保证了降阶模型的渐近稳定性和无源性以及质量矩阵和刚度矩阵的正定性。此外，我们得到一个先验的间隙度量误差界。最后，我们表明，我们的方法基于正实平衡截断保持过阻尼二阶系统的结构。
2020-06-16 cs.NA cs.SY eess.SY
Frequency- and Time-Limited Balanced Truncation for Large-Scale Second-Order Systems
考虑到动力系统在实际应用中的使用，通常仅对时域或频域中的有限区域感兴趣。因此，在频域和时域中计算所使用的动力系统的局部近似通常是值得的。在本文中，我们考虑一个保结构的扩展的频率和时间限制的平衡截断方法的二阶动力系统。本文对一阶有限平衡截断方法进行了全面的综述，并利用文献中不同的二阶平衡截断公式将这些方法推广到二阶系统。此外，我们提出的数值方法解决所产生的大型稀疏矩阵方程，并给出数值修改，以处理有问题的情况下，二阶系统。结果，然后示出了三个数值例子。
2020-01-17 cs.NA math.NA math.OC
An $L^2_T$-error bound for time-limited balanced truncation
模型降阶（MOR）常用于空间离散的偏微分方程，以降低其阶数，从而降低计算复杂性。可以获得简化的系统，例如，通过时间限制平衡截断，在给定的有限时间区间$[0, T]$上构造精确的降阶模型。本文研究了这种特殊的平衡相关的MOR技术。证明了基于截断时限奇异值的$L^2_T$ -误差界，这是本文的主要结果。推导出的误差界收敛（$T\rightarrow \infty$）到著名的$\mathcal H_\infty$ -误差界的无限制平衡截断，该计划是用来构建一个良好的减少系统的整个时间线。本文证明的技术也可以应用于不受限制的平衡截断，使一个相对较短的时域证明$\mathcal H_\infty$ -误差界在这里找到。
2019-07-11 cs.NA math.NA math.OC
Balanced Truncation of Linear Time-Invariant Systems over Finite-frequency Ranges
Max Planck Institute for Dynamics of Complex Technical Systems（马普复杂技术系统动力学研究所）；School of Mechatronic Engineering and Automation, Shanghai University（上海大学机电工程与自动化学院）
本文提出两种频率依赖平衡截断方法，分别处理已知单个主导频率和已知频率区间边界的情况，并推导了新的误差界以估计预设频率区间内的近似误差。
2016-02-13 cs.SY eess.SY math.DS
Balanced truncation with conformal maps
本文提出一种基于共形映射的平衡截断框架，用于对极点位于复平面一般区域的大规模系统进行模型降阶，并通过修正 Lyapunov 方程计算新 Gramian 矩阵，在热模型、Schrödinger 方程和线性波动方程上验证了算法有效性。
2025-02-07 cs.NA math.NA math.OC
Model reduction by balanced truncation of dominant Lure systems
本文提出了一个模型简化框架，面向开关和振荡系统的分析和设计。虽然这种现象在自然界和工程中普遍存在，但对于非平衡行为，模型降阶方法还没有得到很好的发展。拟议的框架解决了这一需要，利用优势理论的最新进展。利用线性定常系统的经典平衡截断方法，提出了Lure系统的优势保持模型降阶方法。Lure系统是指可以分解为一个线性系统和一个静态非线性系统的反馈连接的系统。该方法通过近似离散热流控制系统的振荡行为来说明。
2020-05-17 cs.SY eess.SY math.OC
Balanced Truncation Model Reduction for Lifted Nonlinear Systems
针对一类具有时变和不确定输入的非线性系统，提出了一种平衡截断模型降阶方法。首先，我们的方法把非线性系统的二次双线性~（QB）的形式通过一个过程称为提升，它引入了通过辅助变量的转换，以实现指定的模型形式。其次，我们扩展了最近开发的QB平衡截断方法适用于这样的提升QB系统，共享的共同特点，有一个系统矩阵与零特征值。我们说明了这个框架和多级提升变换的管式反应器模型。在数值结果中，我们表明，我们提出的方法可以获得降阶模型，比适当的正交分解降阶模型更准确的情况下，后者是敏感的训练数据的选择。
2020-10-27 cs.CE cs.NA math.DS
Infinite-dimensional bilinear and stochastic balanced truncation with error bounds
