Auslander's defect formula and a commutative triangle in an exact category
Pengjie Jiao
证明了Auslander在一个正合范畴中的亏损公式，得到了一个包含Auslander双射和广义Auslander-Reiten对偶的交换三角形。
We prove Auslander's defect formula in an exact category, and obtain a commutative triangle involving the Auslander bijections and the generalized Auslander-Reiten duality.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Auslander-Reiten Triangles in Homotopy Categories
设$A$是Artin代数.我们证明了R生成右$A$ -模的有界同伦范畴具有Auslander-Reiten三角形.给出了两个应用：（1）给出了Happel在[H 2]中的一个定理的另一种证明：（2）证明了在Gorenstein代数上，有界生成的Gorenstein投射的有界同伦范畴（分别为.内射）模允许Auslander-Reiten三角形，改进了[G]中的一个主要结果.
Shapes of Auslander-Reiten Triangles
我们的主要定理分类Auslander-Reiten三角形根据性质的态射。因此，我们能够计算一个不可约态射的映射锥。最后，我们展示了一种技术，用于构建任何倾斜代数的导出范畴的连接分量。特别地，我们得到了一个构造任意有限表示型倾斜代数的导出范畴的技巧。
On irreducible morphisms and Auslander-Reiten triangles in the stable category of modules over repetitive algebras
设$\mathbf{k}$是代数闭域，$Λ$是有限维$\mathbf{k}$ -代数，$\widehatΛ$是$Λ$的重复代数.对于稳定范畴$\widehatΛ$ -模$\widehatΛ$ - \underline{mod}，我们证明了不可约态射有三种标准形式：（i）所有的分量态射都是分裂单态;（ii）所有的分量态射都是分裂满态;（iii）仅有一个不可约分量.接下来我们用这个事实来描述$\widehatΛ$ - \underline{mod}中Auslander-Reiten三角形的形状。利用并证明了$\widehatΛ$ - \underline{mod}中的每个Auslander-Reiten三角形都是由一个Auslander-Reiten生成的左$\widehatΛ$ -模序列导出的.
Auslander-Reiten triangles in subcategories
本文在三角范畴的子范畴中引入了Auslander-Reiten三角形。本文的主要定理表明，有一个密切的联系，覆盖和信封，也被称为最小的右和左近似。也就是说，在适当的假设下，如果M是三角范畴T的子范畴C中的对象，并且X -> Y --> M -->是T中的Auslander-Reiten三角形，则存在C中的Auslander-Reiten三角形K -> L --> M -->当且仅当存在形式为K -> X的C-覆盖。利用该定理给出了有限维代数上Auslander-Reiten序列存在性的一个新证明。
Auslander-Reiten triangles and quivers over topological spaces
本文将Auslander-Reiten三角形引入代数拓扑，证明了它的存在性刻画了Poincare对偶空间。还介绍了箭图形式的不变量，并计算了球面上的Auslander-Reiten三角形和箭图。d维球面上的矩阵由d-1个分量组成，每个分量同构于ZA_{\infty}。因此，颤动是足够敏感的不变量，可以区分不同维度的球体。
Serre duality, Mukai pairing and universal Auslander--Reiten triangle
本文研究了光滑正则dg代数中Serre双曲性与Mukai配对的关系，并构造了通用Auslander-Reiten三角形，提供了函数构造方法。
Auslander-Reiten triangles and Grothendieck groups of triangulated categories
我们证明了如果Auslander-Reiten三角形生成了一个具有（余）生成元的Hom-有限Krull-Schmidt三角范畴的Grothendieck群的关系，则该范畴在平移之前只有200多个不可分解对象的同构类.这给出了一个三角逆巴特勒和Auslander-Reiten定理的关系Grothendieck群。我们的方法在Frobenius范畴的背景下有应用。
The Auslander-Reiten quiver of a Poincare duality space
在以前的论文中，数学。AT/0304079，Auslander-Reiten三角形和箭图被引入代数拓扑。本文证明了在Poincare对偶空间上，Auslander-Reiten图的每个分支同构于ZA_{\infty} .
