Green's formula with $\bbc^{*}$-action and Caldero-Keller's formula for cluster algebras
众所周知，有限域上的格林公式产生了Ringel-Hall代数和量子群的余乘法（参见\cite{Green}，也参见\cite{Lusztig}）。本文用几何方法推导了格林公式的射影形式。然后，根据Hubery在\cite{Hubery2005}中的方法，利用这个公式证明了任意类型的无圈簇代数的Caldero-Keller乘法公式.
2008-01-10 math.QA math.RT
Modified Ringel-Hall Algebras, Green's formula and Derived Hall Algebras
本文从有界$\mathbb{Z}$ -分次复形范畴$C^b(\mathcal{A})$中定义了遗传交换阿贝尔范畴$\ca$的修正Ringel-Hall代数$\cm\ch(\ca)$.已经获得了两个主要结果。一是利用修正的Ringel-Hall代数的结合乘法给出了关于Ringel-Hall数的Green公式的一个新的证明。二是证明了在一定的扭曲情形下，导出的Hall代数可以嵌入到修正的Ringel-Hall代数中.作为第二个结果的推论，我们得到在某些扭曲情形下，修正的Ringel-Hall代数同构于导出的Hall代数的张量代数和无圈复形的环面，从而修正的Ringel-Hall代数在导出等价下是不变的.
2018-04-23 math.RT
Ringel-Hall algebras beyond their quantum groups I: Restriction functor and Green's formula
本文将Lusztig（\cite{Lusztig,Lusztig2}）引入的量子群及其标准基的代数结构推广到整个Ringel-Hall代数的一般形式.阐明了\cite{Green}中的格林公式与\cite{Lusztig2}中的限制函子之间的显式关系。通过对Green公式的几何证明，证明了Ringel-Hall代数的Hopf结构可以在Lusztig的框架下进行分类.
2017-11-23 math.QA math.RT
The iterated geometric Green's formula
Tsinghua University（清华大学）；Beijing Normal University（北京师范大学）
将几何格林公式推广到多步复合，建立了(n-1)重限制与诱导及其对偶的迭代几何格林公式。
2026-06-17 math.RA math.RT
The Parity of Lusztig's Restriction Functor and Green's Formula
本文的研究基于三个重要结果。(1)在[12]中，Ringel引入了有限域上一个代数的表示的Hall代数，并证明了对应于简单表示的元素满足量子Serre关系。这就给出了量子群的幂零部分的一个实现，如果量子群是有限型的。(2)在[4]中，Green找到了Ringel Hall代数的表示范畴的同调公式，并给Ringel Hall代数配备了一个余乘。由简单表示生成的Hall代数的合成子代数的一般形式实现了任何类型的量子群的幂零部分。(3)在文献[9]中，Lusztig定义了旗簇上的常数层的直接象中出现的表示簇上的反常层的归纳函子和限制函子，并在他的归纳函子和限制函子之间找到了一个公式，该公式给出了量子群的代数同态的余乘。本文证明了这个公式对所有具有Weil结构的半单复形都成立。这就建立了格林公式的分类。
2022-12-23 math.QA math.RA math.RT
A Gordon--Green-type result for Gorenstein-projective modules
