Two-level Nyström--Schur preconditioner for sparse symmetric positive definite matrices
随机化方法在数值线性代数中越来越受欢迎。然而，很少有人尝试使用它们来开发预处理器。我们的兴趣在于解决大型稀疏对称正定线性系方程组的系统矩阵是预先排序的双边界块对角形式（例如，使用嵌套的解剖排序）。我们研究使用随机方法来构建高质量的预条件。特别是，我们提出了一种新的和有效的方法，采用Nyström的方法计算低秩近似开发强大的代数两级预条件。新的预条件的建设涉及迭代求解一个更小，但更密集的对称正定舒尔补系统与多个右手边。来自一系列应用领域的问题的数值实验表明，这个内部系统可以解决廉价使用块共轭梯度，并使用一个大的收敛公差，以限制成本不会产生不利影响的质量Nyström-Schur两级预处理。
2021-07-27 cs.NA math.NA
Efficient construction of an HSS preconditioner for symmetric positive definite $\mathcal{H}^2$ matrices
在求解具有病态对称正定（SPD）核矩阵的线性系的迭代方法中，需要快速的矩阵向量积和快速的预处理运算。通过以$\mathcal{H}^2$表示法或等效的快速多极子方法表示法表示核矩阵，可以获得快速（线性缩放）矩阵向量乘积。然而，预处理这样的矩阵需要比$\mathcal{H}^2$表示更规则的结构化矩阵近似，诸如提供快速求解操作的分层半可分离（HSS）矩阵表示。先前，提出了一种算法来构造对保证为SPD的SPD核矩阵的HSS近似。然而，该算法具有二次成本，并且仅被设计用于定义核矩阵的点的递归二进制划分。本文提出了一种构造SPD HSS近似的通用算法。重要的是，该算法使用SPD矩阵的$\mathcal{H}^2$表示来将其计算复杂性从二次降低到拟线性。数值实验说明了如何SPD HSS近似执行作为一个预处理器解决线性系所产生的范围内的核函数。
2021-01-11 cs.NA math.NA
An Iterative Block Matrix Inversion (IBMI) Algorithm for Symmetric Positive Definite Matrices with Applications to Covariance Matrices
针对大型对称正定矩阵直接求逆复杂度极高的难题，提出迭代分块矩阵求逆算法IBMI，通过分块迭代逼近逆矩阵，证明两块非重叠方法收敛，数值结果支持多块重叠方法也收敛。
2025-09-02 cs.NA math.NA math.ST
Interior Eigensolver for Sparse Hermitian Definite Matrices Based on Zolotarev's Functions
本文提出了一种计算稀疏Hermitian定矩阵束$(A,B)$的选定广义特征对的有效方法。基于Zolotarev的正负号函数的最佳有理函数逼近和共形映射技术，通过函数复合的部分分式表示，构造了任意区间上矩形函数的最佳有理函数逼近.这种新的最佳有理函数逼近可以用来构造$(A,B)$的谱滤波器，其极点数目比直接构造的滤波器少。结合快速直接求解器和平移不变的广义最小残差法，提出了一种混合快速算法来有效地应用谱滤波器。与最先进的算法FEAST相比，所提出的有理函数近似是更有效的稀疏矩阵分解时，需要解决多移位线性系的特征值求解器，因为在我们的方法中需要较少的矩阵分解。计算化学数值算例表明了该方法的有效性和稳定性。
2020-12-30 cs.NA math.NA
Spectral Properties of Positive Definite Matrices over Symmetrized Tropical Algebras and Valued Ordered fields
本文研究对称化热带代数及赋值有序域上正定矩阵的谱，证明特征值、特征向量经赋值与符号映射后与热带对应物一致，并给出参数实矩阵对数极限的组合公式。
2025-07-26 cs.NA math.CO math.NA
A General Algorithm to Calculate the Inverse Principal $p$-th Root of Symmetric Positive Definite Matrices
Johannes Gutenberg University of Mainz（约翰内斯·古腾堡美因茨大学）；Paderborn University（帕德博恩大学）
本文提出了一种计算对称正定矩阵逆$p$-次根的通用算法，通过构造迭代函数实现高效计算，并展示了该方法具有至少二次收敛速度，通过调整参数$q$进一步提升收敛速度。
2018-02-27 cs.NA math.NA math.RA
A Unique Inverse Decomposition of Positive Definite Matrices under Linear Constraints
The Hebrew University（希伯来大学）
本文提出了一种正定矩阵在给定线性子空间约束下的唯一逆分解方法，并通过变分分析和牛顿型算法实现了该分解的稳定性与高效计算。
2026-08-07 cs.NA math.NA math.OC
Global iterative methods for sparse approximate inverses of symmetric positive definite matrices
Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）
针对对称正定矩阵，本研究提出MR、LOMR、CG三种带稀疏迭代的短 recurrence 迭代方法，结合丢弃策略计算稀疏近似逆，其作为预条件子的性能经数值实验定量评估。
2026-08-20 cs.NA math.NA
Multifidelity Covariance Estimation via Regression on the Manifold of Symmetric Positive Definite Matrices
Center for Computational Science and Engineering, MIT（麻省理工学院计算科学与工程中心）；Courant Institute of Mathematical Sciences, NYU（纽约大学柯朗数学科学研究院）
本文提出一种基于对称正定矩阵流形回归的多保真度协方差估计器MRMF，兼具正定性与最大似然性质，并在实验中显著降低估计误差。
2024-09-05 cs.LG cs.NA math.NA
Structural Packing and Dyadic Factorization of Sparse Positive Definite Matrices
Institute of Mathematics, University of Wrocław（弗罗茨瓦夫大学数学研究所）；Department of Statistics, Lund University（隆德大学统计系）
本研究将嵌套剖分重构为两阶段框架，提出基于ℓ₁准则的打包算法与二元结构化矩阵分解理论，实现了大型稀疏正定矩阵的高效求逆。
2026-09-01 cs.NA math.NA stat.CO
The factorization of matrices into products of positive definite factors
University of California, San Diego（加州大学圣地亚哥分校）；University of California, Irvine（加州大学尔湾分校）
本文提出通过最优运输问题分析，将矩阵分解为正定因子乘积，以实现对谱效应的控制。
2026-01-08 cs.NA cs.SY eess.SY
Geometric mean for T-positive definite tensors and associated Riemannian geometry
本文利用T-积将正定矩阵几何均值推广到三阶张量，定义T-正定张量几何均值并证明其满足均值性质、对应Riccati方程唯一解，且相关流形为Cartan-Hadamard-黎曼流形。
2024-03-30 cs.NA math.DG math.FA
Towards an Efficient Tile Matrix Inversion of Symmetric Positive Definite Matrices on Multicore Architectures
University of Tennessee（田纳西大学）；University of Colorado Denver（科罗拉多大学丹佛分校）
针对多核架构上对称正定矩阵求逆问题，提出基于动态任务调度和编译器优化（数组重命名、循环反转和流水线）的分块算法，实现LAPACK代码到高效并行分块算法的转换。
2010-02-22 cs.MS cs.NA math.NA
The Exact Determinant of a Specific Class of Sparse Positive Definite Matrices
Universitat Pompeu Fabra（庞培法布拉大学）
针对一类稀疏高斯图模型，通过傅里叶变换和矩阵行列式引理，推导出协方差矩阵行列式的闭式解，并定义了图模型间的等价性。
2023-11-11 cs.LG cs.NA math.NA
