Sharp threshold for $K_4$-percolation
University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）
本文确定了通过迭代补全缺边$K_4$副本从Erdős-Rényi图${\cal G}_{n,p}$得到完全图$K_n$的临界阈值$p_c$，改进了此前仅能将阈值界定在相差乘积常数范围内的相关工作。
2021-01-05 math.CO math.PR
A sharp threshold for a modified bootstrap percolation with recovery
自举逾渗（Bootstrap percolation）是一种图上的元胞自动机，作为一种简单的铁磁性动力学模型引入。图中的顶点可以处于两种状态之一：“健康”或“感染”，并且从状态的初始配置开始，健康顶点被局部规则感染。虽然通常的引导过程是单调的感染顶点的集合，在本文中，修改检查中，感染的顶点可以返回到一个健康的状态。顶点最初是随机独立感染的，中心问题是是否所有顶点最终都被感染。这里所研究的模型是一个正方形网格上的过程，其中至少有两个被感染的邻居的健康顶点被感染，而没有被感染的邻居的被感染顶点变得健康。尖锐的阈值给出了所有顶点最终被感染的初始感染的临界概率。
2015-05-29 math.CO math.PR
A Sharp Threshold for Bootstrap Percolation in a Random Hypergraph
给定一个超图$\mathcal{H}$，$\mathcal{H}$引导过程从$\mathcal{H}$的初始感染顶点集开始，并且在每一步中，如果存在$\mathcal{H}$的超边，其中$v$是唯一的健康顶点，则健康顶点$v$被感染。如果$\mathcal{H}$的每个顶点最终都被感染，则我们说最初被感染的顶点的集合被感染。当$\mathcal{H}$是一个从满足一定温和度和余度条件的近似$d$ -正则$r$ -一致超图中随机抽取超边得到的超图时，我们证明了这个过程具有一个尖锐的阈值，这证实了Morris的一个猜想.作为推论，我们得到了一个尖锐的阈值严格$2$ -平衡图的图引导过程的一个变种，推广Korándi，Peled和Sudakov的结果。我们的方法涉及应用的微分方程方法。
2020-10-07 math.CO math.PR
Transitive closure in a polluted environment
University of California, Davis（加州大学戴维斯分校）；University of Oxford（牛津大学）
本文受已有渗流研究启发提出污染环境下的新传递渗流模型，刻画了线性图初始设定下的三类占据相区，证明有界度连通图下的相变临界概率，最后给出相关猜想与开放问题。
2024-04-29 math.CO math.PR
Sharp metastability threshold for an anisotropic bootstrap percolation model
在过去的二十年中，自举渗流模型得到了广泛的研究。在这篇文章中，我们研究了以下的“各向异性”的自举渗流模型：一个点（m，n）的邻域是集合\[\{(m+2,n),(m+1,n),(m,n+1),(m-1,n),(m-2,n),(m,n-1)\}.\]在时间0，网站被占用的概率为p。在每个时间步，被占用的网站仍然被占用，而未被占用的网站成为被占用的当且仅当三个以上的网站在其邻域被占用。我们证明了它具有一个尖锐的亚稳阈值。这是各向异性自举逾渗模型的一个锐阈值的第一个数学证明。
2016-03-30 math-ph math.CO math.MP
The giant component after percolation of product graphs
在本文中，我们证明了存在一个尖锐的阈值的出现后，一个巨大的组件的笛卡儿积的图的最大程度和等周常数的假设下，渗透。特别是，这概括了工作Ajtai，Komlós和Szemerédi从1982年关于渗流的超立方体在高维。
2021-10-17 math.CO math.PR
Sharp Fuss-Catalan thresholds in graph bootstrap percolation
University of Warwick, Department of Statistics（华威大学统计系）；University of Oxford, Department of Mathematics（牛津大学数学系）；Hebrew University, Einstein Institute of Mathematics（希伯来大学爱因斯坦数学研究所）
