Eventual quasi-linearity of the Minkowski length
格多面体$P$的Minkowski长度是$P$的格直径的自然推广。它可以定义为最大数量的格段，其闵可夫斯基和包含在$P$。著名的Ehrhart定理指出，正整数中的格点的数目扩张格多面体$P$的$tP$，在$t\in\mathbb{N}$中表现为多项式。本文证明了对任意格多面体$P$，$t\in\mathbb{N}$的$tP$的Minkowski长度最终是一个具有线性分支的拟多项式.我们还给出了一个公式的闵可夫斯基长度的坐标盒，度一多面体，和扩张的单模单形。此外，我们还给出了格多边形的Minkowski长度的一个新的界，并证明了格三角形的Minkowski长度与其格直径一致。
2016-05-23 math.CO math.MG
Sums and Products of Regular Polytopes' Squared Chord Lengths
虽然以前的研究已经发现了几个关于弦长度的规则多面体的事实，这些调查都没有考虑是否这些事实定义的关系，可能推广到所有规则多面体的弦长度。因此，本文探讨了以往研究的四个发现--即，与内接于单位圆的正多边形的弦长平方的和与积有关的四个事实可以推广到所有正（$n$维）多面体（内接于单位$n$球）。我们证明了：（a）这四个事实中的一个事实实际上确实推广到了所有的正则多面体（维数为$n \geq 2$），（b）一个事实推广到了除了大多数单形之外的所有正则多面体，（c）一个事实只推广到了交叉多面体族，（d）一个事实只推广到了交叉多面体和24-胞腔。我们还发现了几个推论（由于互惠）和一些定理具体的三维规则多面体的道路上。
2019-03-16 math.MG
Dual-cyclic polytopes of convex planar polygons with fixed vertex angles
如果我们固定凸平面$n$ -gon的顶点处的角度，则其边的长度必须满足两个线性约束才能使其闭合。如果我们还要求单位周长，则我们的$n$边长向量形成一个维数为$n-3$的凸多胞体，其每个小平面由其中特定边长降为零的那些$n$ -多面体组成。Bavard和Ghys要求单位面积，这给了他们一个双曲多面体。这两个多面体在组合上是等价的，所以对于我们的目的来说，任何一个都可以。这样一个固定角度的多面体是组合丰富时，角度很好地平衡。我们说，固定外角是“多数优势”，当每个连续的字符串的一半以上，他们的总和超过$π$。当$n$是奇数时，我们证明了对于任意多数占优角的固定角多面体与循环多面体$C_{n-3}(n)$是对偶的。为了将该结果扩展到偶数$n$，我们要求角度也具有“偶极平局打破”：没有长度为$n/2$的$n$串的总和精确地等于$π$，并且总和大于$π$的$n/2$尽可能多地重叠，所有都包含特定的角度。然而，固定顶角并不常见;人们更常固定边长。这就比较困难了，部分原因是固定长度的$n$ -ε可能不是凸的，但主要是因为固定长度会非线性地约束角度--所以得到的模空间，称为“多边形空间”，是弯曲的。利用施瓦茨-克里斯托弗映射，卡波维奇和米尔森证明了，对于相同的固定值，其中$n$ -流形是凸的且逆时针遍历的多边形空间的子集与上面的固定角多面体同胚。因此，每个这样的子集是一个拓扑多面体;当固定长度占多数…
2020-02-19 math.CO math.GT math.MG
Eigenpolytopes, Spectral Polytopes and Edge-Transitivity
从一个有限单图$G$出发，对于它的邻接矩阵的每一个特征值$θ$，可以构造一个凸多胞体$P_G(θ)$，即所谓的$G$的$θ$ -特征多面体.对于某些多面体，这种技术可以用来从其边图重建多面体。这样的多面体（我们称之为谱多面体）至今仍不为人所知。我们给出了一个概述的文献特征多面体和谱多面体。我们引入了一个几何条件，证明了一个给定的多面体是谱（更确切地说，$θ_2$ -谱）。我们将这个准则应用于边传递多面体。我们证明了每一个边传递多面体都是$θ_2$ -谱的，并且唯一地由这个图决定，并且实现了它的所有对称性。我们给出了距离传递多面体的一个完整分类。
2020-09-04 math.MG
Deformations and second-order rigidity of polytopes
