Lax representations with non-removable parameter and exotic cohomology of symmetry algebras of PDEs
Oleg I. Morozov
本文发展了通过接触对称代数的非中心扩张构造偏微分方程Lax表示的技术。我们表明，该方法是适用于与不可移动的谱参数的Lax表示。
This paper develops the technique of constructing Lax representations for PDEs via non-central extensions of their contact symmetry algebras. We show that the method is applicable to the Lax representations with non-removable spectral parameters.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Lax representations with non-removable parameters and integrable hierarchies of PDEs via exotic cohomology of symmetry algebras. II
我们推导出新的Lax表示的超CR方程的Einstein-Weyl结构和相关的可积族。
Lax representations with non-removable parameters and integrable hierarchies of PDEs via exotic cohomology of symmetry algebras
本文发展了通过接触对称代数的非平凡奇异2-上循环生成的非中心扩张构造偏微分方程Lax表示的方法。我们表明，该方法是适用于与不可移动的谱参数的Lax表示。我们还证明了对称代数的自然扩张产生与其偏微分方程相关的可积族。
Coverings over Lax integrable equations and their nonlocal symmetries
利用带不可移参数的Lax表示，构造了三维rdDym方程$u_{ty} = u_xu_{xy} - u_yu_{xx}$的两族非局部守恒律，并描述了相应覆盖下的非局部对称代数.
Extensions of the symmetry algebra and Lax representations for the two-dimensional Euler equation
本研究通过对称代数的扭曲扩展和Lie--Rinehart代数，为二维欧拉方程构造了新的Lax表示族，该族依赖函数参数并含不可移除谱参数。
Integrability properties of some symmetry reductions
在我们最近的论文[H.巴兰岛克拉希尔希克，O.I. Morozov，P. Voj{á}k，Lax可积$3$ -维系统的对称约化和精确解，非线性数学物理杂志，第21卷，第4期（2014年12月），643--671; arXiv：1407.0246 [nlin.SI]，DOI：10.1080/14029251.2014.975532}]，给出了四个Lax-可积（即，拥有具有不可移除参数的零曲率表示）$3$维方程。在这里，我们研究的初始方程的可积性特征下的约化程序的行为。我们表明，ZCR被转换为所得二维系统的非线性微分覆盖，类似于[A. V. Odesskii，V. V. Sokolov，具有Lax表示的流体动力学类型的非均匀系统，arXiv：1206.5230，2006]中的Gibbons-Tsarev方程。利用这些覆盖，我们构造了（非局部）守恒律的无穷级数，并证明了它们的非平凡性。我们还表明，递归算子不保留下减少。
We present new recursion operators for (shadows of nonlocal) symmetries of the 4D Martínez Alonso-Shabat equation $u_{ty} = u_z u_{xy} - u_y u_{xz}$, and we show that their actions can produce new symmetries which are not contained in the Lie algebra of nonlocal symmetries presented in [I.S.Krasil'shchik, P.Vojčák, On the algebra of nonlocal symmetries for the 4D Martínez Alonso-Shabat equation. J. of Geom. and Phys. 163, (2021), 104122, (arXiv:2008.10281v1)]. To this end, we construct a non-Abelian covering of the equation in question using the Lax pair with two non-removable parameters.
We develop the method for constructing Lax representations of PDEs via the twisted extensions of their algebras of contact symmetries by generalizing the construction to the Lie--Rinehart algebras. We present examples of application of the proposed technique.
Deformations of infinite-dimensional Lie algebras, exotic cohomology, and integrable nonlinear partial differential equations
在可积系统理论中，寻找保证给定偏微分方程的Lax表示存在的条件是一个重要的未解决的问题。使用的异国情调的上同调的对称代数打开了一种方式来制定这样的条件下的研究偏微分方程的内部条款。在本文中，我们考虑了某些例子的无限维李代数与非平凡的第二奇异上同调群，并表明这些李代数的相关扩张的Maurer-Cartan形式产生的Lax表示的可积系统，无论是已知的和新的。
A Symbolic Algorithm for Computing Recursion Operators of Nonlinear PDEs
递归算子是将非线性偏微分方程的广义对称映射到新的对称的积分微分算子。因此，递归算子的存在保证了偏微分方程有无穷多个高阶对称，这是完全可积性的一个关键特征。完全可积的非线性偏微分方程具有双哈密顿结构和拉克斯对，它们也可以用逆散射变换求解，并允许任何阶的孤子解。给出了（1+1）维非线性偏微分方程多项式递归算子的一种直接符号计算方法。基于守恒密度和广义对称性，由待定系数的标度不变项的线性组合构造了一个候选递归算子。将候选递归算子代入其定义方程，求解待定系数的线性系统。该方法是算法，并在Mathematica中实现。生成的符号包PDERecursionOperator.m可用于测试多项式PDE的完全可积性，这些PDE可写成非线性演化方程。利用PDERecursionOperator.m，得到了数学物理和孤子理论中几个著名的非线性偏微分方程的递推算子.
