Some Open Problems related to Creative Telescoping
创造性的伸缩是获得有关定和或定积分的信息的首选方法。自20世纪90年代初以来，它一直被广泛研究，现在可以被认为是计算机代数中的经典技术。与此同时，它仍然是正在进行的研究的主题。在本文中，我们提出了一个选择在这种情况下开放的问题。我们很想知道在这些问题上是否有任何实质性进展。
2016-09-13 cs.SC
Reduction-based Creative Telescoping for P-recursive Sequences via Integral Bases
本研究提出一种二元P-递归序列的分解方法，能得到某种意义下最小的不可求和部分，并基于此结合积分基概念构建了新的归约型创造性望远镜算法。
2023-11-09 cs.SC
Order-Degree Curves for Hypergeometric Creative Telescoping
创造性的伸缩适用于一个二元适当的超几何项产生的线性递归算子多项式系数，称为递归算子。我们提供的界限出现在这些运营商的多项式的程度。我们的界限表示为（r，d）平面中的曲线，该曲线为每个阶r分配了望远镜度数d的界限。这些曲线都是双曲线，反映了高阶复指数越低，反之亦然的现象。
2012-01-10 cs.SC
Efficient Algorithms for Mixed Creative Telescoping
创造性伸缩是一个强大的计算机代数范例-由Doron Zeilberger在90年代发起-用于处理带参数的定积分和求和。我们解决了混合连续离散的情况下，并专注于双变量超几何超指数项的整合。我们设计了一个新的创造性的伸缩算法操作这一类的输入，基于一个厄米特样的减少过程。新算法有两个很好的特点：它是有效的，它提供了一个合适的表示输入，最小阶望远镜。它的分析揭示了它生产的望远镜尺寸的严格限制。
2016-05-17 cs.SC
Creative Telescoping for Holonomic Functions
这篇文章的目的是双重的：一方面，它是为了作为一个温和的介绍主题的创造性的伸缩，从实用的角度来看，为此目的，它的应用程序的几个问题的例子。另一方面，本章具有调查文章的风格：概述了过去二十年该领域的发展，并汇编了精选的参考文献，以强调创造性伸缩在多种背景下的影响。
2013-07-17 cs.SC
Creative telescoping for rational functions using the Griffiths-Dwork method
本研究针对有理函数的创造性望远镜问题，提出了精确基础的Griffiths-Dwork算法版本，给出微分方程系数阶数与次数界，得到首个变量数单指数复杂度结果，且无需计算证书，经原型实现验证有效。
2013-04-21 cs.SC
Complexity of Creative Telescoping for Bivariate Rational Functions
在这项工作中发起的长期目标是获得快速的算法和实现明确的集成在Almkvist和Zeilberger的框架（差分）创造性的伸缩。我们的复杂性驱动的方法是获得严格的程度上的各种表达式的方法。为了使问题更容易处理，我们限制到二元有理函数。通过考虑这类受约束的输入，我们能够将创造性伸缩的一般方法与著名的Hermite约化相结合。然后，我们使用我们的新方法来计算从组合所产生的有理幂级数的对角线。
2013-01-22 cs.SC
Creative Telescoping for Hypergeometric Double Sums
本研究提出计算超几何双重及多重和线性递推的高效方法，补充邻接关系算法理论以保障适用性，并优化参数化线性递推有理解计算的核心任务。
2024-01-29 cs.SC
Creative Telescoping on Multiple Sums
我们展示了一系列实用的策略来处理通过准蒙特卡罗方法得出的积分估计分析所产生的问题。这个问题减少到一个三重二项式和，从而使我们能够打开完整的工具包，其中包含的工具，如创造性的伸缩，可以用来推导出满足的总和递归。在应用这些技术时，出现了一系列问题，部分需要手工解决。换句话说，目前还不存在可以自动解决所有这些问题的创造性伸缩实现。因此，我们觉得有必要汇编我们尝试过的不同策略以及我们在此过程中遇到的困难。特别是，我们强调了证书在这些计算中的必要性，以及它的复杂性如何极大地影响计算时间。
2021-03-17 cs.SC
A Unified Reduction for Hypergeometric and q-Hypergeometric Creative Telescoping
本文构建涵盖普通移位与 q-移位的统一框架，提出适用于超几何项及其 q-类似物的统一约化与创造性望远镜算法，并通过计算实验验证。
2025-07-27 cs.SC
Separability Problems in Creative Telescoping