Technische Universität Braunschweig（不伦瑞克工业大学）；Max-Planck-Institute for Mathematics in the Sciences（马克斯·普朗克科学促进研究所数学系）；Tsinghua University（清华大学）
研究保持棱长和面共面性的多面体变形，开发二阶理论及算法测试二阶刚性，在多面体类上验证优势，发现特殊案例，还研究棱长扰动及与刚性的联系，并以正十二面体为例进行案例研究。
2026-07-13 math.AG math.CO math.MG
Hirsch polytopes with exponentially long combinatorial segments
在证明旗正规单纯复形的Hirsch界（Math.Oper.~ Res.~ Adiprasito和Benedetti定义了~ \emph{combinatorial segment}的概念。对这些对象的最大长度的研究给出了维数为~ $d$且顶点为~ $n$的任意正规纯单纯复形的直径的上界~ $O(n2^d)$，以及当复形是旗形时的Hirsch界$n-d$.本文通过引入纯单纯复形中对偶路的单调性和保守性的概念，提出了一种等价但更局部的组合段的形式.我们使用这个定义来研究组合段的进一步性质。除了恢复两个规定的界限，我们显示了一个精致的横幅复合物的界限，并研究了两个常见的操作，即加入和一点悬挂的组合段的最大长度的行为。最后，我们通过构建纯正规单纯复形，其中两个特定方面之间的所有组合段实现长度$Ω(n2^{d})$的组合段的限制。这包括顶点可分解的-因此是赫希-多面体。
2015-10-26 math.CO math.MG
Rigidity, Tensegrity and Reconstruction of Polytopes under Metric Constraints
本文猜想凸多面体可由边图、边长及顶点到内点距离唯一确定，并在中心对称、轻微扰动和组合等价三个特例中验证，同时探讨了张拉整体刚性与 Wachspress 坐标重构。
2024-01-08 math.CO math.MG
The Edge-transitive Polytopes that are not Vertex-transitive
在三维欧几里得空间中存在两个例外的多面体，菱形十二面体和菱形三十面体，这是已知的唯一边传递而不是顶点传递的多面体（除了多边形）。我们表明，这些多面体没有更高的维的类似物，即在尺寸$d\ge 4$，边传递的凸多胞体意味着顶点传递。更一般地，我们给出了所有凸多胞体的一个分类，这些凸多胞体同时具有相同长度的所有边，一个球内边和一个二分边图。我们证明了在维数$d\ge 4$上的任何这样的多面体都是点传递的。
2021-10-27 math.MG
A note on the extremal noncentral sections of the cross-polytope
我们发现最小和最大长度的交叉线在一个固定的距离与交叉多面体的原点。我们还发现最大体积的非中心部分的交叉polypote超平面是在一个固定的大距离的原点和最小体积部分的对称板的一个大的固定宽度。这与穆迪、斯通、扎克和兹瓦维奇关于立方体非中心部分的最新结果相似。
2019-10-15 math.MG
Upper bounds for edge-antipodal and subequilateral polytopes
有限维赋范空间中的多面体是次对边多面体，如果它的每条边的范数长度等于它的直径。亚侧多面体出现在两个不相关的主题的研究：表面能最小化锥和边对映多面体。我们证明了在任意d维赋范空间中，对于任意d >= 2，次侧多面体的顶点数上界为（d/2+1）^d。相同的上界，然后如下的顶点数的边对映多面体介绍了我塔拉塔（周期。数学。饥饿。38（1999），231- 246）。这是对A.Pór（即将出现）的结果的一个建设性的改进，即对于每一个维数d，边对映d-多面体的顶点数存在一个上界f（d）。我们还证明了在d维欧几里得空间中，唯一的次等边多面体是等边单形。
2006-01-26 math.MG
Platonic solids generate their four-dimensional analogues