University of Cambridge（剑桥大学）；BTU Cottbus-Senftenberg（科特布斯-森夫滕贝格技术大学）
本文基于Curtain和Glover的思想，将平衡截断方法扩展到无限维线性系统、双线性及随机系统，通过希尔伯特空间技术建立截断系统的误差界，并证明收敛性结果，应用于由韦纳噪声驱动的随机演化方程的模型降阶。
2018-11-26 cs.NA math.DS math.NA
Finite-Frequency Model Order Reduction of Linear Systems via Parameterized Frequency-dependent Balanced Truncation
Shanghai University（上海大学）；Max Planck Institute for Dynamics of Complex Technical Systems（马克斯·普朗克复杂技术系统动力学研究所）
本文提出一种基于参数化频率依赖平衡截断的方法，用于线性连续时间系统的有限频率模型降阶，通过构造参数化频率依赖映射，建立系统最大奇异值与降阶系统的关系，并提供误差界。
2017-03-20 cs.SY eess.SY math.DS
Data-driven balanced truncation for second-order systems with generalized proportional damping
Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University（纽约大学柯朗数学科学研究所）；Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）
针对二阶线性动力系统，提出一种基于平衡截断的数据驱动结构化降阶建模方法，通过最小二乘误差推断广义比例阻尼系数，并推广了无结构一阶系统的正交平衡截断。
2026-05-22 cs.NA cs.SY eess.SY
Symmetric Hermite quadrature-based balanced truncation for learning linear dynamical systems from derivative data
New York University（纽约大学）；Virginia Tech（弗吉尼亚理工学院）
提出一种对称Hermite求积平衡截断算法，通过传递函数及其导数数据构建线性降阶模型，保持状态空间Hermite性和渐近稳定性。
2026-05-29 cs.LG cs.NA cs.SY
Balanced Truncation Model Order Reduction For Quadratic-Bilinear Control Systems
讨论了二次双线性大系统的平衡截断模型降阶问题。线性系的平衡截断主要涉及系统的Gramian，即系统的可达性Gramian和可观测性Gramian的计算。Scherpen（1993）将这些Gramian推广到一般的非线性情形，证明了非线性系统的Gramian是状态依赖的非线性Hamilton-Jacobi方程的解。因此，它们不仅难以计算大规模系统，而且难以在模型降阶框架中使用。本文基于QB系统及其Hilbert伴随系统的Volterra级数表示，提出了QB系统的代数Gramian。然后，我们展示了它们与某类广义二次李雅普诺夫方程的关系。此外，我们提出了这些代数Gramian和能量泛函是如何相互关联的。此外，我们刻画了QB系统的可达性和可观测性的基础上提出的代数Gramian。这使得我们能够通过基于Gramian的适当变换来找到那些难以控制和难以观察的状态。截断这样的状态产生降阶系统。此外，我们提出了一个截断版本的Gramian QB系统，并讨论了它们的优势，在模型降阶框架。我们还研究了降阶系统的李雅普诺夫稳定性。最后，我们通过各种半离散的非线性偏微分方程来说明所提出的QB系统的平衡型模型降阶的效率，并显示其与现有的QB系统的矩匹配方法的竞争力。
2017-04-29 math.DS math.OC
Generalizations of data-driven balancing: What to sample for different balancing-based reduced models
本研究推广QuadBT框架至多种平衡截断模型降阶，明确计算数据驱动降阶模型所需的传递函数数据为目标系统特定谱因子的评估值，奠定相关BT变体数据驱动重构的理论基础并通过合成数据验证模型有效性。
2025-08-25 cs.NA cs.SY eess.SY
Structure-Preserving Linear Quadratic Gaussian Balanced Truncation for Port-Hamiltonian Descriptor Systems