针对Z-分次Iwanaga-Gorenstein Artin代数，证明其CM有限性等价于可分次Gorenstein投射模范畴有限型或不可分解该类模长度有界，且CM有限时所有Gorenstein投射模均可分次，为Gordon-Green定理提供了Gorenstein投射类比。
2026-10-14 math.RA math.RT
Picture groups and green sequences from the perspective of Ringel--Hall algebras
Aarhus University（奥胡斯大学）
该研究从Ringel–Hall代数视角，为有限维结合k-代数Λ构造忠实群函子，证明其Picture空间局部CAT(0)的条件，还将Green序列与Picture群正表达式的一一对应结果推广到非遗传k-代数。
2026-09-01 math.AG math.RT
Degenerate versions of Green's theorem for Hall modules
格林定理指出，有限域上的一个代数的表示范畴的霍尔代数是一个扭曲双代数。考虑正交或辛代数表示的范畴会导致霍尔代数上的一类模，称为霍尔模，它们也是余模。格林定理的模理论模拟，描述了模和余模结构的兼容性，是未知的。本文证明了格林定理在$\mathsf{Rep}_{\mathbb{F}_1}(Q)$的有限Hall模和$\mathsf{Rep}_{\mathbb{C}}(Q)$的可构造Hall模的退化情形下的模论类似.其结果是，模块和comomosit结构满足的兼容性条件让人想起一个Yetter-Drinfeld模块。
2018-11-15 math.CT math.QA math.RT
The Green polynomials via vertex operators
利用Hall-Littlewood函数的顶点算子实现给出了格林多项式的一个迭代公式。在此基础上，（1）给出了格林多项式的一般组合公式，（2）给出了与长度$\leq 3$和对角长度$\leq 3$的上分拆有关的格林多项式的几个紧公式，（3）得到了格林多项式的一个Murnaghan-Nakayama型公式，（4）给出了格林多项式的一个新的组合公式。（4）给出了有限一般线性群$G$和$A$型Iwahori-Hecke代数在$G$的置换模上通过其博雷尔子群的位族的迭代公式。
2022-01-04 math.CO math.QA math.RT
Green Rings of Finite Dimensional Pointed Rank One Hopf algebras of Nilpotent Type
设$H$是有限维点秩1的幂零型霍普夫代数.首先确定了有限维不可分解$H$ -模的同构，然后利用几乎可裂序列建立了不可分解$H$ -模张量积分解的Clebsch-Gordan公式. $H$的绿环$r(H)$将以生成元和关系的形式给出。证明了Green环$r(H)$是可交换的，并且是由$H$模1关系的Grothendieck环$G_0(H)$上的一个变量生成的.此外，$r(H)$是Frobenius的，并且与几乎可裂序列的对偶基对称，它的Jacobson根是一个主理想.最后，我们证明了稳定格林环（稳定模范畴的格林环）同构于$r(H)$模平凡模的投射覆盖生成的主理想的商环。证明了复化稳定格林代数是类群代数，因此是双弗罗贝纽斯代数。
2013-09-09 math.RA math.RT
Maximal green sequences for preprojective algebras
引入极大格林序列作为带势2-无圈箭图的Donaldson-Thomas不变量的组合对应。凯勒我们把范畴的概念，并介绍了最大的绿色序列的心脏有界的T-结构的三角范畴，可以无限倾斜。我们研究的情况下，心脏是模的范畴上的预投射代数的一个没有循环的环。Dynkin箭图的极大Green序列的组合对应是基本支撑τ-倾斜模的Hasse图中的极大链。我们证明了一个矩阵有一个极大绿序列当且仅当它是Dynkin型的。更一般地，我们研究了有限维砖代数的模范畴.