对于给定的由代数、微分或差分方程描述的多元函数，其可分性问题是判定它们是否满足关于一个变量的线性微分或差分方程。在本文中，我们将解释如何分离性问题自然出现在创造性的伸缩，并提出了一些标准来测试几类特殊的功能，包括有理函数，超指数函数，超几何项，代数函数的分离性。
2021-02-07 cs.SC math.CA
A Fast Approach to Creative Telescoping
本文重新研究了微分-差分算子代数中创造性伸缩关系的计算问题。我们的方法是基于显式地包括三角洲部分的矩阵的矩阵。我们贡献了几个想法，如何使这种方法的实现合理快速，并提供这样的实现。选择的例子表明，它可以优于现有的方法的一个很大的因素。
2011-06-27 cs.SC math.CO
Submodule approach to creative telescoping
本文提出利用子模分解和自同构加速可约情形下创造性伸缩的计算，分别计算各因子以节省CPU时间。
2024-05-23 cs.SC
Hermite Reduction and Creative Telescoping for Hyperexponential Functions
我们提出了一个减少算法，同时扩展了Hermite的减少有理函数和超指数函数的Hermite样减少。它产生一个唯一的加法分解，并允许决定超指数可积性。基于该约简算法，我们设计了一种计算二元超指数函数最小约简系数的新方法。它的主要特点之一是可以避免证书的昂贵计算。它的实现优于Maple的函数DEtools[Zeilberger]。此外，我们得到了一个最小的cycopers的顺序界，这是更一般和更严格的比已知的。
2013-01-21 cs.SC math.CO
Order Bounds for Hypergeometric and q-Hypergeometric Creative Telescoping
School of Mathematics and Statistics, Fuzhou University（福州大学数学与统计学院）
本文提出了一种统一算法，用于计算超几何和q-超几何项的消去器的最小顺序，并推导了其顺序的统一上界和下界。
2026-02-23 cs.SC
New Bounds for Hypergeometric Creative Telescoping
基于Abramov-Petkovšek约化的一个改进版本，去年开发了一个计算二元超几何项的最小可达性的新算法。我们在本文中进一步研究并提出了终止该算法的新论据，它提供了远程探测器存在的独立证明，甚至使我们能够推导出超几何项的远程探测器阶数的下界和上界。与文献中已知的界相比，我们的界有时更好，但绝不会比已知的更差。
2016-05-13 cs.SC math.RA
Fast Algorithms for Refined Parameterized Telescoping in Difference Fields
参数化伸缩（包括伸缩和创造性伸缩）及其改进版本在符号求和研究领域中起着核心作用。Karr在1981年引入了$ΠΣ$ -域，这是差分域的一般类，它使人们能够将这个问题考虑为无限嵌套和和乘积覆盖的特殊情况，例如，（$q$ --）超几何情形及其混合形式。这篇调查文章提出了可用的算法的框架中的$ΠΣ$ -扩展，并阐述了新的结果有关的效率。
2013-12-30 cs.SC
Parameterized Telescoping Proves Algebraic Independence of Sums
通常创造性的伸缩是用来推导递归的总和。在这篇文章中，我们表明，不存在一个创造性的伸缩解决方案，更一般地说，参数化的伸缩解决方案，证明代数独立的某些类型的总和。结合这一事实与求和理论表明超越整个类的总和。此外，这一结果对为什么，例如，Zeilberger的算法无法找到最小阶的递归。
2008-08-19 cs.SC math.CO math.NT
On the Existence of Telescopers for Rational Functions in Three Variables
Zeilberger的创造性伸缩方法对于组合恒等式和特殊函数恒等式的计算机生成证明至关重要。伸缩算子是线性微分算子或（$q$ -）递归算子，由创造性伸缩算法计算。对于一个给定的输入类，当编译器存在时，以及如果它们存在，如何有效地构造编译器是与创造性伸缩相关的两个基本问题。本文解决了18种情形的三元有理函数解的存在性问题。我们将问题的存在性从三元的情形降为二元的情形以及一些相关的问题。本文给出的存在性准则使我们能够确定终止算法的创造性伸缩与三变量合理的输入。
2020-02-17 cs.SC math.CO
A Modified Abramov-Petkovsek Reduction and Creative Telescoping for Hypergeometric Terms