本文研究了图bootstrap渗透中的精确Fuss-Catalan阈值，通过分析K_r-树见证图确定了r≥5时的临界阈值及边密度变化规律。
2025-12-10 math.CO math.PR
The sharp threshold for the Duarte model
Bollobás，Smith和Uzzell最近提出了二维临界自举渗流模型，本文作者确定了所有这类模型的临界渗流阈值，直到常数因子。在这里，我们开发和完善该文件中介绍的技术，以确定一个尖锐的杜阿尔特模型的阈值。这解决了Mountford在1995年提出的一个问题，也是第一个关于漂移模型的结果。
2016-10-10 math.CO math.PR
The sharp threshold for bootstrap percolation in all dimensions
在图G上的r-邻居自举渗流中，最初“感染”顶点的（通常是随机的）集合A通过感染（在每个时间步）至少r个已经感染的邻居的顶点来传播。这一过程可以看作是伊辛模型的Glauber动力学的单调版本，并且已经在d维网格$[n]^d$上得到了广泛的研究。集合A的元素通常是独立选择的，具有一定的密度p，主要问题是确定$p_c([n]^d,r)$，在这个密度下，渗透（感染整个顶点集）变得可能。本文证明了对于每一对$d \ge r \ge 2$，存在一个常数L（d，r）使得$p_c([n]^d,r) = [(L(d,r) + o(1)) / log_(r-1) (n)]^{d-r+1}$为$n \to \infty$，其中$log_r$表示r次重对数.因此，我们证明了存在一个尖锐的阈值渗透在任何（固定）数量的层面。此外，我们确定L（d，r）的每一对（d，r）。
2011-02-24 math-ph math.CO math.DS
Percolation on graphs of polynomial growth is local: analyticity, supercritical sharpness, isoperimetry
Sorbonne Université（索邦大学）；University of Bath（巴斯大学）
研究了多项式增长图上伯努利渗流的局部性，证明了超临界区域的解析性和锐度，以及最小割集连通性的新结果。
2026-03-01 math.CO math.GR math.PR
Site Percolation on Pseudo-Random Graphs
我们考虑伪随机$d-$正则图上的顶点渗流。第二作者先前的研究建立了从小组分到线性（在$\frac{n}{d}$中）尺寸组分的相变的存在，在$p=\frac{1}{d}$。在超临界状态下，我们的主要结果恢复了最大组分的大小的尖锐渐近，并表明所有其他组分通常要小得多。此外，我们考虑了最大分支的其他典型性质，如边数，长圈的存在性和膨胀。在亚临界区域，我们加强了可能组分尺寸的上界。
2022-11-29 math.CO math.PR
Bounds for the annealed return probability on large finite percolation clusters
给出了传递么模图上不变渗流有限簇上的延迟随机游动的期望返回概率的界。它们特别适合于临界伯努利渗流和相关的重尾簇大小分布的情况。上界依赖于这样一个事实，即有限图的笛卡儿积与一定的最小尺寸的循环是哈密尔顿。对于齐次树上的临界伯努利键渗流，这个界是尖锐的。在这种情况下，大时间t的期望收益概率的渐近类型是1/t的3/4次方。
2012-08-26 math.CO math.PR
Sharp asymptotic for the chemical distance in long-range percolation
我们考虑$\mathbb Z^d$和$\mathbb R^d$上的长程渗流的实例，其中距离$r$的点通过概率与$r^{-s}$成比例的边缘连接，对于$s\in (d,2d)$，并研究图论（a.k.a. $x$和$y$之间的化学）距离$D(x,y)$在极限为$|x-y|\to\infty$。对于$\mathbb Z^d$上的模型，我们证明，在概率为$|x|\to\infty$的情况下，距离$D(0,x)$在$(\log r)^Δ$的两个正倍数之间被挤压，其中$Δ:=1/\log_2(1/γ)$代表$γ:=s/(2d)$。对于$\mathbb R^d$的模型，我们表明，$D(0,xr)$是，在概率$r\to\infty$为任何非零$x\in\mathbb R^d$，渐近$ϕ(r)(\log r)^Δ$为$ϕ$一个积极的，连续的（确定性的）函数服从$ϕ(r^γ)=ϕ(r)$的所有$r>1$。渐近标度的证明是基于一个次加性的论点沿连续的双指数序列的尺度。这些结果大大加强了第一作者早先得出的结论。然而，重大的未决问题仍然存在。
