二次平均与反调和平均下高斯算术-几何型平均的最优界
Optimal bounds for a Gaussian Arithmetic-Geometric type mean by quadratic and contraharmonic means
摘要：
本文提出了最佳参数$α_i, β_i\ (i=1,2,3)$和$α_4,β_4\in(1/2,1)$，使得双重不等式\begin{align*} α_1Q(a,b)+(1-α_1)C(a,b)&<AG_{Q,C}(a,b)<β_1Q(a,b)+(1-β_1)C(a,b),\\ \qquad\ Q^{α_2}(a,b)C^{1-α_2}(a,b)&<AG_{Q,C}(a,b)<Q^{β_2}(a,b)C^{1-β_2}(a,b),\\ \frac{Q(a,b)C(a,b)}{α_3Q(a,b)+(1-α_3)C(a,b)}&<AG_{Q,C}(a,b)<\frac{Q(a,b)C(a,b)}{β_3Q(a,b)+(1-β_3)C(a,b)},\\ C\left(\sqrt{α_4a^2+(1-α_4)b^2},\sqrt{(1-α_4)a^2+α_4b^2}\right)&<AG_{Q,C}(a,b)<C\left(\sqrt{β_4a^2+(1-β_4)b^2},\sqrt{(1-β_4)a^2+β_4b^2}\right) \end{align*}对所有具有$a\neq b$的$a, b>0$成立，其中$Q(a,b)$，$C(a,b)$和$AG(a,b)$是二次，反调和和算术-几何平均数，而$AG_{Q,C}(a,b)=AG[Q(a,b),C(a,b)]$ .作为推论，我们给出了第一类完全椭圆积分的新的界。关键词：算术-几何平均，完全椭圆积分，二次平均，反调和平均
英文摘要：
In this paper, we present the best possible parameters $α_i, β_i\ (i=1,2,3)$ and $α_4,β_4\in(1/2,1)$ such that the double inequalities \begin{align*} α_1Q(a,b)+(1-α_1)C(a,b)&<AG_{Q,C}(a,b)<β_1Q(a,b)+(1-β_1)C(a,b),\\ \qquad\ Q^{α_2}(a,b)C^{1-α_2}(a,b)&<AG_{Q,C}(a,b)<Q^{β_2}(a,b)C^{1-β_2}(a,b),\\ \frac{Q(a,b)C(a,b)}{α_3Q(a,b)+(1-α_3)C(a,b)}&<AG_{Q,C}(a,b)<\frac{Q(a,b)C(a,b)}{β_3Q(a,b)+(1-β_3)C(a,b)},\\ C\left(\sqrt{α_4a^2+(1-α_4)b^2},\sqrt{(1-α_4)a^2+α_4b^2}\right)&<AG_{Q,C}(a,b)<C\left(\sqrt{β_4a^2+(1-β_4)b^2},\sqrt{(1-β_4)a^2+β_4b^2}\right) \end{align*} hold for all $a, b>0$ with $a\neq b$, where $Q(a,b)$, $C(a,b)$ and $AG(a,b)$ are the quadratic, contraharmonic and Arithmetic-Geometric means, and $AG_{Q,C}(a,b)=AG[Q(a,b),C(a,b)]$. As consequences, we present new bounds for the complete elliptic integral of the first kind. Keywords: Arithmetic-Geometric mean, Complete elliptic integral, Quadratic mean, Contraharmonic mean
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