The Collatz Conjecture & Non-Archimedean Spectral Theory: Part I -- Arithmetic Dynamical Systems and Non-Archimedean Value Distribution Theory
University of Southern California（南加州大学）
本文提出利用(p,q)-adic分析研究算术动力系统，为缩短的qx+1映射构造Numen函数并证明对应原理，为Collatz猜想提供新范式。
2026-10-30 math.DS
A Criterion for Potentially Good Reduction in Non-archimedean Dynamics
设K是非阿基米德域，f是K（z）中的多项式或次数至少为2的有理函数.我们给出了一个仅涉及f的不动点及其原像的充要条件，它决定了P^1上的动力系统f是否具有潜在的好约化。
2013-12-02 math.DS math.NT
Non-Archimedean Ergodic Theory and Pseudorandom Generators
本文开发的技术，以构建计算机程序，伪随机数发生器（PRNG），产生均匀分布的序列。本文利用了一种方法，把标准的处理器指令（算术和位逻辑的）作为连续函数的空间上的2-adic整数。在这种方法中，PRNG被认为是一个动力系统，并通过非阿基米德遍历论的研究。
2007-10-07 cs.IT math.DS math.IT
Non-Archimedean dynamics of the complex shift
在p字母表上的单侧无限词的（异步）自动机变换Fp = Z/pZ，其中p是素数，是一个连续变换（w.r.t. p-adic度量）的环Zp。此外，自动机映射生成Zp上的非阿基米德动力系统。测度保持性和遍历性（w.r.t.这种动力系统的Haar测度）在密码学中起重要作用（例如，在流密码中）。本文的目的是提出一种新的方法来实现一个复杂的位移p-adics。特别地，我们引入了p-adics上的变换的Mahler展开的条件，这些条件足以使其成为复移位。此外，我们还得到了这类映射遍历的一个充分条件.
2020-09-27 cs.CR cs.FL math.DS
Non-archimedean connected Julia sets with branching
我们构造的第一个例子的有理函数定义在一个非阿基米德领域具有一定的动力学性质。特别是，我们发现这样的功能，其朱利亚集，在Berkovich投影线，连接，但不包含在一个线段。我们还展示了如何计算的测度理论和拓扑熵的这种地图。特别是，我们表明，我们的一些例子，测量理论熵严格小于拓扑熵，从而回答了一个问题的法弗尔和里维拉-Letelier。
2015-04-06 math.DS math.NT
Non-archimedean amoebas and tropical varieties
我们研究了非阿基米德对应复杂的变形虫的代数品种，并表明，它符合一个多面体集定义的Bieri和格罗夫斯使用估值。对于超曲面，这个集合也是定义多项式的热带簇。使用非阿基米德分析和康拉德最近的结果，我们证明了阿米巴的一个不可约的品种是连接。我们引入了一个adelic变形虫的概念，品种在全球领域，并建立了一种形式的本地全球原则。这个原理被用来解释一个相关的动力系统的非扩张集的计算。
2005-01-22 math.AC math.AG math.DS
Degenerations of Complex Dynamical Systems II: Analytic and Algebraic Stability
在一定的稳定性假设下，研究了由非阿基米德有理函数$f$和Berkovich射影线上的有限集$Γ$组成的对$(f, Γ)$.我们证明了通过扩大顶点集$Γ$，稳定性总是可以达到的。作为一个副产品，我们推导出亚纯映射保持纤维的有理纤维复曲面是代数稳定的适当修改后。本系列的第一篇文章研究了黎曼球面上退化的单参数有理函数族的平衡测度的极限。在这里，我们构造了一个收敛的可数状态马尔可夫链，计算极限测度。由于Rivera-Letelier的非阿基米德有理函数的周期Fatou分量的分类，在我们的主要定理的证明中起着关键作用。附录中包含了对所有驯服的有理函数的这种分类的证明。
2016-01-19 math.DS