Abramov-Petkovsek约简计算超几何项的加法分解，它扩展了Goerovic算法用于不定超几何求和的功能。我们修改了Abramov-Petkovsek约化，从而将超几何项分解为一个可和项和一个不可和项之和。Abramov-Petkovsek约化的输出和我们的修改版本共享相同的所需属性。修改后的约化不显式求解任何辅助线性差分方程。根据计算实验，它也比原来的约简更有效。在此基础上，我们设计了一个新的算法来计算二元超几何项的最小最小算子。新算法可以避免证书的计算开销。
2015-06-10 cs.SC math.RA
Efficient Rational Creative Telescoping
本文提出了一种计算两离散变量有理函数最小极值点的新算法。与最近的减少为基础的方法，我们的算法具有重要的功能，计算的望远镜是独立的证书。此外，我们的算法使用了一个紧凑的表示的证书，这使得它很容易被操纵和分析，而不知道精确的扩展形式。这种表示隐藏了潜在的表达式膨胀，直到最终（和可选的）扩展，这可以在扩展证书大小的时间多项式中完成。复杂性分析，以及Maple实现，表明我们的算法具有更好的理论和实际性能比减少为基础的方法在合理的情况下。
2021-08-09 cs.SC math.CO math.RA
On the length of integers in telescopers for proper hypergeometric terms
我们表明，在一个创造性的伸缩关系的期望最小的顺序为一个二元适当的超几何项的整数位数基本上立方增长的问题的大小。对于高阶低次的复变函数，我们得到了一个五次界。实验表明，这些界限是紧的。作为应用，我们给出了伸缩器首项系数的最大可能整数根的一个改进的界，并首次讨论了创造性伸缩的比特复杂度.
2014-02-24 cs.SC
Parallel Telescoping and Parameterized Picard--Vessiot Theory
平行叠积是微分创造叠积从单积分到线积分的自然推广。它计算一个线性常微分算子$L$，称为并行望远镜，为几个多元函数，这样的应用程序的$L$的功能产生一个单一的功能的反导数。本文给出了微分有限函数存在并行解的一个充要条件，并给出了计算相容超指数函数最小解的一个算法.除了计算参数线积分的零化子外，我们还利用平行伸缩法确定了一阶参数偏微分系统的伽罗瓦群。
2014-01-19 cs.SC math.CA
A Difference Ring Theory for Symbolic Summation
一个求和框架的开发，提高卡尔的差场方法。它不仅涵盖了超越扩张方面的不定套和和积，但它可以处理，例如，在单位根上定义的嵌套乘积。理论的所谓的$RΠΣ^*$ -扩展是补充算法，支持建设这样的差环自动和协助的任务，以解决符号求和问题。算法，解决参数化的伸缩方程，更一般的参数化的一阶差分方程，在给定的差环。因此，一个获得算法的总和范例的伸缩和Zeilberger的创造性伸缩。有了这个差环理论，人们得到了一个严格的求和机制，它已被应用于许多具有挑战性的问题，例如，从组合学和粒子物理学。
2015-02-03 cs.SC
Faster multivariate integration in D-modules
Inria（法国国家信息与自动化研究所）
本文提出一种新的算法解决holonomic积分中的约简问题，扩展了Griffiths-Dwork方法，提升了holonomic框架下的计算能力，并应用于8正则图生成函数的微分方程推导。
2026-03-19 cs.SC
Complete Reductions and Idempotent Representations for $RΠΣ^*$-towers
Johannes Kepler University Linz（林茨约翰·开普勒大学）
本文针对$R\Pi\Sigma^*$-扩张提出完全归约方法，通过构造差分补空间分解元素，无需解差分方程即可判定可求和性，并给出幂等表示以推广伸缩算法，显著加速参数化与创造性伸缩。
2026-09-22 cs.SC math.CO
Additive Decompositions in Primitive Extensions
本文将有理函数的经典Ostrogradsky-Hermite约化推广到更一般的函数的某些类型的本原扩张。对于这样的扩展$K$中的元素$f$，扩展约化将$f$分解为$K$中的导数与另一元素$r$的和，使得$f$在$K$中具有反导数当且仅当$r=0$ ;并且当且仅当$K$是对数扩展时，$r$是对常数的对数导数的线性组合时，$f$在$K$上具有初等反导数。此外，在某种意义上，$r$是最小的。加法分解可能导致嵌套对数函数的基于约简的创造性伸缩方法，这些方法不一定是$D$有限的。
2018-02-07 cs.SC
Efficient q-Integer Linear Decomposition of Multivariate Polynomials