Soliton surfaces associated with symmetries of ODEs written in Lax representation
本文的主要目的是讨论最近的结果的适应的Fokas-Gel'fand程序构造孤子表面的李代数，这是最初推导的偏微分方程[Grundland，后2011]，可积常微分方程的情况下，允许Lax表示。基于包含谱参数的共形对称性、波函数的规范变换和线性谱问题的广义对称性，给出了$\g$值浸入函数的显式表示.该程序适用于对称性减少的静态$ϕ^4$场方程导致的雅可比椭圆方程。作为例子，我们得到不同类型的表面的不同选择的雅可比椭圆函数的参数值的范围。
Infinite-dimensional prolongation Lie algebras and multicomponent Landau-Lifshitz systems associated with higher genus curves
Wahlquist-Estabrook延拓方法为某些偏微分方程构造了一个李代数，它负责某些类型的拉克斯对和Backlund变换。给出了（1+1）维发展偏微分方程的Wahlquist-Estabrook代数的一些一般性质，并计算了Golubchik和Sokolov的n-分量Landau-Lifshitz系统对任意$n\ge 3$的Wahlquist-Estabrook代数.我们证明了所得到的代数同构于亏格为$1+(n-3)2^{n-2}$的代数曲线上的2维交换李代数与某些矩阵值函数的无限维李代数L（n）的直和.这条曲线被Golubchik，Sokolov，Skrypnyk，Holod在拉克斯对的建设。此外，我们找到了代数L（n）在有限数量的生成元和关系方面的一个表示。这些结果有助于获得一个部分答案的问题的分类多组分Landau-Lifshitz系统的Backlund变换。进一步，我们构造了一族可积发展偏微分方程，它们通过上述曲线参数化的Miura型变换与n分量Landau-Lifshitz系统相联系.这些偏微分方程的一些解决方案的描述。
Laguerre Unitary Ensembles with Jump Discontinuities, PDEs and the Coupled Painlevé V System
本文研究带跳跃间断的拉盖尔权重生成的 Hankel 行列式，通过阶梯算子与 Riemann-Hilbert 方法，证明其对数导数满足推广的 Painlevé V 方程，并与耦合 Painlevé V 系统及广义 Painlevé III 方程建立联系。
Integrability via geometry: dispersionless differential equations in three and four dimensions
证明了一类二阶非退化双曲型偏微分方程（PDE）的带谱参数的无色散Lax对的存在性等价于在3D中任意解上的Einstein-Weyl正则共形结构和在4D中任意解上的自对偶正则共形结构.证明中的第一个主要成分是无色散Lax对的特性。第二个是Lax对关于谱参数的投影行为。两者都是建立在非退化确定系统的任何顺序的偏微分方程。因此，我们的主要结果更普遍地适用于任何这样的PDE系统，其特征品种是一个二次超曲面。
On Lie algebras responsible for zero-curvature representations and Backlund transformations of (1+1)-dimensional scalar evolution PDEs
零曲率表示是可积偏微分方程理论的主要工具之一。特别地，$(1+1)$维PDE的拉克斯对可以被解释为ZCR。在[arXiv：1303.3575]中，对于任何$(1+1)$维标量发展方程$E$，我们定义了一族李代数$F(E)$，它们在以下意义上负责$E$的所有ZCR。代数$F(E)$的表示将方程$E$的所有ZCR分类到局部规范变换。此外，使用这些代数，一个获得的必要条件存在的Backlund变换之间的两个给定的方程。代数$F(E)$在[arXiv：1303.3575]中根据生成元和关系定义。在该方法中，ZCR可以取决于任意阶的偏导数，其可以高于方程$E$的阶。代数$F(E)$推广了Wahlquist-Estabrook延拓代数，它负责一类小得多的ZCR。在本预印本中，我们证明了[arXiv：1303.3575]中宣布的关于$F(E)$的一些结果。我们目前的应用程序$F(E)$理论的Backlund变换更详细地描述了显式结构（非本质幂零理想）的代数$F(E)$的订单$3$和$5$的一些方程。
Lax pairs, recursion operators and bi-Hamiltonian representations of (3+1)-dimensional Hirota type equations
我们考虑（3+1）维二阶演化偏微分方程，其中未知的$u$只以二阶偏导数的形式进入.对于这样的方程，具有拉格朗日，我们表明，他们都有一个辛Monge-安培形式，并确定其拉格朗日。我们开发了一个演算的对称性条件转化为“斜因式分解”的形式，我们立即提取拉克斯对和对称性的递归关系，从而表明，所有这些方程是可积的传统意义上。我们将这些方程连同它们的拉格朗日量转换成两个分量的形式，并得到递归算子的$2\times 2$矩阵形式。我们利用狄拉克的约束理论将方程从拉格朗日形式转化为哈密顿形式。将递归算子与Hamilton算子组合，得到了系统的第二种Hamilton形式，从而证明了它们是Magri意义下可积的双Hamilton系统.利用这种方法，我们得到了五个新的（3+1）维双Hamilton多参数系统。
