Short Character Sums and the Pólya-Vinogradov Inequality
我们用定量的方法证明了任何固定阶$g \geq 2$的奇数特征标$χ$模$q$满足如下性质：如果$χ$的Pólya-Vinogradov不等式可以改进为$$\max_{1 \leq t \leq q} \left|\sum_{n \leq t} χ(n)\right| = o_{q \rightarrow \infty}(\sqrt{q}\log q)$$，则对于任何$ε> 0$，只要$t > q^ε$，$$\sum_{n \leq t} χ(n) = o_{q \rightarrow \infty}(t) \text{ for all $t > q^ε$.}$$这推广和改进了Fromm和Goldmakher的一个结果.我们还证明了一个相反的含义，其效果是，如果所有奇原始字符的固定顺序划分$g$表现出取消在短的总和，然后Pólya-Vinogradov不等式可以改善所有奇原始字符的顺序$g$。并讨论了一些应用。
2019-05-22 math.NT
Partial Gaussian sums and the Pólya--Vinogradov inequality for primitive characters
本文给出了本原特征标的Pólya-Vinogradov不等式的一个新的完全显式常数.给定一个原始字符$χ$模$q$，我们证明了以下上界\begin{align*} \left| \sum_{1 \le n\le N} χ(n) \right|\le c \sqrt{q} \log q, \end{align*}，其中$c=3/(4π^2)+o_q(1)$为偶数字符和$c=3/(8π)+o_q(1)$为奇数字符，显式$o_q(1)$条款。这改进了Frolenkov和Soundararajan对于大$q$的结果。我们继续进行，以下希尔德布兰德，获得明确的版本的结果蒙哥马利-沃恩部分高斯和明确的伯吉斯一样的结果卷积狄利克雷字符。
2020-01-15 math.NT
Multiplicative mimicry and improvements of the Polya-Vinogradov inequality
研究了系数完全乘法且属于复单位圆盘的指数和。我们的主要结果表明，这样的总和有实质性的取消，除非系数函数本质上是一个狄利克雷字符。作为应用，我们改进了目前奇阶特征和的界。在广义黎曼假设的条件下，得到了奇阶特征和的最佳可能界。
2010-10-21 math.NT
Pólya-Vinogradov and the least quadratic nonresidue
众所周知，在短特征和中的消去（例如Burgess的估计）产生最小二次非剩余的界。自Burgess的工作以来，短特征标和的研究进展甚微，因此寻找一种新的方法来研究非剩余数是很有必要的。本说明的目标是通过长字符和来展示一种新的攻击方法，这是目前活跃的研究领域。在其他结果中，我们证明了在Pólya-Vinogradov不等式中改进常数将导致非剩余的重大进展。此外，在长字符和猜想的条件下，我们证明了任何奇原始字符（mod $k$）的最小非剩余是有界的$(\log k)^{1.4}$。
2015-04-06 math.NT
An explicit Pólya-Vinogradov inequality via Partial Gaussian sums
本文给出了无平方模的Pólya-Vinogradov不等式的一个新的完全显式常数.给定一个本原字符$χ$到无平方模$q$，我们证明了下面的上界\begin{align*} \left| \sum_{1 \le n\le N} χ(n) \right|\le c \sqrt{q} \log q, \end{align*}，其中$c=1/(2π^2)+o(1)$用于偶数字符，$c=1/(4π)+o(1)$用于奇数字符，具有显式$o(1)$项。这改进了Frolenkov和Soundararajan对于大$q$的结果。我们继续通过部分高斯和，而不是通常的蒙哥马利和沃恩的指数和乘法系数的方法。这允许在次弧上节省功率，而不是如先前方法中的$\log{q}$因子，并且是完全显式边界的重要因子。
2019-09-03 math.NT
Large odd order character sums and improvements of the Pólya-Vinogradov inequality
对于本原狄利克雷特征标$χ$模$q$，我们定义$M(χ)=\max_{t } |\sum_{n \leq t} χ(n)|$。在本文中，我们研究了固定奇数阶$g\geq 3$的特征标的这个量。我们的主要结果在这种情况下提供了经典的Pólya-Vinogradov不等式的进一步改进。更具体地说，我们表明，对于任何这样的字符$χ$，我们有$$M(χ)\ll_{\varepsilon} \sqrt{q}(\log q)^{1-δ_g}(\log\log q)^{-1/4+\varepsilon},$$，其中$δ_g := 1-\frac{g}π\sin(π/g)$。这改进了Granville和Soundararajan和Goldmakher的作品。此外，假设广义Riemann假设（GRH），我们证明了$$ M(χ) \ll \sqrt{q} \left(\log_2 q\right)^{1-δ_g} \left(\log_3 q\right)^{-\frac{1}{4}}\left(\log_4 q\right)^{O(1)}, $$，其中$\log_j$是第$j$次重对数。我们还无条件地表明，这个界是最好的可能（高达$\log_4 q$的权力）。证明上界的关键因素之一是一个新的Halász型不等式的对数平均值的完全乘法函数，这可能是独立的利益。
2017-01-06 math.NT
Singular Gauss sums, Polya-Vinogradov inequality for $GL(2)$ and growth of primitive elements
我们对$GL(2, \F_p)$建立了一个类似于经典的Polya-Vinogradov不等式，其中$p$是素数.在这个过程中，我们计算的“奇异”高斯和$GL(2, \F_p)$。作为一个应用，我们证明了$GL(2,\Z)$中的元素的集合，其约简模$p$在$GL(2, \F_p)$中是极大序模的，并且其矩阵项由$x$限定，对于任何$\ep>0$，只要$x\gg p^{1/2+\ep}$就有期望的大小.特别地，在$GL(2,\Z)$中存在具有$O(p^{1/2+\ep})$阶的矩阵项的元素，其约简模$p$是本原元。
2021-06-09 math.GR math.NT
A variant of Bombieri-Vinogradov theorem with explicit constants
在本文中，我们改进Akbary和Hambrook的结果的一个因子的log x通过获得一个更好的版本的Vaughan的不等式，并使用显式变体的不等式连接到默比乌斯函数，导出的Helfgott在他的工作三元哥德巴赫猜想。
2016-11-03 math.NT
Bilinear forms with trace functions over arbitrary sets, and applications to Sato-Tate
本文证明了丰饶层迹函数在任意子集支撑下的一般双线性形式非平凡上界，结合加性组合与Kloosterman层乘积和结果突破了Pólya-Vinogradov障碍，并推导出稀疏族中Kloosterman和与椭圆曲线Frobenius迹的Sato-Tate分布。
2023-06-29 math.AG math.NT
A note on medium and short character sums
继Hildebrand的工作之后，我们在一定的范围内改进了Po'lya-Vinogradov不等式，并给出了它依赖于Burgess界的一般结果，最后改进了Burgess特征和估计的一个特例的有效范围.
