Supercritical sharpness of percolation
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；University of Cambridge（剑桥大学）
研究证明超临界渗透中，原点属于大有限簇的概率随等周函数指数衰减。
2026-03-03 math.PR
Isoperimetry in supercritical bond percolation in dimensions three and higher
研究了超临界键逾渗的无限团簇$\textbf{C}_\infty$在$\mathbb{Z}^d$上的等周子图，其中包含了$d\geq 3$ .具体地说，我们考虑的子图的$\textbf{C}_\infty \cap [-n,n]^d$具有最小的开边边界体积比。我们证明了这些子图的形状定理，获得适当的重新缩放时，这些子图收敛几乎肯定的一个确定性形状的翻译。这个确定性的形状本身就是我们构造的范数的等周集。作为推论，我们得到尖锐的渐近自然修改的Cheeger常数$\textbf{C}_\infty \cap [-n,n]^d$。这解决了Benjamini对这里定义的Cheeger常数的猜想。
2017-10-27 math.PR
Concentration estimates for the isoperimetric constant of the super critical percolation cluster
我们考虑超临界键渗流巨组分在$\mathbb{Z}^d/n\mathbb{Z}^d$上的Cheeger常数$ϕ(n)$。我们发现，$ϕ(n)$的方差是有界的$\fracξ{n^d}$，其中$ξ$是一个正的常数，只依赖于尺寸$d$和渗流参数。
2011-11-08 math.PR
Isoperimetric Inequalities and Supercritical Percolation on High-dimensional Graphs
本文建立正则高维乘积图的渐近尖锐等周不等式，并据此刻画超临界渗流巨分支的扩张、直径、混合时间与长路径，显著改进超立方体已知界。
2024-01-22 math.CO math.PR
Large deviations for the isoperimetric constant in 2D percolation
本文研究二维超临界渗流巨分支等周常数的精细渐近行为，确定其大偏差概率，并揭示下尾区域中表面阶与体积阶之间的相变。
2023-09-26 math-ph math.MP math.PR
Supercritical long-range percolation on graphs of polynomial growth: the truncated one-arm exponent
Delft University of Technology（代尔夫特理工大学）
研究超临界远距离渗流在多项式增长图上的行为，推导有限簇半径和体积的边界，并给出无限分量等周维数的下界。
2026-01-12 math.PR
Mixing time for random walk on supercritical dynamical percolation
我们考虑$d$维离散环面上的动态渗流，边长为$n$，$\mathbb{Z}_n^d$，其中每个边以概率$p$以$μ=μ_n\le 1/2$的速率刷新其状态。我们研究了圆环上的随机游动，其中步行者沿着每个开边以速率$1/(2d)$移动。在两位作者的早期工作中，A. Stauffer，它表明，在亚临界情况下$p<p_c(\mathbb{Z}^d)$，（退火）的混合时间的步行是$Θ(n^2/μ)$，它被证明，在超临界情况下$p>p_c(\mathbb{Z}^d)$，混合时间是$Θ(n^2+1/μ)$ ;这里隐含的常数只取决于$d$和$p$。我们证明了淬火（因此退火）版本的这个猜想下的假设$θ(p)>1/2$的多对数因子。我们的证明是基于渗流结果（例如，的Grimmett-Marstrand定理）和体积偏置的演化集过程的分析，关键点是，通常情况下，演化集在许多时候与巨渗流集团有实质性的交集.这使我们能够使用精确的等周性质的集群（由于G。Pete）来推断演化集合的快速增长，这反过来又产生了混合时间的上界。
2017-07-24 math.PR
Isoperimetry in two-dimensional percolation
考虑正方形格子上超临界键渗流的唯一无限连通分支，研究了等周集的几何性质，即，对于给定的体积，具有最小边界的集合。对于几乎每一个实现的无限连通分量，我们证明，作为体积的等周集趋于无穷大，其渐近形状可以由一个等周问题在平面上的一个特定的规范。作为一个应用程序，我们然后表明，锚定的等周轮廓相对于一个给定的点，以及Cheeger常数的巨大组成部分在有限的盒子规模确定性的数量。这解决了Itai Benjamini对飞机的一个猜想。
2015-01-14 math-ph math.MP math.PR
Slightly supercritical percolation on nonamenable graphs II: Growth and isoperimetry of infinite clusters
在$L^2$有界性条件（$p_c<p_{2\to 2}$）下，研究了传递非顺从图上无限团簇在弱超临界Bernoulli键渗流中的生长和等周性.令人惊讶的是，我们发现，无限集群的体积增长总是纯粹的指数（即，增长的次指数修正是有界的）在政权$p_c<p<p_{2\to 2}$，即使当周围的图形有无限的修正指数增长。对于略大于$p_c$的$p$，我们建立了每个$v\in V$、$r \geq 0$和$p_c < p \leq p_c+δ$的精确估计值\begin{align*} \mathbf{E}_p \left[ \# B_\mathrm{int}(v,r) \right] &\asymp \left(r \wedge \frac{1}{p-p_c} \right)^{\phantom{2}} e^{γ_\mathrm{int}(p) r} \\ \mathbf{E}_p \left[ \# B_\mathrm{int}(v,r) \mid v \leftrightarrow \infty \right] &\asymp \left(r \wedge \frac{1}{p-p_c} \right)^2 e^{γ_\mathrm{int}(p) r} \end{align*}，其中增长率$γ_\mathrm{int}(p) = \lim \frac{1}{r} \log \mathbf…
2022-07-07 math.PR
A note on percolation on Z^d: isoperimetric profile via exponential cluster repulsion