本研究针对线性端口哈密顿描述符系统，提出基于修正对偶广义代数Riccati方程的保结构模型降阶方法，推导了先验误差界，结合Kalman-Yakubovich-Popov不等式极值解可显著提升降阶模型质量。
2024-09-17 cs.NA math.NA math.OC
On the balanced truncation error bound and sign parameters from arrowhead realizations
本文证明单输入单输出系统在截断Hankel奇异值对应符号参数全相等时平衡截断误差界取等号，并给出由箭头形实现非对角元素直接确定符号的方法，以电力系统模型验证。
2024-01-17 cs.SY eess.SY math.DS
Scalable Computation of Energy Functions for Nonlinear Balanced Truncation
针对非线性平衡截断中高维Hamilton-Jacobi-Bellman方程难以求解的问题，提出基于泰勒级数的可扩展方法，通过线性张量系统高效求解能量函数，并在Burgers和Kuramoto-Sivashinsky方程上验证了可扩展性。
2024-04-20 math.DS math.OC
Nonlinear Balanced Truncation: Part 2 -- Model Reduction on Manifolds
非线性平衡截断是一种模型降阶技术，其以考虑系统的开环或闭环可观测性和可控性方面的方式降低非线性系统的维数。到目前为止，两个计算挑战阻碍了它在大规模系统上的部署：（a）表征可控性和可观性所需的能量函数是高维Hamilton-Jacobi-（Bellman）方程的解，这在计算上是难以解决的;（b）构建降阶模型（ROM）的变换可能会出现问题-条件和所得的ROM是难以模拟的非线性平衡流形。这篇由两部分组成的文章的第1部分解决了挑战（a）通过基于可扩展张量的方法求解开环和闭环能量函数的多项式逼近。本文（第2部分）通过提出一种新颖的可扩展方法来解决挑战（b），该方法通过多项式非线性平衡流形上的模型降维来降低全阶模型的维数。相关的非线性状态变换同时“对角化”相关的能量函数在新的坐标。由于这种非线性平衡变换可能是病态的和昂贵的评估，启发的线性情况下，我们开发了一个计算高效的平衡和减少策略，从而产生一个可扩展的和更好的条件截断变换，以产生平衡的非线性ROM。通过半离散化的偏微分方程Burgers方程证明了该算法的有效性，说明高阶变换可以提高ROM输出的精度。
2023-02-04 cs.SY eess.SY math.OC
Gramians, Energy Functionals and Balanced Truncation for Linear Dynamical Systems with Quadratic Outputs
模型降阶是一种用于构造大规模动力系统的低阶近似的技术。本文研究了具有线性动力学方程和二次输出函数的动力系统的一种基于平衡的模型降阶方法。为此，我们基于希尔伯特空间伴随理论，提出了一种新的代数能观性Gramian。然后，我们建议Gramian满足一个特定类型的广义李雅普诺夫方程，我们调查他们的能量泛函，即可控性和可观性的连接。这使我们能够通过适当的平衡变换找到难以控制和难以观察的状态。这种状态的截断产生降阶系统。最后，基于$\mathcal H_2$能量的考虑，我们，此外，推导出误差界，取决于忽略的奇异值。通过两个半离散的偏微分方程证明了所提出的方法的效率，并与文献中现有的模型降阶技术进行了比较。
2019-09-10 cs.NA math.NA math.OC
Error bounds for port-Hamiltonian model and controller reduction based on system balancing
研究了线性端口-哈密顿系统的线性二次高斯（LQG）控制设计问题.为此，我们利用的自由选择的加权矩阵，并提出了一个具体的选择，导致一个LQG控制器，这是端口哈密顿，因此，特别是稳定和被动的。此外，我们通过平衡和随后的截断构造降阶控制器。这种方法与经典的LQG平衡截断密切相关，并且相对于间隙度量共享类似的先验误差界。通过利用哈密顿量的非唯一性，我们能够确定一个最佳的pH表示的全阶系统的意义上，误差界最小化。此外，我们还讨论了pH保持平衡截断模型简化的后果，这会导致两个不同的经典H-无穷大误差界。最后，我们通过两个数值例子来说明理论结果。
2021-07-26 math.OC
Model Reduction for Nonlinear Systems by Balanced Truncation of State and Gradient Covariance
Princeton University（普林斯顿大学）
本文提出CoBRAS方法，通过平衡状态方差与伴随梯度协方差来提取低维坐标，用于高维非线性系统的模型降阶，并支持核函数扩展和回归学习降阶模型。