An approach to Martsinkovsky's invariant via Auslander's approximation theory
本文利用Auslander逼近理论构造收敛于Martsinkovsky $ξ$-不变量的非降整数序列，并给出计算方法。
Auslander-Reiten $(d+2)$-angles in subcategories and a $(d+2)$-angulated generalisation of a theorem by Brüning
设$Φ$是一个代数闭域$k$上的有限维代数，且对某个固定的正整数$d$，设gldim $\,Φ\leq d$.对于$d=1$，Brüning证明了在交换范畴mod $\,Φ$的宽子范畴和三角范畴$\mathcal{D}^b(\text{mod}Φ)$的宽子范畴之间存在双射。此外，对于一个合适的三角范畴$\mathcal{M}$，Jørgensen在$\mathcal{M}$的扩张闭子范畴中给出了Auslander-Reiten三角形的刻画.在本文中，我们概括了这些结果$d$阿贝尔和$(d+2)$角类，其中内核和cokernels取代复合物的$d+1$对象和三角形取代复合物的$d+2$对象。分类如下：如果$\mathcal{F}\subseteq \text{mod} Φ$是$d$ -簇倾斜子分类，考虑$\overline{\mathcal{F}}:=\text{add} \{Σ^{id}\mathcal{F}\mid i\in\mathbb{Z} \}\subseteq \mathcal{D}^b(\text{mod}Φ)$ .然后$\mathcal{F}$是$d$ -阿贝尔的，并且扮演一个更高模的$\,Φ$的角色，对于更高的导出范畴，$(d+2)$ -有角范畴$\overline{\mathcal{F}}$。
Bilinear forms on Grothendieck groups of triangulated categories
本文将Benson和Parker关于有限群的Green环上的双线性型理论推广到具有Auslander-Reiten三角形的三角范畴的Grothendieck群的情形，只取由直和分解给出的关系.我们研究了由同态的维数给出的双线性型的非退化性，并证明了该形式可以被修改为厄米特形式，使得由不可分解对象给出的标准基具有由Auslander-Reiten三角形给出的对偶基.给出了对称代数上完全复形的同伦范畴的一个应用，其结果类似于Erdmann和Kerner的一个结果.
Ideal mutations in triangulated categories and generalized Auslander-Reiten theory
本文在三角范畴中引入理想变异概念，推广Iyama-Yoshino变异与Jorgensen定理，并给出基于Jacobson根判定Auslander-Reiten三角存在的充要条件，从而推广经典Auslander-Reiten理论。
A Caldero-Chapoton formula for generalized Cluster Categories
对于Dynkin型遗传代数，Caldero-Chapoton公式将Auslander-Reiten序列的尾项的簇特征标与中间项的簇特征标联系起来。通过考虑Auslander-Reiten三角形，我们将这一结果推广到了具有簇倾斜对象的广义簇范畴.
Grothendieck groups and Auslander-Reiten (d+2)-angles
Xiao和Zhu证明了，如果$\cal C$是局部有限的三角范畴，那么Auslander-Reiten三角形生成了$\cal C$的Grothendieck群的关系. $(d +2)$ -角度范畴的概念是三角范畴的“高维”类比。在这篇文章中，我们证明了如果一个$(d+2)$ -角范畴$\cal C$是局部有限的当且仅当Auslander-Reiten $(d+2)$ -角生成$\cal C$的Grothendieck群的关系.这推广了肖和朱的结果，并给出了肖和朱的结果的逆也成立。
From CM-finite to CM-free
该文致力于研究两个问题.一方面，我们证明了[SWSW]和[Huang]中Gorenstein范畴稳定性的一个轻微推广;并且证明了CM-有限代数的相对Auslander代数是CM-自由的。另一方面，我们通过Gorenstein-投射对象描述了有界导出范畴和[BJO]中引入的Gorenstein亏损范畴，并证明了CM-有限代数的Gorenstein亏损范畴与其相关的Auslander代数的奇点范畴是三角等价的.
