在黎曼流形上数据拟合的变分模型：通过最小化贝塞尔曲线的加速度
A variational model for data fitting on manifolds by minimizing the acceleration of a Bézier curve
AI总结：
本文提出了一种变分模型，用于在黎曼流形上拟合由数据点组成的贝塞尔曲线，通过最小化曲线的均方加速度并保持靠近数据点。该方法通过离散化曲线上的平方二阶导数来近似加速度，并推导出一种闭合形式、数值稳定且高效的算法，用于计算流形上贝塞尔曲线相对于控制点的梯度，该梯度以所谓的伴随雅可比场的连接形式表达。多个示例展示了该方法在插值和逼近中的能力和有效性，并证明该方法优于之前解决此问题的工作。
摘要：
我们推导出一种变分模型，用于将复合贝塞尔曲线拟合到黎曼流形上的数据点集上。所得到的曲线是通过以最小化其均方加速度的方式获得的，同时保持靠近数据点。我们通过离散化曲线上的平方二阶导数来近似加速度。我们推导出一种闭合形式、数值稳定且高效的算法，用于计算流形上贝塞尔曲线相对于其控制点的梯度，该梯度以所谓的伴随雅可比场的连接形式表达。几个示例展示了该方法在插值和逼近中的能力和有效性。这些示例还展示了该方法在解决此问题时优于先前的工作。
英文摘要：
We derive a variational model to fit a composite Bézier curve to a set of data points on a Riemannian manifold. The resulting curve is obtained in such a way that its mean squared acceleration is minimal in addition to remaining close the data points. We approximate the acceleration by discretizing the squared second order derivative along the curve. We derive a closed-form, numerically stable and efficient algorithm to compute the gradient of a Bézier curve on manifolds with respect to its control points, expressed as a concatenation of so-called adjoint Jacobi fields. Several examples illustrate the capabilites and validity of this approach both for interpolation and approximation. The examples also illustrate that the approach outperforms previous works tackling this problem.
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