2023-04-12 cs.LG cs.SY eess.SY
Optimizing Oblique Projections for Nonlinear Systems using Trajectories
降阶建模技术，包括平衡截断和$\mathcal{H}_2$ -最优模型降阶，利用线性动力系统的结构来产生精确捕获动态的模型。另一方面，对于远离平衡点运行的非线性系统，当前的方法寻求状态的低维表示，这通常忽略具有高动力学意义的低能量特征。例如，已知低能量特征在流体动力学中发挥重要作用，其中它们可以是剪切层不稳定性的驱动机制。忽略这些特征会导致模型的预测准确性较差，尽管能够准确地编码和解码状态。为了提高预测精度，我们建议优化降阶模型，以适应从原始系统的粗采样轨迹的集合。特别是，我们优化的产品的两个格拉斯曼流形定义的彼得罗夫-伽辽金投影的全阶控制方程。我们比较我们的方法与现有的方法，包括适当的正交分解，平衡截断的Petrov-Galerkin投影，二次双线性平衡截断，和二次双线性迭代有理Krylov算法。我们的方法表明显着提高精度的非线性玩具模型和不可压缩（非线性）轴对称射流与$10^5$状态。
2022-01-14 math.DS math.OC physics.flu-dyn
Model Reduction of Turbulent Fluid Flows Using the Supply Rate
本文提出了一种求解湍流模型降阶近似的方法。该方法在概念层流剖面扰动的$\curly{L}_2$范数意义上保留了湍流能量产生的界限。这是通过将Navier-Stokes系统分解为线性化系统和其余通常被忽略的非线性部分之间的反馈安排来实现的。使用类似于平衡截断的方法来减少线性系统，但保持供应率的界限。该方法涉及平衡两个代数Riccati方程。然后，使用的边界上的湍流能量产生的界限。文中给出了一个应用该方法计算长直管流动的实例。比较表明，新方法至少与规范平衡截断一样或更好地逼近供应率。
2013-01-21 math.OC physics.flu-dyn
Order Reduction of the Chemical Master Equation via Balanced Realisation
考虑连续时间中具有有限个离散状态的马尔可夫过程。处于马尔可夫链任何状态的时间相关概率由一组常微分方程控制，即使对于平凡系统，其维数也可能很大。在这里，我们推导出一个减少的ODE集，准确地近似的概率与已知的误差界的子空间的兴趣。我们的方法是基于平衡截断模型降阶，可以大大提高计算效率比有限状态投影算法（FSP）时，用于获得瞬态响应。我们通过分析随机化学反应，我们的方法的适用性。首先，我们得到一个降阶模型的无穷小生成元的马尔可夫链，模型的可逆，单分子反应。在这样一个例子中，我们用一个有10个状态的降阶模型来近似一个有301个状态的模型的输出。后来，我们得到了一个降阶模型的催化转化底物的产品，并比较其动力学与随机米氏-Menten表示。对于这个例子，我们强调了通过降阶模型获得的计算负载的节省。最后，我们通过获得近似具有预定义范围的产物分子的概率的低阶模型来重新审视底物催化转化。
2014-03-06 math.OC
Balanced Reduction of Nonlinear Control Systems in Reproducing Kernel Hilbert Space
基于机器学习和统计降维的最新进展，提出了一种新的非线性控制系统数据驱动降阶方法。该方法依赖于假设的非线性系统线性行为时，提升到一个高（或无限）维的特征空间，平衡截断可以进行隐式。这导致了一个非线性的减少映射，它可以与属于再生核希尔伯特空间的系统的表示相结合，以给出一个封闭的，减少了顺序的动力系统，它捕获了原始模型的基本输入-输出特性。还提供了说明该方法的实证模拟。
2010-11-12 math.DS math.OC math.ST
Comparing (Empirical-Gramian-Based) Model Order Reduction Algorithms
在这项工作中，基于几何-Gramian的模型降阶法：经验穷人的截断平衡实现，经验近似平衡，经验主导子空间，经验平衡截断和经验平衡增益在非参数和两个参数变量中进行了比较，通过十个误差测量：近似Lebesgue $L_0$、$L_1$、$L_2$、$L_\infty$、Hardy $H_2$、$H_\infty$、Hankel、Hilbert-Schmidt-Hankel、修正的诱导原范数和修正的诱导对偶范数，对于热块模型简化基准的变体。这种比较是通过一个新的元测量模型约简称为MORscore。
2020-02-27 cs.NA cs.SY eess.SY
Structures and Transformations for Model Reduction of Linear Quantum Stochastic Systems
The University of New South Wales（新南威尔士大学）