Adelic equidistribution, characterization of equidistribution, and a general equidistribution theorem in non-archimedean dynamics
我们确定当可能移动的目标的均匀分布属性持有的有理函数的程度超过一个在任何特性的代数闭域的投影线和完整的关于一个非平凡绝对值。这种表征在正特征情况下可能是有用的。基于变分的论点，我们给出了一个纯粹的本地证明可能移动的目标，这是由于Favre和Rivera-Letelier，使用动态丢番图逼近定理Silverman和Szpiro-塔克的adelic equidistribution定理。我们还给出了一个一般的等距分布定理可能移动的目标，这是由于Lyubich在阿基米德的情况下，由于Favre和Rivera-Letelier为恒定的目标在非阿基米德和任何特征的情况下，并为移动目标在非阿基米德和0特征的情况下的证明。
2013-04-19 math.CV math.DS math.NT
Dynamical systems arising from elliptic curves
我们展示了一个家庭的动力系统所产生的有理点的椭圆曲线，试图模仿熟悉的toral自同构。在非阿基米德素数处，在局部椭圆曲线上构造了一个连续映射，其拓扑熵由局部标准高度给出。并给出了计算周期点的精确公式。下面讨论如何将这些局部结果粘在一起，给出一个关于椭圆曲线的映射。我们能够给出一个映射，它的熵是全局标准高度，它的周期点由实除多项式渐近计数（尽管该映射的阿基米德分量是人为的）。最后，我们提出了一个关于椭圆动力系统存在性的精确猜想，并讨论了它与数学物理的可能联系。
1999-07-02 math.DS math.NT
Hierarchical Expansion of Finite Discrete Dynamical Systems: A Non-Archimedean Variational Theory over Coordinate Orderings
SECIHTI–CIMAT, Unidad Mérida（墨西哥尤卡坦州梅里达 SECIHTI-CIMAT 联合单位）；Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo（伊达尔戈自治大学）
本文提出非阿基米德视角下有限离散动力系统的分析方法，通过坐标序作为动力学可观测量，利用变分原理选择内在的坐标层次结构，验证了在阿拉伯拟南芥花网络中关键调控因子的识别。
2026-09-11 math.DS q-bio.MN
Non-Archimedean Rigidity and Uniformity for Common Preperiodic Points
研究次数至少为2且无潜在好约化的多项式，证明具有相同Julia集的多项式动态相关。据此得出任意两个次数至少为2的复多项式，其预周期点集要么重合，要么公共预周期点数量有界，回答了相关猜想并建立了相关结果。
2026-07-24 math.DS math.NT
Fekete configuration, quantitative equidistribution and wandering critical orbits in non-archimedean dynamics
设$f$是可能非阿基米德代数闭域上射影直线上的次数为$d>1$的有理函数. Brolin发起的一个众所周知的过程考虑了$f$迭代下的点的回撤，并产生了一个重要的平衡测度。我们定义了点回撤的渐近Fekete性质，这意味着它们适当地反映了平衡测度。作为应用，我们得到了$C^1$ -检验函数的点回撤的等分布的误差估计，并证明了在初始点容量为0的特殊例外集之前，其阶为$O(\sqrt{kd^{-k}})$.它包含在超吸引周期点和ω-从Julia集或$f$的奇异前域的游荡临界点的极限集。作为算术动力学中的应用，再加上一个动态的丢番图逼近，这些估计恢复法夫尔和里维拉-Letelier的定量equidistribution在一个纯粹的本地方式。
2012-03-27 math.DS math.NT
The Non-Archimedean Theory of Discrete Systems