An Auslander-Buchsbaum formula for higher Auslander algebras and applications
本文建立高阶 Auslander 代数的非交换 Auslander–Buchsbaum 公式，据此证明倾斜 Auslander 代数与整体维数不超过2的 QF-1 代数等同，并给出分类及向更高同调维数的推广。
Higher Auslander correspondence for dualizing $R$-varieties
设$R$是交换Artin环.本文将有限表示型的Artin $R$ -代数的高阶Auslander对应推广到对偶$R$ -簇.更精确地说，对于正整数$d$，我们证明了一个对偶$R$ -簇是$d$ -阿贝尔的当且仅当它是一个$d$ -Auslander对偶$R$ -簇当且仅当它等价于一个对偶$R$ -簇上的可表示模范畴的一个$d$ -簇倾斜子范畴.
Grothendieck groups in extriangulated categories
本文的目的是讨论外三角范畴的Grothendieck群与某些其它子群的关系子群。证明了局部有限外三角范畴$\C$具有Auslander-Reiten $\E-$三角形，并且Grothendieck群$K_{0}(\C)$的关系由Auslander-Reiten $\E-$三角形生成.当限制于具有簇倾斜子范畴的三角范畴时，给出了一个部分逆结果：在具有簇倾斜子范畴的三角范畴$\C$中，Grothendieck群$K_0(\C)$的关系由Auslander-Reiten三角形生成当且仅当三角范畴$\C$是局部有限的.它还表明，有一个一对一的对应关系的$K_{0}(\C)$的子组包含的图像的$\mathcal G$和密集的$\mathcal G-$（共）解决的$\C$的子类别，其中$\mathcal G$是一个生成元的$\C,$推广的结果有关分类的子类别的三角形\cite{t}或一个确切的类别$\C$ \cite{m}由$K_{0}(\C)$的子组。
Consequences of the existence of Auslander-Reiten triangles with applications to perfect complexes for self-injective algebras
本文利用 Auslander-Reiten 三角与 Grothendieck 群上的双线性型刻画自内射代数完美复形在 AR 箭图中的位置，揭示同调分布规律，并在对称代数情形获得 Hermite 型计算方法。
Combinatorial Restrictions on the Tree Class of the Auslander-Reiten Quiver of a Triangulated Category
我们证明了如果一个连通的、Hom-finite的Krull-Schmidt三角范畴有一个带有Dynkin树类的Auslander-Reiten三角形分量，那么这个范畴有Auslander-Reiten三角形，并且这个分量是整个三角形.这是一个类似的三角范畴的一个定理Auslander，并扩大了以前的结果Scherotzke。我们还表明，如果有一个扩展Dynkin树类的分支，那么其他组件也必须有扩展Dynkin类或一个小的无限树集之一，只要有一个非零的同态组件之间。证明使用加法函数的理论。
Relative singularity category of a non-commutative resolution of singularities
在这篇文章中，我们研究了与奇点的非对易奇点的分解相关的奇点的三角化范畴。特别地，我们给出了一个完整的描述，这类曲线的情况下，节点奇点，分类其不可分解的对象，并计算其Auslander-Reiten群和K-群。
Higher Auslander-Reiten sequences via morphisms determined by objects
设$(\mathscr{C},\mathbb{E},\mathfrak{s})$是${\rm Ext}$ -有限Krull-Schmidt和$k$ -线性$n$ -交换范畴，其中$k$是交换Artin环.本文利用$\mathscr{C}$的稳定范畴到生成的$k$ -模范畴的可表示函子定义了$\mathscr{C}$的两个加法子范畴$\mathscr{C}_r$和$\mathscr{C}_l$.此外，我们还证明了这两个满子范畴的稳定范畴之间存在等价性。最后，利用确定态射给出了Auslander-Reiten $n$ -扩张存在性的一些等价刻画.这些结果统一和推广了Jiao-Le关于正合范畴，Zhao-Tan-Huang关于外三角范畴，Xie-Liu-Yang关于$n$ -阿贝尔范畴的工作.
Extension closedness of syzygies and local Gorensteinness of commutative rings
本文改进了Auslander和Reiten关于Noether代数上n阶合的扩张闭性的一个著名定理。应用它，我们得到了Evans和Griffith关于Serre条件（S_n）的一个著名定理的逆定理和高度小于n的交换环的局部Gorensteiness性.特别是将Araya和Iima最近关于具有典范模的Cohen-Macaulay局部环的一个结果推广到任意的局部环.
