在三维MEMS模型中，触地是唯一的有限时间奇异点

Touchdown solutions in general MEMS models

We study general equations modeling electrostatic MEMS devices \begin{equation} \begin{cases} \label{P} φ\big(r,- u'(r)\big)=λ\int_0^r\frac{f(s)}{g(u(s))}\,\mathrm{d}s, & r\in(0,1), \\ 0 < u(r) < 1, & r\in(0,1), \\ u(1) = 0, \tag{$P_λ$} \end{cases} \end{equation} where $φ$, $g$, $f$ are some functions on $[0,1]$ and $λ>0$ is a parameter. We obtain results on the existence and regularity of a touchdown solution to \eqref{P} and find upper and lower bounds on the respective pull-in voltage. In the particular case, when $φ(r,v) = r^α|v|^βv$, i.e., when the associated differential equation involve…

在MEMS问题的介电常数分布的零点处没有触地

No touchdown at zero points of the permittivity profile for the MEMS problem

研究了微机电系统（MEMS）模型中半线性热方程的猝灭行为。这个问题涉及到一个源项与空间相关的电位，给定的介电常数的配置文件，淬火对应于一个触地现象。众所周知，淬火确实会发生。我们证明了{ \bf触地不能发生在介电常数分布的零点。}特别是，我们删除了在以前所有关于这个主题的工作中所做的关于触地集的紧性的假设，并且在大多数典型情况下，其有效性是未知的。这肯定地回答了{[ \it Y. Guo，Z. Pan和M. J. Ward，SIAM J. Appl. Math { \textbf{66}（2005）}，309- 338]}基于数值证据。结果关键取决于一个新的类型~I估计的淬火速率，我们建立。另外，在不作凸性假设的情况下，我们得到了达阵集紧的一些充分条件。这些结果在MEMS最优设计的应用中可能具有一定的定性重要性，特别是对于诸如微阀之类的器件。

变介电常数下MEMS问题的触地定位

Quantitative touchdown localization for the MEMS problem with variable dielectric permittivity

我们考虑了一个著名的模型的微机电系统（MEMS）的可变介电常数，基于一个抛物型方程奇异非线性。我们研究了触地或淬火现象。最近，问题是否接地可以发生在零点的介电常数的配置文件，长期以来一直保持开放，回答消极的郭和Souplet的情况下，内点，然后我们表明，接地实际上可以排除在子区域的域的介电常数是积极的，但适当的小。本文的目的是进一步研究触地定位问题，并表明，在一个空间维，人们可以得到相当定量的条件。也就是说，对于大类的典型的，一个凸块和两个凸块的介电常数的配置文件，我们发现良好的较低的估计之间的比率f和它的最大值，低于没有接地发生以外的凸块。该比率严格地获得作为合适的有限维最优化问题（具有三个或四个参数）的解，然后对其进行数值估计。相当令人惊讶的是，事实证明，该比率的值并不“小”，而是实际上高达0.3的量级，因此这可能非常适合于在实际MEMS设计中的鲁棒使用。减少到有限维最优化问题的主要工具是定量的I型，时间降落估计。后者证明了最大值原理参数，适用于一个多参数家庭的细化，非线性辅助功能与截止。

MEMS问题的小介电常数点无触地和非平凡触地集

No touchdown at points of small permittivity and nontrivial touchdown sets for the MEMS problem

我们考虑一个著名的模型，微机电系统（MEMS）的可变介电常数，涉及一个抛物型方程奇异非线性。我们研究触地或淬火现象。最近，对于内点的情况，是否可以在介电率曲线f的零点处发生触地的问题得到了否定的回答，而介电率曲线f的零点长期以来一直是开放的。本文的第一个目的是进一步考虑相同的问题，在点的积极，但小介电常数。我们表明，在任何有界域，接地不能发生在一个内点的介电常数配置文件是适当的小。我们也得到了类似的结果，在边界的情况下，在一个小的假设下，f在边界的邻域。这特别允许构造f，产生集中在任何给定球体附近的触地集。我们的下一个目标是获得更多的信息的结构和属性的降落集。特别是，我们表明，接地集一般不需要本地化的极大点附近的介电率曲线f。在球的径向情况下，我们表明存在的M-形的轮廓，其触地集位于远离极大点的f，我们甚至得到严格凸f的触地发生在唯一的极小点的f。这些结果表明，为了排除在一点触地，上述某种小条件是不可避免的。另一方面，我们构造的配置文件f产生更复杂的行为：在任何有界域的触地集可以集中在附近的两个任意给定的点，或两个任意给定的（n-1）维球在一个球。这些例子是作为接地时间和接地设置的介电常数分布的小扰动下的稳定性结果获得的。

广义MEMS方程的全局和触地行为

Global and touchdown behaviour of the generalized MEMS device equation

本文证明了广义微机电系统（MEMS）方程$u_t =Δu+λf(x)/g(u)$，$u<1$，in $Ω\times (0,\infty)$，$u(x,t)=0$ on $\partialΩ\times (0,\infty)$，$u(x,0)=u_0$ in $Ω$的局部解和整体解的存在性，其中$Ω\subset\Bbb{R}^n$是有界区域，$λ>0$是常数，$0\le f\in C^α(\overlineΩ)$，$f\not\equiv 0$，对于某个常数$0<α<1$，$0<g\in C^2((-\infty,1))$使得对于任何$s<1$为$g'(s)\le 0$，对于某些恒定的$a$为$u_0\in L^1(Ω)$与$u_0\le a<1$。我们证明了存在一个常数$λ^{\ast}=λ^{\ast}(Ω, f,g)>0$，使得相关的平稳问题有任何$0\leλ<λ^*$的解决方案，并没有任何$λ>λ^*$的解决方案。我们得到了广义MEMS方程的比较定理。在一个温和的假设下的初始值，我们证明了整体解决方案的解决方案的相应的固定椭圆方程$t\to\infty$的任何$0\leλ<λ^*$。我们还获得了各种条件的存在的降落时间$T>0$的解决方案$u$。这是一个时间$T>0$这样$\lim_{t\nearrow T}\sup_Ωu(\cdot,t)=1$。

静电MEMS控制中非局部抛物问题的猝灭

On the quenching of a nonlocal parabolic problem arising in electrostatic MEMS control

考虑微机电系统的非局部抛物模型。具体而言，对于单调的初始数据的径向对称问题，它示出的解决方案淬火，使接地发生在设备中，在没有稳定状态的情况下。它还表明，淬火发生在一个单一的点，并获得了一个边界上的方法触地。给出了说明结果的数值模拟。