2015-05-26 hep-th math.RT
Auslander's defect formula and a commutative triangle in an exact category
证明了Auslander在一个正合范畴中的亏损公式，得到了一个包含Auslander双射和广义Auslander-Reiten对偶的交换三角形。
2020-03-23 math.RT
The Green ring of a restricted enveloping algebra in characteristic 2
CIEM-CONICET（数学与计算研究所-阿根廷国家科学研究委员会）；Vrije Universiteit Brussel（布鲁塞尔自由大学）
针对特征2代数闭域上$\mathfrak{fsl}(2)$极小2-包络对应的限制包络代数$\mathfrak{u}(\mathfrak{m})$，本文计算其Green环并确定其表示范畴的半单化。
2025-11-17 math.QA math.RT
Green Rings of Pointed Rank One Hopf algebras of Non-nilpotent Type
本文继续研究了\cite{WLZ}中提出的有限维秩为1的点霍普夫代数的Green环，但主要研究非幂零型的霍普夫代数.设$H$是有限维点秩1的非幂零型霍普夫代数.我们首先确定了所有非同构不可分解的$H$ -模，并描述了它们的Clebsch-Gordan公式.研究了$H$的Green环$r(H)$和Grothendieck环$G_0(H)$的结构，建立了两个环之间的精确关系.利用$H$的Cartan映射研究了$r(H)$的Jacobson根和幂等元.证明了$r(H)$的Jacobson根恰好是$r(H)$的主理想Cartan映射的核，并且$r(H)$没有非平凡幂等元.此外，我们还证明了$H$的稳定Green环是一个传递的融合环.这使我们能够计算Frobenius-Perron维数的稳定类别的$H$的对象。最后，作为一个例子，我们给出了Radford霍普夫代数的Green环和Grothendieck环.
2014-09-02 math.QA math.RT
From Green's formula to Derived Hall algebras
本文证明在有限遗传阿贝尔范畴上，格林公式与导出Hall代数乘法结合性互为等价，从而澄清了二者的内在关系。
2024-11-19 math.RT
The Category $\mathcal{O}$ for Lie algebras of vector fields (I): Tilting modules and character formulas
利用Soergel在\cite{Soe}中发展的具有半无限特征的分次模范畴理论，研究了向量场$W(n), S(n)$和$H(n)$ $(n\geq 2)$的无限维李代数的表示，得到了不可分解倾斜模的刻划.确定了这些倾斜模的特征公式。
2019-07-28 math.RT
Character formulae in category $\mathcal O$ for exceptional Lie superalgebra $G(3)$
对例外李超代数$G(3)$的块进行分类，计算BGG范畴$\mathcal O$中倾斜模和投射模的Verma标志.对$\mathcal O$中的投射内射模进行了分类.我们还计算了$\mathcal O$中韦尔马模的Jordan-Hölder重数。
2018-04-19 math.RT
Geometrization of the two orthogonality formulas for Green functions
本文针对Green函数的两个正交关系，给出其几何化理解，从几何角度证明二者等价，丰富了有限李型群相关Green函数理论的几何内涵。
2023-12-14 math.RT
Deriving Auslander's formula
Auslander的公式表明，任何阿贝尔范畴C等价于C上的凝聚函子范畴模所有可擦函子的Serre子范畴。我们建立了一个衍生版本的这种等价。这等于表明，某个适当的Grothendieck阿贝尔范畴（C的ind-objects范畴）的内射对象的同伦范畴是紧生成的，并且紧对象的满子范畴等价于C的有界导出范畴。同样的方法表明，对于任意的Grothendieck阿贝尔范畴，它的导出范畴和内射对象的同伦范畴是良生成的三角范畴。对于足够大的大基数α，我们确定他们的α紧对象和比较。
2015-06-13 math.CT math.RT
Weyl-Kac character formula for affine Lie algebra in Deligne's category