2017-07-04 math-ph math.CO math.MP
The second term for two-neighbour bootstrap percolation in two dimensions
在图$G$上的$r$ -邻居引导过程中，如果顶点至少有$r$已经感染的邻居，则它们被感染（在每个时间步中）。由于它与统计物理模型的密切联系，例如铁磁性的伊辛模型和液体-玻璃转变的动力学约束自旋模型，最广泛研究的情况是二维网格$[n]^2$上的两个相邻的自举过程。大约15年前，在一次重大突破中，Holroyd确定了这个模型中渗流的临界值，随后Gravner和Holroyd以及Gravner，Holroyd和Morris进一步提高了他的边界。在本文中，我们加强了Gravner，Holroyd和Morris的下界，证明了在$[n]^2$上的两个邻居模型中渗流的临界概率$p_c\big( [n]^2,2 \big)$满足\[p_c\big( [n]^2,2 \big) = \frac{π^2}{18\log n} - \frac{Θ(1)}{(\log n)^{3/2}}\,.\]。这个结果的证明需要非常精确地理解临界液滴的典型生长，并涉及一些技术创新。我们希望这些有其他的应用，例如，更一般的二维细胞自动机的研究，并在更高的维度的$r$邻居过程。
2018-06-23 math.CO math.PR
First-passage percolation on Cartesian power graphs
我们考虑一类“高维”图上的首通渗流问题，这些图可以写成某个基图$G$的迭代笛卡儿积$G\square G \square \dots \square G$，因子数趋于无穷大。我们提出了一个自然的渐近下界之间的首次通过时间$(v, v, \dots, v)$和$(w, w, \dots, w)$的$n$，因子的数量，趋于无穷大，我们称之为临界时间$t^*_G(v, w)$。我们的主要结果刻画了当这个下界像$n\rightarrow\infty$一样尖锐时。作为推论，我们能够确定$\mathbb{Z}^n$中所谓的对角时间常数的极限为$n\rightarrow\infty$，用于一大类通过时间的分布。
2017-04-17 math.CO math.PR
Nucleation and growth in two dimensions
我们考虑图$G$上的一个动态过程，其中顶点被感染（随机）的速率取决于它们的邻居已经被感染的数量。该模型以自举渗流和首次通过渗流为极值点。我们给出了一个精确的描述这个过程的演变图$\mathbb{Z}^2$，显着锐化Dehghanpour和Schonmann的结果。特别是，我们确定了典型的感染时间，几乎所有的参数的自然值的一个常数的因素，并在很大的范围内，我们得到一个更强的，尖锐的阈值。
2018-05-17 math.CO math.PR
Higher order corrections for anisotropic bootstrap percolation
研究了具有$(1,2)$ -邻域和阈值$r = 3$的二维各向异性自举渗流模型的亚稳相变的临界几率.第一和第二作者最近确定了临界概率的一阶渐近性。在这里，我们确定了以下尖锐的二阶和三阶渐近：\[ p_c\big( [L]^2,\mathcal{N}_{(1,2)},3 \big) \; = \; \frac{(\log \log L)^2}{12\log L} \, - \, \frac{\log \log L \, \log \log \log L}{ 3\log L} + \frac{\left(\log \frac{9}{2} + 1 \pm o(1) \right)\log \log L}{6\log L}. \]我们注意到，二阶和三阶项是如此之大，以至于一阶渐近无法近似$p_c$，即使对于尺寸远远超过$10^{10^{1000}}$的晶格。
2017-10-09 math.CO math.PR
First passage percolation on random graphs with infinite variance degrees