Relative singularity categories I: Auslander resolutions
设$R$是一个孤立的Gorenstein奇点，具有非交换分解$A=End_R(R\oplus M)$。本文证明了$A$的相对奇异范畴$Δ_R(A)$具有一些令人愉快的性质，例如是Hom有限的.此外，它还确定了Buchweitz和Orlov的经典奇异范畴$D_{sg}(R)$是一个典型的商范畴.如果$R$有有限CM型，其中包括例如Kleinian奇点，那么我们给出了更令人惊讶的结果：$D_{sg}(R)$确定$Δ_R(Aus(R))$，其中$Aus(R)$是相应的Auslander代数.这些结果的证明使用dg代数，$A_\infty$ Koszul对偶，和dg Auslander代数的新概念，这可能是独立的兴趣。
Stable categories of Cohen-Macaulay modules and cluster categories
通过Auslander代数McKay对应，单奇点上Cohen-Macaulay模的稳定范畴等价于Dynkin模的路代数的$1$ -簇范畴（即Auslander-Reiten平移作用下的导出范畴的轨道范畴）.本文给出了Gorenstein孤立奇点$R$上Cohen-Macaulay模的稳定范畴与有限维代数$Λ$的广义（高）簇范畴之间的相似三角等价的系统构造方法.双模Calabi-Yau代数是$R$的高阶Auslander代数，也是$Λ$的一个扩张的高阶预投射代数。作为副产品，我们给出了分次Cohen-Macaulay $R$ -模的稳定范畴与$Λ$的导出范畴之间的一个三角等价性.我们的主要结果特别适用于一类循环商奇点和某些复曲面仿射三倍与二聚体模型。
Kac-Moody algebras and the cde-triangle
本文是2004年7月5- 10日在瑞典卡尔斯塔德举行的“数学物理中的非对易几何与表示论”会议上的发言稿。本文证明了Rocha-Caridi和Wallach的对偶公式是模表示论中所谓的cde-三角形的一个简单推论。它试图反映谈话试图迎合听众的不同背景。
On a generalization of two results of Happel to commutative rings
本文将Happel的两个结果推广到交换环.设$(A, \mathfrak{m})$是交换Noether局部环.设$D^b_f(mod \ A)$是$A$上有限长上同调的有限生成模复形的有界导出范畴.证明了$D^b_f( mod \ A)$有Auslander-Reiten（AR）-三角形的充要条件是$A$是正则的.设$K^b_f(proj \ A)$是有限长上同调的自由$A$ -模的有限复形的同伦范畴.我们证明了，如果$A$是完全的，如果$A$是Gorenstein，那么$K^b_f( proj \ A)$有AR三角形。相反，我们表明，如果$K^b_f(proj \ A)$有AR三角形，如果$A$是科恩-麦考利或如果$\dim A = 1$，那么$A$是Gorenstein。
A categorification of combinatorial Auslander-Reiten quivers
通过二维 Ginzburg dg 代数的完美值导出范畴，对单李型中的组合 Auslander-Reiten 箭图进行范畴化，并推广了 Bédard 的结果和经典网格可加性。
Singular equivalences of functor categories via Auslander-Buchweitz approximations
本文研究函子范畴的奇异等价构造，给出加法范畴及其子范畴诱导奇异等价的充分条件，得到余倾斜模、交换Noetherian环典范模导出的奇异等价结果，推广了相关已有定理。
On the Subcategories of n-Torsionfree Modules and Related Modules
设R是交换诺特环。用mod R表示R-生成R-模的范畴。本文研究了Auslander和Bridger意义下的n-挠自由模，并与n-合合模和满足Serre条件的模（S_n）进行了比较。我们主要研究由这些模构成的mod R的满子范畴的闭性。
Tilting theory for Gorenstein rings in dimension one
对$Z$ -分次Gorenstein环$R$，研究了$Z$ -分次极大Cohen-Macaulay $R$ -模的稳定范畴$CM^ZR$，它与Buchweitz和Orlov的奇异范畴正则三角等价.它的厚子范畴被称为$CM_0^ZR$的稳定范畴，是表示论的中心范畴，因为它具有Auslander-Reiten-Serre对偶性和几乎可裂三角形。在$dim R=1$情形下，我们证明了$CM_0^ZR$的稳定范畴总是允许一个淤积对象，并且它允许一个倾斜对象当且仅当$R$是正则的或者$R$的$a$ -不变量是非负的.