在本文中，我们将展示如何定期凸4-多面体-类似物的柏拉图固体在四维-可以从三维的考虑，有关的柏拉图固体单独构建。通过Cartan-Dieudonne定理，柏拉图立体的反射对称产生旋转。在克利福德代数框架中，产生这种三维旋转的旋量空间具有自然的四维欧几里得结构。由此，由柏拉图立体产生的旋量又可以解释为四维空间中的顶点，从而给出了四维16胞、24胞、F_4根系和600胞多面体的简单构造。特别是，这些多面体有“神秘”的对称性，这几乎是微不足道的，当看到从三维spinorial的观点。事实上，所有这些诱导的多面体也都是已知的根系，因此生成秩为4的考克斯特群，这可以被证明是旋量构造的一般性质。因此，这些考虑也适用于其他的根系，如A_1+I_2（n），它诱导I_2（n）+I_2（n），从而解释了巨反棱柱和snub 24-胞腔的存在及其对称性。我们讨论这些结果在更广泛的数学背景下Arnol'd的三位一体和麦凯对应。因此，这些结果是一个新的三维和四维几何之间的联系，有趣的潜在应用双方的对应关系，真正的3D系统与多面体对称性，如（准）晶体和病毒，以及4D几何出现，例如在大统一理论和弦和M理论。
2013-07-25 hep-th math-ph math.GR
The Beauty of Random Polytopes Inscribed in the 2-sphere
考虑$\mathbb{R}^d$中单位球面上的随机点集，它可以是均匀采样的，也可以是泊松点过程。它的凸包是一个随机内接多面体，其边界近似于球面。我们专注于案件$d=3$，其中有初等证明和迷人的公式度量性质。特别是，我们研究了急性小平面的分数，预期的内在体积，总的边缘长度，和一个不动点的距离。最后将结果推广到具有同胚密度的椭球。
2020-07-15 math.MG math.PR
The infimum of the volumes of convex polytopes of any given facet areas is 0
我们证明了标题中提到的定理，对于${\mathbb{R}}^n$，其中$n \ge 3$。单形的情况以前是已知的。同样，$n=2$的情况也得到了解决，但在那里，下确界是边长的一些定义良好的函数。我们还考虑了球面和双曲$n$ -空间的情况。给出了具有给定刻面面积的凸多胞体存在的必要条件和（凸）四面体存在的充分条件的部分结果。
2014-10-21 math.DG math.MG
An analogue of a van der Waerden's theorem and its application to two-distance preserving mappings
范德瓦尔登定理表明，在欧几里得三维空间$\Bbb E^3$中，一个等边五边形的所有对角线长度都相同，它必然是平面的，并且它的顶点集与某个凸正五边形的顶点集重合。我们证明了这个定理的以下多维类似：对于$n\geqslant 2$，$\Bbb E^{2n-2}$中的每个$n$维交叉多面体，其所有对角线和所有边的长度都相同，必然位于$\Bbb E^n$中，因此是凸正则交叉多面体。我们还将我们的定理应用于研究欧几里得空间的保两距离映射。
2015-04-17 math.MG
Asymptotic Bounds on the Combinatorial Diameter of Random Polytopes
多面体$P$的组合直径$\operatorname{diam}(P)$是任意一对顶点之间的最大最短路径距离。在本文中，我们提供了一个随机的“球形”多面体，这是紧的一个因素的尺寸时，不等式的数量是大的尺寸相比，组合直径的上界和下界。更确切地说，对于由$n$ i.i.d.\半空间，其法线是从球均匀选择，我们证明了$\operatorname{diam}(P)$是$Ω(n m^{\frac{1}{n-1}})$和$O(n^2 m^{\frac{1}{n-1}} + n^5 4^n)$的高概率时，$m \geq 2^{Ω(n)}$。对于上界，我们首先证明，在任何固定的二维投影的顶点数急剧集中在其期望时，$m$是大的，我们依赖于$Θ(n^2 m^{\frac{1}{n-1}})$界的期望，由于Borgwardt [数学。结果：1999年]。为了获得直径上限，我们使用最坏情况的直径界限将这些“阴影路径”缝合在一起，以将顶点连接到最近的阴影。对于下界，我们首先减少到下界的对偶多面体$P^\circ$，对应于一个随机凸包的直径，通过显示关系$\operatorname{diam}(P) \geq (n-1)(\operatorname{diam}(P^\circ)-2)$。然后证明了$P^\circ$的任意“nearly”对映对顶点之间的最短路径的长度为$Ω(m^{\frac{1}{n-1}})$…
2021-12-24 cs.DM math.CO math.MG