我们证明了在具有独立同分布的组态模型上首次通过渗流的非普适性结果。具有无穷大方差的度。我们专注于两个一致的顶点之间的最优路径的权重。根据属性的权重分布，我们使用一个基于实例的方法，而不同的行为是可能的。当权重为a.s.大于常数时，图中的边的权重和数量与loglog（n）成比例地增长，与图距离一样。另一方面，当描述通过图的第一通道渗透探索的连续时间分支过程在有限时间内到达无穷多个顶点时，权重收敛于两个i.i.d.随机变量表示从两个源开始的过程的爆炸时间。这种非普适性与度序列具有有限方差的设置形成鲜明对比（参见Bhamidi，Hofstad and Hooghiemstra arXiv：1210.6839）。
2015-06-03 math.CO math.PR
Percolation on High-dimensional Product Graphs
本文研究基图正则且阶数有界的高维乘积图上的渗流，刻画次临界与超临界区域最大分支阶数，并证明其相变定量上类似于二项随机图。
2024-04-10 math.CO math.PR
Phase transitions and noise sensitivity on the Poisson space via stopping sets and decision trees
通过使用随机算法，通过OSSS不等式（由O 'Donnell，Saks，Schramm和Servedio（2005）证明）和定义在布尔超立方体上的函数的傅里叶-沃尔什系数的Schramm-Steif不等式，可以显着简化渗透中急剧相变和噪声敏感性的证明。在这篇文章中，我们证明了一般泊松过程的泛函的OSSS和Schramm-Steif不等式的内在版本，并应用这些新的估计推导出充分条件-表示的随机停止集-产生尖锐的相变，定量噪声敏感性，例外的时间和边界上的临界窗口单调布尔泊松函数。我们的分析是基于一个新的一般定义的“停止集”，不需要任何拓扑性质的基础可测空间，以及新的概念上的“连续时间决策树”，我们建立了几个基本属性。我们将我们的研究结果应用到$k$ -渗流的泊松布尔模型和基于泊松的五彩纸屑渗流与有界随机颗粒。在这两个模型中，我们减少了证明的急剧相变渗流，和交叉事件的噪声敏感性，适当的随机停止集的建设和单臂概率的计算。这使我们能够解决Ahlberg，Tessel和Texeira（2018）提出的关于平面Poisson布尔模型和平面Confetti渗流模型交叉事件的噪声敏感性的一些开放问题。进一步，我们还证明了在某些平面五彩纸屑渗流模型中，临界概率是$1/2$. Benjamini和Schramm（1998）证明了这一结果的一个特例，并由Müller（2017）证明。其他特殊情况由Hirs…
2022-09-21 math-ph math.CO math.MP
A modified bootstrap percolation on a random graph coupled with a lattice
本文介绍了一种随机图模型$G_{\mathbb{Z}^2_N,p_d}$，它是由$(\mathbb{Z}/N \mathbb{Z})^2$中的固定环面网格边和一些附加的随机网格边组合而成。随机边被称为长边，并且在环面网格上具有图距离$d$的顶点$u,v\in(\mathbb{Z}/N \mathbb{Z})^2$之间具有长边的概率是$p_d=c/Nd$，其中$c$是某个常数。我们证明了，{ \em whp}，直径$D(G_{\mathbb{Z}^2_N,p_d})=Θ(\log N)$。此外，我们考虑非单调的自举渗流$G_{\mathbb{Z}^2_N,p_d}$。我们证明了平均场近似相变的存在，并提供了相当尖锐的临界参数的误差界限。我们的模型解决了有趣的数学问题的非单调的自举渗流，它的动机是最近的大脑研究结果。
2018-12-14 math.CO math.PR
Complexity of 2D bootstrap percolation difficulty: Algorithm and NP-hardness
自举渗流是一类具有随机初态的细胞自动机。二维自举渗流模型有三个粗略的普遍性类，研究最多的是“关键”之一。对于这一类的规模的数量最大的利益-临界概率-是由Bollobás，杜米尼尔-科平，莫里斯和史密斯在一个简单定义的组合数量称为“困难”，所以这个问题似乎关闭找到更清晰的结果。然而，计算的难度，从来没有考虑过。在本文中，我们提供了第一个算法来确定这个数量，这是令人惊讶的，不那么容易的定义导致思考。该证明还提供了一些显式的上界，这些上界可用于引导渗透。另一方面，我们还证明了计算临界模型的难度是NP难的否定结果。这个二维图与巴利斯特、博略巴斯、莫里斯和史密斯即将得出的关于高维不可计算性的结果形成了对比。NP难的证明是通过对集合覆盖问题的技术简化来实现的。
2019-11-30 cs.CC cs.DM math.CO