我们证明了对于所有p>p_c（\Z^d）渗流参数，原点的簇是有限的但在距离无限簇1处至少有t个顶点的概率在t中是指数小的.我们用这个给一个简短的证明最强的版本的重要事实，即无限集群的等周轮廓基本上与原始晶格的轮廓相吻合。这意味着，例如，有限盒[-n，n]^d的最大簇上的简单随机游动具有L^ \infty -混合时间Θ（n^2），无限簇上的热核（返回概率）a.s.时间复杂度为O（n^{-d/2}）。Benjamini and Mossel（2003），Mathieu and Remy（2004），Barlow（2004）and Rau（2006）已经证明了这些结果。对于一般的无限图形，我们证明了锚定的等周属性生存超临界渗流，提供的概率是有限的大边界的起源集群迅速衰减，这是一个大类的图形时，$p$接近1的情况。作为应用（借助于熵不等式），我们给出了Angel，Benjamini，Berger和Peres（2006）的一个定理：\Z^3中楔形的无限渗流簇是a.s.当楔形本身是瞬态的时候，
2016-08-12 math.CO math.PR
Supercritical percolation on nonamenable graphs: Isoperimetry, analyticity, and exponential decay of the cluster size distribution
设$G$是一个连通的局部有限可迁图，考虑$G$上的Bernoulli键渗流.我们证明了如果$G$是不顺从的，$p > p_c(G)$，那么存在正的常数$c_p$，使得对于每个$n\geq 1$，$K$是起源的簇，\[\mathbf{P}_p(n \leq |K| < \infty) \leq e^{-c_p n}\]。我们推导出以下两个推论：1。在传递的非顺从图上，超临界渗流中的每一个无限簇几乎必然具有锚定扩张。这肯定地回答了Benjamini、Lyons和Schramm（1997）的一个问题。2.对于传递的非顺从图，包括渗透概率、截断磁化率和截断两点函数在内的各种观测量都是$p$在整个超临界相的解析函数。
2020-10-05 math-ph math.MP math.PR
Anchored expansion, percolation and speed
Benjamini，Lyons和Schramm [ Random Walks and Discrete位势论（1999）56-84]考虑了无限图G的性质以及其上的简单随机游动，这些性质被随机扰动所保持。在本文中，我们解决了这些作者提出的几个问题。锚定膨胀常数是Cheeger常数的变体;其正值意味着简单随机游动的正低速，如Virag [Geom. Funct. Anal. 10（2000）1588-1605]。我们证明，如果G有一个正的锚定膨胀常数，那么每个参数p足够接近1的独立渗流的无限簇也是如此;在附录中有一个更好的参数p的估计。我们还表明，锚定的膨胀常数的积极性下保持随机拉伸当且仅当拉伸法有一个指数的尾巴。然后，我们研究一个简单的随机游动在无限渗流集群凯莱图的某些顺从群体被称为"点灯群体。我们证明了对于任意的超临界渗流参数p，点灯群上的随机游动的零速度意味着无限簇上的随机游动的零速度。
2005-04-06 math.MG math.PR
Limit of the Wulff crystal when approaching criticality for isoperimetry in 2D percolation
本文研究三角格点超临界点渗流无穷团簇的等周集，通过调整已有证明方法，证明重标度等周集收敛于归一化Wulff晶体的平移，且趋近临界点时Wulff晶体趋近欧氏圆盘，解决了相关点渗流版本猜想。
2023-11-22 math.PR
Mixing time and isoperimetry of long-range percolation in the diffusive regime
Pontificia Universidad Catolica de Chile（智利天主教 Pontificia 大学）；Technische Universität München（慕尼黑工业大学）
该研究针对扩散 regime 下的长程渗流，证明超临界长程渗流巨连通分支上随机游走的混合时间量级为 n²，核心是通过巨连通分支内大连通集的 d 维等周不等式建立混合时间上界。
2026-10-09 math.PR
Quenched invariance principle for simple random walk on clusters in correlated percolation models
我们证明了在Z^d，d>=2的一般渗流模型的唯一无限渗流簇上的简单随机游动的猝灭不变原理，并在arXiv：1212.2885中引入了长程相关，解决了其中的一个公开问题.这给出了新的结果，随机交错在维度d>=3在每个级别，以及为空的随机交错集和水平集的高斯自由场在所谓的局部唯一性的制度（这被认为是符合整个超临界制度）。我们证明的一个重要组成部分是相关渗流模型的一个新的等周不等式。
2015-09-25 math.CO math.PR
Quenched invariance principles for the random conductance model on a random graph with degenerate ergodic weights
考虑一个平稳遍历的随机场$\{ω(e) : e \in E_d\}$，它由欧氏格$\mathbb{Z}^d$的边集参数化，即$d \geq 2$ .随机变量$ω(e)$取$[0, \infty)$中的值并满足一定的矩界，被认为是边缘$e$的电导。假设具有正电导的边的集合产生唯一的无限团簇$\mathcal{C}_{\infty}(ω)$，在对无限团簇的结构相对温和的条件下，证明了随机电导之间的连续时间随机游走的猝灭不变原理.我们证明的一个重要组成部分是一个新的锚定相对等周不等式。
2017-06-28 math.AP math.PR
Supercritical percolation on finite transitive graphs I: Uniqueness of the giant component
该研究针对有限顶点传递图的伯努利边渗流，证明稀疏图序列的超临界巨片以高概率唯一，验证了Benjamini的相关猜想，并给出稠密图超临界唯一性的充要等周条件。
2024-03-11 math-ph math.CO math.MP
From local giants to locality in long-range percolation
Delft University of Technology（代尔夫特理工大学）
研究在特定多项式增长传递图上长程渗流的Schramm局部性猜想类似物，通过构建重整化方案证明相关结果，包括渗流概率联合连续性、超临界锐度等，还得出大数定律，回答了特定问题。
2026-07-21 math.GR math.PR