2023-03-03 math.NT
An extended Vinogradov's mean value theorem
本文通过圆法与变量平移论证，为扩展的维诺格拉多夫均值定理相关指数和建立新均值估计，在d=2,3时获得尖锐上界，d≥4时依赖去耦不等式获得类似结果。
2025-06-24 math.NT
Bilinear forms with trace functions
Université Paris–Saclay（巴黎萨克雷大学）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；EPFL（洛桑联邦理工学院）；Princeton University（普林斯顿大学）
本文提出了一种基于分层定理和鲁棒准则的新方法，用于在波利亚-文纳戈夫范围内获得双线性迹函数和的非平凡界。
2026-10-19 math.NT
The sliding-sum method for short exponential sums
当区间的大小使得傅里叶分析的完备技术几乎不足以获得非平凡结果时，我们引入一种方法来估计区间或（广义）等差数列上有限阿贝尔群上振荡函数的和.特别是，我们证明了各种估计的指数和区间上的有限域和相关金额低于Polya-Vinogradov范围，并得出应用等分布问题。
2015-08-04 math.NT
On short sums of trace functions
我们考虑了循环群中区间上的振荡函数的和，循环群的大小接近于群的大小的平方根。首先，我们证明了非平凡的估计区间长度略大于这个平方根（桥接“Polyá-Vinogradov差距”在某种意义上）有界函数有界傅里叶变换。然后，我们证明了在离散傅里叶变换下，在略低于平方根界的范围内非平凡估计的存在性是稳定的，并且我们给出了与有限域上的迹函数相关的应用。
2016-06-23 math.NT
Distjointness of Mobius from horocycle flows
我们制定并证明了Vinogradov的双线性和不等式的一个有限版本。我们利用它和Ratner的连接定理证明了Mobius函数与$Γ \backslash SL 2（\mathbb{R}）上的离散时循环流是不相交的.
2011-10-05 math.DS math.NT
On a new class of Laguerre-Pólya type functions with applications in number theory
我们定义了一个新的函数类，连接到经典的Laguerre-Pólya类，我们称之为移位Laguerre-Pólya类。Griffin、Ono、Rolen和Zagier最近的工作表明黎曼Xi函数属于这一类。我们证明了一个函数是在这个类是等价的泰勒系数，一旦移动，是一个度$d$乘子序列的每个$d$，这是等价的移位系数满足所有的高Túran不等式。这反映了一个经典的结果Pólya和舒尔。进一步证明了这类函数的某阶导数满足每个推广的Laguerre不等式。最后讨论了这类函数的迭代不等式的一些新老定理。
2022-06-27 math.NT
Trace minmax functions and the radical Laguerre-Pólya class
当$A\leq B\leq C$是自伴矩阵时，我们将满足不等式$$\operatorname{tr} f(A)+f(C)\geq \operatorname{tr} f(B)+f(D)$$的函数$f:(a,b)\rightarrow \mathbb{R}$分类为$D= A+C-B$，即所谓的迹极大极小函数. (Here如果$B-A$是半正定的，则为$A\leq B$，并且$f$通过函数演算进行计算。）一个函数是迹极大极小的当且仅当它的导数解析地继续到上半平面的自映射。迹极大极小函数$g=e^{-f}$的负指数满足如上的$A, B, C, D$的不等式$$\det g(A) \det g(C)\leq \det g(B) \det g(D)$$。我们称这样的函数为行列式等周函数。我们证明了行列式等周函数是Laguerre-Pólya类的“根”。我们推导出一个积分表示这样的功能，这基本上是一个连续版本的阿达玛分解的功能在拉盖尔-波利亚类。我们应用我们的结果给出一些等价的黎曼假设的配方。
2020-08-12 math.CV math.FA math.NT