本文研究线性量子随机系统的降阶理论，探讨子系统截断对物理可实现性及完全被动性的保持，提出准平衡实现概念并给出降阶误差界。
2013-08-28 cs.SY eess.SY math.OC
System Identification from Partial Observations under Adversarial Attacks
本文针对对抗攻击下的部分观测线性系统辨识问题，证明ℓ₁范数估计器可精确辨识幂零系统的马尔可夫参数矩阵，并推广至一般系统得到误差随阶数k指数衰减的结果，首次实现该场景下的输入输出分析。
2025-09-04 cs.SY eess.SY math.OC
Empirical Differential Gramians for Nonlinear Model Reduction
Hiroshima University（广岛大学）；University of Groningen（格罗宁根大学）
本文提出了一种用于具有线性时不变输入向量场分量的非线性系统的经验平衡截断方法。首先定义了微分可达性和可观测性格拉斯曼矩阵，它们是原非线性系统状态轨迹（即初始状态和输入轨迹）的矩阵值函数，但难以作为初始状态和输入的函数找到。本文的主要结果是展示对于固定的轨迹，可以利用变分系统的冲击响应和初始状态响应来计算这些格拉斯曼矩阵的值。因此，可以在不求解非线性偏微分方程的情况下，沿着固定的轨迹进行平衡截断，与传统非线性平衡方法不同。我们进一步开发了一种近似方法，仅需要原非线性系统的轨迹。我们的方法通过沿轨迹的RL网络进行了演示。
2019-10-29 cs.SY eess.SY math.OC
Energy estimates and model order reduction for stochastic bilinear systems
研究了一类具有双线性漂移和线性扩散项的随机系统。这种高维系统例如在空间中离散随机偏微分方程时出现。我们研究了一种特殊的模型降阶技术，称为平衡截断（BT），以减少空间离散系统的阶数，从而降低计算复杂性。我们引入合适的Gramian系统，并证明能量估计，可用于识别状态，只有很少的系统动力学。当应用BT时，通过从原始系统中移除这些状态来获得简化系统。本文的主要贡献是随机双线性系统BT的一个$L^2$ -误差界。这个结果是新的，即使是确定性双线性方程。为了实现这一目标，我们开发了一种新的技术，这是目前为止在文献中没有。
2018-04-05 math.OC
Cross-Gramian-Based Model Reduction: A Comparison
Institute for Computational and Applied Mathematics at the University of Münster（明斯特大学计算与应用数学研究所）
本文比较了基于交叉格拉姆矩阵的模型降阶方法，通过模拟轨迹计算经验格拉姆矩阵，并在基于交叉格拉姆矩阵的基准测试中评估其性能。
2016-06-13 cs.NA math.NA math.OC
Model reduction for fully nonlinear stochastic systems
针对全非线性随机系统，提出无需提升为二次系统或线性化的新型模型降阶框架，通过Lyapunov型算子定义广义Gramian矩阵实现投影降阶，推导存在条件与误差界，拓展平衡截断技术的适用范围。
2025-08-04 cs.NA math.NA math.OC
A Unified Software Framework for Empirical Gramians
Institute for Computational and Applied Mathematics at the University of Münster（明斯特大学计算与应用数学研究所）
本文介绍了一个统一软件框架，提供六种经验格拉姆矩阵的计算例程，并将其应用于多输入多输出系统的模型降阶。
2013-07-15 cs.MS cs.SY eess.SY
Kernel Methods for the Approximation of Nonlinear Systems
Laboratory for Computational and Statistical Learning, Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院计算与统计学习实验室）；Department of Mathematics, Duke University（杜克大学数学系）；Department of Mathematics, Imperial College London（帝国理工学院伦敦数学系）
本文提出一种数据驱动降阶方法，利用核技巧将非线性系统提升至高维特征空间进行隐式平衡截断，从而构建闭式降阶模型以保留输入输出特性。
2016-03-31 cs.SY eess.SY math.DS