Coverings and fundamental algebras for partial differential equations
继I。S. Krasilshchik和A. M. Vinogradov，我们把偏微分方程作为具有对合分布的无穷维流形，并考虑它们的特殊态射称为微分覆盖，其中包括拉克斯对和Backlund变换等结构。我们表明，类似于通常的覆盖拓扑，至少对于某些偏微分方程的微分覆盖是由一种基本群的行动。这不是一个群，而是一个李代数系统，它推广了Wahlquist-Estabrook代数。由此，我们推导出一个代数必要条件，两个偏微分方程连接的一个Backlund变换。我们计算了几个KdV型方程的无限维李代数，并证明了Backlund变换的不存在性。作为一个副产品，我们证明了对某些类别的李代数g的任何子代数g的有限余维包含一个理想g的有限余维。
On Lie algebras responsible for integrability of (1+1)-dimensional scalar evolution PDEs
零曲率表示是可积偏微分方程理论的主要工具之一。特别地，（1+1）维偏微分方程的拉克斯对可以解释为ZCR。在[arXiv：1303.3575]中，对于任何（1+1）维标量发展方程$E$，我们定义了一族李代数$F(E)$，它们在以下意义上负责$E$的所有ZCR。代数$F(E)$的表示将方程$E$的所有ZCR分类到局部规范变换。在[arXiv：1804.04652]我们表明，使用这些代数，一个获得必要条件存在的贝克隆变换之间的两个给定的方程。代数$F(E)$用生成元和关系定义。本文利用代数$F(E)$，得到了（1+1）维标量发展偏微分方程可积性的一些必要条件，其中可积性是在孤子理论的意义下理解的.利用这些条件，我们证明了$5$阶的标量发展偏微分方程的不可积性。此外，我们证明了在[arXiv：1303.3575]中宣布的一个结果的结构上的代数$F(E)$的某些类的阶方程$3$，$5$，$7$，其中包括KdV，mKdV，Kaup-Kupershirt，Sawada-Kotera型方程。在本文和[arXiv：1804.04652]中考虑的方程的代数中，可以找到亏格为$1$和$0$的仿射代数曲线上的某些多项式矩阵值函数的无限维李代数。在该方法中，ZCR可以取决于任意阶的偏导数，其可以高于方程$E$的阶。代数$F(E)$推广了Wahlquist-Estabrook延拓代数，它负责一类小得多的ZCR…
Higher jet prolongation Lie algebras and Backlund transformations for (1+1)-dimensional PDEs
对于任意的（1+1）维（多分量）演化PDE，定义了一个李代数序列$F^p$，$p=0,1,2,3,...$，它们负责该PDE的所有拉克斯对和零曲率表示（ZCR）.在我们的结构中，允许任意顺序的射流。在低阶喷注情形下，代数$F^p$推广了Wahlquist-Estabrook延拓代数.为了实现这一点，我们找到一个规范形式的（非线性）ZCR相对于组的规范变换的行动。一个证明了任何ZCR都是局部规范等价于由代数$F^p$的矢量场表示产生的ZCR，其中$p$是ZCR的$x$ -部分中包含的喷注的阶。更准确地说，我们定义了一个李代数$F^p$为每个非负整数$p$和每个点$a$的无限延长$E$的发展PDE。所以代数的完整符号是$F^p(E,a)$。利用这些代数，人们得到了一个必要条件，两个给定的发展偏微分方程被连接的一个Backlund变换。本文计算了KdV型偏微分方程的代数$F^p(E,a)$.在另一篇文章中，G. Manno，我们计算了Golubchik和Sokolov的多组分Landau-Lifshitz系统的$F^p(E,a)$。在所得到的李代数中，人们遇到了某些矩阵值函数在某些代数曲线上的无限维代数。此外，在$F^p(E,a)$的描述中还出现了一些可解理想和半单李代数。应用分类KdV和Krichever-Novikov型方程的Backlund变换也简要讨论。
Lie algebras responsible for zero-curvature representations of scalar evolution equations
零曲率表示是可积偏微分方程理论的主要工具之一。特别地，（1+1）维偏微分方程的拉克斯对可以解释为ZCR。对于任意的（1+1）维标量发展方程$E$，我们定义了一族李代数$F(E)$，它们在以下意义下负责$E$的所有ZCR.代数$F(E)$的表示将方程$E$的所有ZCR分类到局部规范变换。为了实现这一点，我们找到一个正规形式的ZCR相对于当地的规范变换组的行动。正如我们在其他出版物中所示，使用这些代数，得到了一些必要条件的可积性所考虑的偏微分方程（其中可积性理解的意义上的孤子理论）和必要条件存在的贝克隆变换之间的两个给定的方程。证明不可积性的例子和应用，以获得不存在的结果贝克隆变换在其他出版物以及。在我们的方法中，ZCR可以取决于任意阶的偏导数，其可以高于方程$E$的阶。代数$F(E)$推广了Wahlquist-Estabrook延拓代数，它负责一类小得多的ZCR。本文描述了$F(E)$的一般性质，给出了这些代数的生成元和关系。在其他出版物中，我们研究的结构$F(E)$方程的KdV，Krichever-Novikov，Kaup-Kupershirt，泽田-Kotera类型。在所得到的代数中，人们发现某些矩阵值函数在有理和椭圆代数曲线上的无限维李代数。
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