$p$ -adic球面上某些作用的distal性
Distality of Certain Actions on $p$-adic Spheres
摘要：
考虑$GL(n,\mathbb{Q_p})$在$p$上的作用-由$\mathbb{Q}_p^n\setminus\{0\}$上的线性作用产生的adic单位球面$\mathcal{S}_n$。证明了对于$GL(n,\mathbb{Q}_p)$的半群$\mathfrak{S}$在$\mathcal{S}_n$上的作用，下列等价：（1）$\mathfrak{S}$在远端作用于$\mathcal{S}_n$ . (2)$PGL(n,\mathbb{Q}_p)$中$\mathfrak{S}$的象的闭包是一个紧群。在$\mathcal{S}_n$上，我们考虑对应于$GL(n,\mathbb{Q}_p)$中的$T$的“仿射”映射$\overline{T}_a$和满足$\|T^{-1}(a)\|_p<1$的$\mathbb{Q}_p^n$中的非零$a$。我们证明了存在一个紧的开子群$V$，它依赖于$T$，使得对于每个非零的$a\in V$，$\overline{T}_a$都是远端的当且仅当$T$远端作用于$\mathcal{S}_n$ . $p$ -adic单位球面上仿射映射的动力学性质与实单位球面上的动力学性质有很大的不同。
英文摘要：
Consider the action of $GL(n,\mathbb{Q_p})$ on the $p$-adic unit sphere $\mathcal{S}_n$ arising from the linear action on $\mathbb{Q}_p^n\setminus\{0\}$. We show that for the action of a semigroup $\mathfrak{S}$ of $GL(n,\mathbb{Q}_p)$ on $\mathcal{S}_n$, the following are equivalent: (1) $\mathfrak{S}$ acts distally on $\mathcal{S}_n$. (2) the closure of the image of $\mathfrak{S}$ in $PGL(n,\mathbb{Q}_p)$ is a compact group. On $\mathcal{S}_n$, we consider the `affine' maps $\overline{T}_a$ corresponding to $T$ in $GL(n,\mathbb{Q}_p)$ and a nonzero $a$ in $\mathbb{Q}_p^n$ satisfying $\|T^{-1}(a)\|_p<1$. We show that there exists a compact open subgroup $V$, which depends on $T$, such that $\overline{T}_a$ is distal for every nonzero $a\in V$ if and only if $T$ acts distally on $\mathcal{S}_n$. The dynamics of `affine' maps on $p$-adic unit spheres is quite different from that on the real unit spheres.
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