本文提出了计算多元多项式的q-整数线性分解的两个新算法。这样的分解对于通过创造性伸缩处理q-超几何符号求和和描述Ore-Sato理论的q-对应物是必不可少的。这两个算法只需要基本的整数和多项式运算，并且适用于任何包含整数环的唯一分解域。在多元整数多项式情形下，对本文算法和已有的两个算法进行了完整的复杂性分析，表明本文算法具有更好的理论性能。还包括一个Maple实现，这表明我们的算法在实践中也比以前的算法快得多。
2021-02-12 cs.SC math.RA
Definite Sums of Hypergeometric Terms and Limits of P-Recursive Sequences
D-有限函数类和P-递归序列类在符号计算中的普遍性已被广泛认识。在本论文中，所提出的工作包括两个部分与这类。在第一部分中，我们将基于约简的创造性伸缩算法推广到超几何环境，这使得可以更快地处理超几何项的定和。本文首先对Abramov-Petkovsek约简进行了改进，然后基于改进的约简设计了一个计算二元超几何项最小余度的新算法。该算法避免了证书计算的开销，并且根据计算实验，无论是否计算证书，其性能都优于经典的Zeilberger算法。此外，我们还得到了最小的排序界。这些界限有时比已知的界限更好，但绝不会比已知的界限更差。在论文的第二部分，我们研究了D-有限数类。它由收敛P-递归序列的极限组成。通常，这个类除了代数数之外还包含许多著名的数学常数。我们对D-有限数类的定义依赖于复数域的两个子环。我们研究这两个子环的不同选择如何影响类。此外，我们证明了高斯有理域上的D-有限数与D-有限函数在非奇异代数数变元（所谓的正则完整常数）上的值本质上是相同的。这个结果使得识别属于这个类别的某些数字变得更容易。
2017-10-24 cs.SC
The Factorial-Basis Method for Finding Definite-Sum Solutions of Linear Recurrences With Polynomial Coefficients
找到具有多项式系数的线性递归$Ly = 0$的非零解的问题，其中$y$具有确定的超几何和的形式，与[14][Sec. [8]至今已开放30年。在这里，我们提出了一个算法（在SageMath软件包中实现），给定这样的递归和特征为零的域$\mathbb{K}$上的多项式空间$\mathbb{K}[n]$的准三角移位兼容阶乘基$\mathcal{B} = \langle P_k(n)\rangle_{k=0}^\infty$，计算解$y_n = \sum_{k=0}^\infty c_kP_k(n)$的系数序列$c = \langle c_k\rangle_{k=0}^\infty$满足的递归（其中，由于$\mathcal{B}$的准三角形性，右侧的和对于每个$n \in \mathbb{N}$终止）。更一般地说，如果$\mathcal{B}$是$m$ -筛选的一些$m \in \mathbb{N}$，我们的算法计算系统的$m$递归满足的$m$ -部分的系数序列$c$。如果能找到该方程组的显式非零解，则得到了$Ly = 0$的显式非零解。
2022-12-15 cs.MS cs.SC
Walsh functions, scrambled $(0,m,s)$-nets, and negative covariance: applying symbolic computation to quasi-Monte Carlo integration
我们研究了基$b$ Walsh函数，其中基于基$b$中的加扰$(0,m,s)$ -网的积分估计的方差小于或等于基于相同点数的蒙特卡罗估计的方差。首先计算从加扰的$(t,m,s)$ -网中随机选取的两个不同点的联合概率密度函数在基$b$中的Walsh分解，并在$t$为零的特殊情况下进行简化。利用这一点，我们得到的积分估计的函数的沃尔什系数的协方差的表达式。最后，我们证明了当函数的Walsh系数满足一定的衰减条件时，积分估计的协方差是负的。为了做到这一点，我们使用创造性的伸缩和递归求解算法从符号计算找到一个符号等价的封闭形式的表达的协方差项。
2020-06-11 cs.NA cs.SC math.NA
A computational approach to rational summability and its applications via discrete residues
本研究提出一种高效计算任意有理函数离散留数有理表示的方法，仅依赖gcd计算、线性代数与分母多项式自弥散集黑盒算法，可用于有理可和性判定、串行可和性、创造性伸缩及差分方程伽罗瓦群计算等问题。
2025-03-19 cs.SC math.CO
Computing discrete residues of rational functions
针对有理函数离散留数直接计算因分母完全因式分解复杂度高而不现实的问题，提出仅依赖gcd计算和线性代数的无因式分解算法，可用于可和性判定、创造性伸缩等多个领域。
2024-02-11 cs.SC math.AC math.CO