本文研究离散动力系统（自动机）的行为。传递性;也就是说，松散地说，我们考虑如何不同的可能是系统的行为w.r.t.系统执行的各种字转换：我们称一个系统完全传递，如果给定任意一对具有相等长度的有限字$a,b$，系统$\mathfrak A$在（离散）时间内演化时，在某个时刻将$a$转换为$b$。对于每一个系统$\mathfrak A$，我们把一个合适的非阿基米德度量空间的连续映射族$\mathcal F_{\mathfrak A}$放入对应中，并证明了系统是完全传递的当且仅当该族$\mathcal F_{\mathfrak A}$是遍历的. Haar测度;然后我们找到系统必须满足的易于验证的条件，以完全传递。该理论可以应用于分析直线计算机程序（特别是用于密码学和模拟的伪随机数生成器）的行为，因为基本CPU指令（数值和逻辑）可以被认为是2-adic整数的（非阿基米德）度量空间$\mathbb Z_2$的连续映射。
2012-10-26 cs.FL cs.LO math.DS
Non-Archimedean analysis, T-functions, and cryptography
These are lecture notes of a 20-hour course at the International Summer School \emph{Mathematical Methods and Technologies in Computer Security} at Lomonosov Moscow State University, July 9--23, 2006. Loosely speaking, a $T$ -function is a map of $n$ -bit words into $n$ -bit words such that each $i$ -th bit of image depends only on low-order bits $0,..., i$ of the pre-image. For example, all arithmetic operations (addition, multiplication) are $T$ -functions, all bitwise logical operations ( $\XOR$ , $\AND$ , etc.) are $T$ -functions. Any composition of $T$ -functions is a $T$ -function as wel…
2006-12-06 cs.CR math.DS
Topological entropy of a rational map over a complete metrized field
证明了定义在完备非阿基米德域上的射影簇的任何支配有理自映射的拓扑熵都由其动力学度的最大值有界，从而将Gromov和Dinh-Sibony的一个定理从复形推广到非阿基米德情形.我们继续证明，任何正规自映射，它允许一个定期扩展到一个投影模型定义在赋值环有必要为零熵。为此，我们引入了一个Berkovich解析空间的e-约化，一个独立兴趣的概念。
2022-08-01 math.AG math.DS
Asymptotic geometry of non-mixing sequences
零维代数动力系统混合的确切阶数还没有完全弄清楚。本文利用正特征函数域上的非阿基米德范数来表示代数$Z^2$ -作用的非混合序列的渐近形状。这给出了混合阶与定义多项式的凸包之间的关系。使用这些方法，我们表明，一个代数动力系统的任何形状的基数三是混合是混合的顺序三，并为任何$k\ge1$展示的例子是$k$倍混合，但不是$(k+1)$倍混合。
2002-04-13 math.DS
A dynamical system approach to modeling neural network activity in Drosophila orientation
Normandie Univ.（诺曼底大学）；Laboratory of Analysis, Modeling, and Optimization (LAMO), CRMN Center, University of Djibouti（吉布提大学分析、建模与优化实验室（LAMO）、CRMN中心）；The Hudson School of Mathematics（哈德逊数学学院）
本文提出并分析了受果蝇中央复杂神经系统启发的神经网络模型，旨在捕捉定向选择性活动斑块的产生与动态。通过生物启发的环状连接模型，推导出支持稳定局部模式编码角位置的简化递归模型，并在确定性和随机性设定下验证了斑块解的稳定性与鲁棒性。
2026-09-17 math.DS