A refined multiplication formula for cluster characters
我们得到了（稳定）2-Calabi-Yau（Frobenius或）三角范畴上簇特征标的乘法公式。这个公式推广了已知的任意对象对和Auslander-Reiten三角形的公式。作为一个应用程序，我们表明，集群代数的非循环类型，专业化的集群变量为1发送所有集群变量的元素的集群代数较小的秩。我们也得到应用程序的减少friezes的无环型。
Snake lemma variations
核复引理指出，给定一个包含$Γ$ -shape下区域的具有精确行和精确列的交换图表，则顶部的核序列和左侧的核序列在每个位置上同构同调。对偶版本，上核复引理，已被用来确定一个在Auslander-Reiten函子的支持。我们注意到蛇引理是两个结果结合的结果。
Yoneda algebras and their singularity categories
对于有限表示型的有限维代数$Λ$和$\mathrm{mod}\,Λ$的加法生成元$M$，研究了Yoneda代数$Γ=\bigoplus_{i \geq 0}\mathrm{Ext}_Λ^i(M,M)$的性质.证明了$Γ$是分次凝聚的，Gorenstein的自内射维数至多为$1$，并且$Γ$的分次奇异范畴$\mathrm{D_{sg}^\mathbb{Z}}(Γ)$与$Λ$的稳定Auslander代数的导出范畴是三角等价的.这些结果对表示无限代数仍然有效。为此，我们引入了Yoneda范畴$Λ$的$\mathcal{Y}$作为导出范畴$\mathrm{D^b}(\mathrm{mod}\,Λ)$中$Λ$ -模的移位的加法闭包。证明了$\mathcal{Y}$是凝聚的，自内射维数的Gorenstein最多为$1$，并且$\mathcal{Y}$的奇异范畴是稳定范畴$\underline{\mathrm{mod}}\,Λ$的导出范畴$\mathrm{D^b}(\mathrm{mod}\,(\underline{\mathrm{mod}}\,Λ))$的三角等价.为了给出一个三角等价，我们应用了实现函子理论。我们证明了任何代数三角范畴都有一个f-范畴在其自身上，通过公式化DG范畴的过滤导范畴，这保证了实现函子的存在。
Almost Split Triangles and Morphisms Determined by Objects in Extriangulated Categories
设$(\mathfrak{C},\mathbb{E},\mathfrak{s})$是Ext-有限的Krull-Schmidt和$k$ -线性外三角范畴，其中$k$是交换Artin环.我们定义了一个加法子范畴$\mathfrak{C}_r$（分别，$\mathfrak{C}_l$）的$\mathfrak{C}$的可表示函子从$\mathfrak{C}$模$\mathfrak{s}$ -内射稳定范畴（分别为$\mathfrak{s}$ -投射）到$k$ -模块，它由所有$\mathfrak{s}$ -投射组成（分别为$\mathfrak{s}$ -内射）对象和同构于所有第三类的有限直和的直和项的对象（分别地，第一）项几乎分裂的$\mathfrak{s}$ -三角形。利用对象所决定的态射研究了子范畴$\mathfrak{C}_r$和$\mathfrak{C}_l$，给出了几乎可裂$\mathfrak{s}$ -三角形存在性的等价刻画.
Transfer of abelian model structures to equivariant categories and homotopy squares
针对有限群G在满足|G|可逆的格罗滕迪克范畴𝒜上的作用，证明阿贝尔模型结构从𝒜到等变范畴𝒜^G的提升定理，构造关联导出函子的同伦方块并给出模范畴下的应用。
On the homological conjectures for Artin algebras
本文证明Tachikawa第二猜想蕴含Artin代数的Auslander-Reiten猜想，并通过二重平凡扩张及已知关系，揭示多个重要猜想等价，且第二猜想蕴含第一猜想。
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