研究Deligne范畴中仿射李代数的抛物BGG范畴中单模的性质。更具体地说，我们利用Weyl-Kac公式的极限计算了水平$k$的抛物Verma模$M(X,k)$的不可约商$L(X,k)$的特征标，其中$X$是Deligne范畴$\underline{\mathrm{Rep}}(GL_t)$，$\underline{\mathrm{Rep}}(O_t)$，或$\underline{\mathrm{Rep}}(Sp_t)$的不可分解对象，条件是$X$的最高权加上水平给出一个基本权，$t$是超越的，并且基本字段$\Bbbk$具有特征$0$。我们比较我们的结果Etingof的部分结果，并评估的字符的范畴维数得到的Nekrasov-Okounkov钩长公式的范畴解释。
2019-06-07 math.RT
A Character Formula for the Category Õ
对于任何整数上的函数，可以构造仿射sl（2）的零级不可约模，使用函数的值作为结构常数。用指数-多项式函数构造的模实现了Chari范畴中具有有限维权空间的不可约模。在这项工作中，这样一个模块的形式字符的表达式推导出使用最高权理论的截断循环代数。
2008-07-14 math.RT
Character formulae in category $\mathcal O$ for exceptional Lie superalgebras $D(2|1;ζ)$
建立了单李超代数$D(2|1;ζ)$的单参数表示族的特征公式。对任意复参数$ζ$，我们给出了整权$D(2|1;ζ)$ -模的BGG范畴$\mathcal O$中倾斜模和投射模的Verma旗重数的完整描述.然后得到了$\mathcal O$中所有韦尔马模的合成因子。
2018-03-16 math.RT
From green mutation to $\mathrm{X}$-evolution: flows and foliations on cluster complexes
本文在 2-Calabi-Yau 范畴的簇复形上引入 X-演化流，证明其导出具有两个奇点的分段线性一维叶状结构，是簇交换图绿色突变的连续推广，并据此证明了 Dynkin 和 Euclidean 情形下复形的拓扑性质及基本群生成元。
2025-07-15 math.RT
The Ring of Polynomial Functors of Prime Degree
设$\hat\Z_p$是$p$ -adic整数环.本文证明了一类多项式函子，它是从自由自由阿尔贝群到次数至多为$p$的$\hat \Z_p$ -模的，等价于一类格林阶环上的有限生成模.尤里·德罗兹德证实了这一点。
2013-08-15 math.AT math.GR math.RT
Stable equivalences of Morita type for $Φ$-Beilinson-Green algebras
本文给出了一种构造新的Morita型稳定等价的方法。设有限维代数$A$与$B$之间的Morita型稳定等价由$B$ - $A$ -双模$N$定义.然后，对任意有限容许自然数集$Φ$和$A$ -模范畴的生成元$X$，$Φ$-Beilinson-Green代数$\scr G^Φ_A(X)$和$\scr G^Φ_B(N\otimes_AX)$是Morita型稳定等价的.特别地，如果是$Φ=\{0\}$，我们得到了文献中的一个已知结果.作为另一个结果，我们构造了一个无限族的导出等价代数相同的维数和相同的优势维数，使他们是成对的不稳定等价的森田型。最后，证明了如果分次代数之间存在Morita型的分次稳定等价，那么与分次代数相关联的Beilinson-Green代数之间也可以得到Morita型的稳定等价
2019-08-12 math.RT
C-sortable words as green mutation sequences
设$Q$是一个非循环序列，$\mathbf{s}$是一个顶点集$Q_0$中元素的序列.我们描述了一个诱导序列的简单（向后）倾斜的有界衍生类别$\mathcal{D}(Q)$，从标准的心脏$\mathcal{H}_Q=\operatorname{mod}\mathbf{k}Q$和结束在另一个心脏$\mathcal{H}_\mathbf{s}$在$\mathcal{D}(Q)$。然后，我们表明，$\mathbf{s}$是一个绿色的突变序列，当且仅当每个心脏在这个简单的倾斜序列是大于或等于$\mathcal{H}_Q[-1]$ ;它是最大的当且仅当$\mathcal{H}_\mathbf{s}=\mathcal{H}_Q[-1]$。这为理解绿色突变提供了一种明确的方法。此外，将Coxeter元素$c$固定在$Q$的Coxeter群$W_Q$中，其相对于$Q$的取向是可容许的。我们证明了由$c$ -可排序字$\mathbf{w}$诱导的序列$\widetilde{\mathbf{w}}$是一个绿色突变序列。作为结果，我们得到了一个双射之间的$c$可排序的字和有限扭转类$\mathcal{H}_Q$。作为副产品，根据绿色突变的组合学给出了$c$可排序词$\mathbf{w}$的倒置、下降和覆盖反射的解释。
2015-05-26 math.CO math.RT