The Hydra Map and Numen Formalisms for Collatz-Type Problems
本文提出将Hydra映射与Numen形式化应用于Collatz型问题的通用框架，为未来研究提供技术参考。
2026-09-04 math.DS math.NT
An Equidistribution Result For Dynamical Systems on the Berkovich Projective Line
设$K$是一个完备的代数闭的非阿基米德值域，并设$ϕ\in K(z)$具有$\textrm{deg}(ϕ) \geq 2$ .在本文中，我们考虑家庭的功能$\textrm{ordRes}_{ϕ^n}(x)$，测量$ϕ^n$的结果在点$x$在$\textbf{P}^1_{\textrm{K}}$，Berkovich投影线，并表明，他们局部一致收敛到对角值的Arakelov-Green函数$g_{μ_ϕ}(x,x)$重视$ϕ$的规范措施。在此之后，我们能够证明Rumely的关键措施$ν_{ϕ^n}$，其中每一个是一个概率测度支持在许多点的权重是由$ϕ$的动力学性质。
2017-04-28 math.DS math.NT
Wandering Fatou Components and Algebraic Julia Sets
研究了非阿基米德域$K,$中系数多项式的动力学，其中$K$是离散值域$k.$上代数元的稠密子集.证明了所有游荡的Fatou分量都包含在周期轨道的盆中.我们得到一个完整的描述时出现的新的朱利亚集点，从$K$传递到$K$的Berkovich线。给出了具有代数朱利亚集的多项式的动力学特征.更确切地说，我们建立了一个多项式的代数系数有代数朱利亚集，如果每个关键元素是非回归的。
2010-05-13 math.DS
Automata as $p$-adic Dynamical Systems
字母表$\mathbb F_p=\{0,1,\ldots,p-1\}$上的无限词的自动机变换（其中$p$是素数）与$p$-adic整数的环$\mathbb Z_p$的连续变换（关于$p$ -adic度量）一致。研究对象是$\mathbb Z_p$空间上由自动机映射生成的非阿基米德动力系统。这种动力系统的测度保持性（相对于Haar测度）和遍历性在密码学中起着重要的作用（例如，对于伪随机生成器和流密码设计）。使用$p$ -进方法和自动机的几何图像的可能性允许传递（或遍历）自动机的特征。本文研究了与同步和异步自动机相关的保测度遍历映射。我们得到了与异步自动机相联系的$n$ -单位延迟映射的测度保持性准则。此外，我们还得到了这类映射遍历性的一个充分条件。
2018-04-02 cs.FL math.DS
Prediction of flu epidemic activity with dynamical model based on weather forecast
呼吸道疾病的季节性（普通感冒、流感等）是一个从古代就开始研究的著名现象。预测模型的发展不仅是数学流行病学中一个尚未解决的实际问题，而且对公共卫生安全具有重要意义。在这里，我们表明，SIRS（易感-感染-感染-易感）模型足够准确地再现流感活动的真实曲线。它包含可变的反应速率，这是一个函数的平均日温度。提出的变量交替表示SIRS方程作为二阶常微分方程与外部激励。它揭示了这种预测效率的起源，并解释了分析1：1动力学共振，这是众所周知的流行病行为的一个重要属性。我们的工作打开了基于天气预报的流感活动正常水平的即时短期预测的发展前景，并允许更精确地估计当前的流行水平。后一个事实是基于预期的天气活动和即时异常之间的明显差异。
2014-04-25 math.DS physics.med-ph q-bio.PE
A Dynamical Blueprint for Brain State Organization
University of Exeter（埃克塞特大学）
通过识别一个几何结构，揭示了神经元网络动态状态涌现和转换的组织原理，并证明兴奋-抑制平衡调控振荡、双稳态和上下状态之间的转换。
2026-06-24 math.DS q-bio.NC
A finiteness property of torsion points
设k是数域，E/k是椭圆曲线，S是k的包含阿基米德空间的有限集.设F是k的一个代数闭包.证明了若E（F）中的一点P是非挠的，则E（F）中关于P为S-积分的挠点x只有1/2个.我们还证明了乘法群的一个类似结果，并给出了阿贝尔簇和动力系统的拓扑推广.
2005-09-21 math.DS math.NT
Degeneration of endomorphisms of the complex projective space in the hybrid space
考虑以单位圆盘为参数的复射影空间的一个至少2次的亚纯自同态族，证明了当系统退化时，这些自同态的最大熵测度收敛于相应的非阿基米德动力系统的平衡测度.收敛性在Berkovich构造的混合空间中成立，Boucksom和Jonsson对此作了进一步的研究.我们还推断，从我们的分析估计爆破的李雅普诺夫指数附近的极点在一维家庭的自同态。
2017-12-29 math.CV math.DS
The Collatz Conjecture & Non-Archimedean Spectral Theory -- Part I.5 -- How To Write The (Weak) Collatz Conjecture As A Contour Integral
该研究提出$(p,q)$进分析新范式研究算术动力系统，将简化$qx+1$映射的周期点问题转化为围道积分，建立相关函数方程与亚纯延拓，指出超几何增长下仍可获渐近结果。
2023-12-15 math.DS math.NT
Rationality of dynamical canonical height
我们提出了一个动力学证明的众所周知的事实，即Neron-Tate正则高度（和它的本地对应）采取合理的值在椭圆曲线的点上的超越度为1的函数域k上的代数闭域K的特征0。更一般地说，我们调查的机制，其中的局部正则高度为一个有理函数f定义在k上可以采取无理值（在一个本地完成的k点），提供的例子在所有程度大于1。基于Kiwi对二次映射的非阿基米德朱利亚集的分类，我们给出了2度的完整答案，刻画了具有无理局部正则高度的点的存在性.作为结果的应用，我们证明了：如果两个点a和b在两个有理函数f和g（定义在k上）作用下的标准高度是正有理数，且f和g的次数是乘法独立的，则a在f下的轨道与b在g下的轨道相交的点不超过100个，补充了Ghioca-Tucker-Zieve的结果.
2017-03-28 math.AG math.DS math.NT
Equidistribution of rational functions having a superattracting periodic point towards the activity current and the bifurcation current
我们建立了具有标记临界点$c$的有理函数的全纯族$f$的参数空间中的活动电流$T_c$的近似，其中$c$在$f$下是周期性的，即，是一个超吸引周期点。这部分地推广了Dujardin-Favre定理的有理函数具有preperiodic点，并完善了Bassanelli-Berteloot定理的一个类似的近似的分歧电流$T_f$的全纯家庭$f$。证明是基于这种近似的动力学对应。
2014-08-12 math.CV math.DS
Squarefree Doubly Primitive Divisors in Dynamical Sequences
设K是特征为0的数域或函数域，f是次数大于1的K-有理函数，a是K的元素.设S是K的一个包含所有阿基米德数和素数的有限集，其中f有坏约化.在排除了所有自然反例之后，我们定义了一个整数对（m，n）的子集A（f，a），其中m是非负的，n是正的，并证明了对于A（f，a）中除了n个（m，n）之外的所有整数对（m，n），都存在K的一个不在S中的素数p，使得f^{m+n}（a）-f^m（a）的p-adic赋值精确等于1，而且a具有肖像（m，后一个条件意味着f^{u+v}（a）-f^u（a）的p-adic赋值不是正的，如果u是非负整数，v是正整数，且u<m或v<n。我们的证明假设Vojta的猜想在数域的情况下，是无条件的函数域的情况下，由于深定理Yamanoi。本文扩展了英格拉姆-西尔弗曼，费伯-格兰维尔和作者的早期工作。
2016-08-03 math.DS math.NT
Large Deviations and Effective Equidistribution
研究了动力系统状态空间上可测平均算子的大偏差。我们的主要动机是模曲线Y_0（p^n）上的Hecke算子及其对高阶S-算术算子的推广。我们证明了一个相对尖锐的大偏差的平均算子限制在L2中的常数函数的正交补的范数。在自伴的情况下，这个范数可以用谱隙来表示。发展Linnik和Ellenberg，Michel和Venkatesh的思想，我们利用这个大偏差结果证明了状态空间上一个有效的等分布定理.我们的结果的新颖性是，他们适用于次优的鲍文球的质量上的界限的措施。我们提出了两个新的应用程序，我们的有效等分布结果。第一个是关于非阿基米德空间中半单作用的S-算术代数上的极大熵测度的有效刚性。具有足够大的度量熵的测度也必须在状态空间上接近哈尔测度。这是鲁尔最近的一个结果的部分延伸，以一个更一般的设置。第二个问题是关于非阿基米德空间中的半单元具有大熵的测度序列的质量不逃逸。这推广了真实流的类似已知结果。我们的方法不同于鲁尔所使用的方法和以前已知的质量不逃逸的结果。
2015-11-11 math.DS math.NT math.PR
