A distance between maps via interleavings of relative Sullivan algebras
Shinshu University（信州大学）；Nippon Institute of Technology（日本工业大学）；Graduate School of Medicine, Science and Technology, Shinshu University（信州大学医学部理工学研究科）；Graduate School of Mathematics, Nagoya University（名古屋大学大学院数学研究科）；Faculty of Education, Kochi University（高知大学教育学部）
本文研究了通过相对Sullivan代数的交织构造映射间距离的方法，探讨了持久CDGA模型在同调集映射中的伪距离应用，以及持久CDGA与交织距离的关系。
2026-08-31 math.AT
Computing extended persistent homology of radial distance filtrations of Euclidean shapes
Division of Applied Mathematics, Brown University（布朗大学应用数学系）；Research School of Physics, Australian National University（澳大利亚国立大学物理研究学院）；Mathematical Sciences Institute, Australian National University（澳大利亚国立大学数学科学研究所）
该研究针对欧几里得形状的径向距离滤过，建立了从带边界流形边界的径向持续同调恢复其径向扩展持续同调的方法，还给出了二维像素集的相关计算算法，有望应用于生物医学图像分析领域。
2026-08-13 math.AT
Reproducing Kernel Hilbert Spaces for Virtual Persistence Diagrams
Kennesaw State University（肯尼索州立大学）
通过Grothendieck完备化将持久性图群化为格，定义相位图和特征图，引入热阻尼抑制不稳定频率，导出核的Lipschitz界并用于合成分割实验。
2026-08-26 math.AT
Persistence Spheres: Bi-continuous Representations of Persistence Diagrams
Department of Mathematics, KTH（数学系，皇家理工学院）
本研究提出持久球面这一持久图的新型双连续函数表示，兼具理论最优的稳定性与几何保真性，可高效并行计算，在多类任务基准测试中性能达到当前最优或具竞争力水平。
2025-09-21 cs.LG math.AT
ANAPT: Additive Noise Analysis for Persistence Thresholding
本文提出了一种新的加性噪声持久性分析方法（ANAPT），该方法基于噪声分布的持久性统计分析，分离出时间序列的子水平集持久性图中的重要特征。具体来说，我们考虑一个加性噪声模型，并利用统计分析提供一个噪音截止或置信区间的持久性图所观察到的时间序列。这种分析是针对几种常见的噪声模型进行的，包括高斯分布、均匀分布、指数分布和瑞利分布。ANAPT计算效率高，不需要任何信号预滤波，适用范围广，并且有开源软件可用。我们演示了数值模拟的例子和实验数据集的功能ANAPT。此外，我们提供了一个有效的$Θ(n\log(n))$算法计算零维子水平集持久性的同源。
2022-02-11 math.AT
Universal Distances for Extended Persistence
本文研究扩展持续性图的通用距离问题，证明瓶颈距离的一个更具判别力的变体是通用的，并证明实数轴上层的交错距离及 Reeb 图的交错距离均非内在距离。
2024-03-11 cs.CG math.AT
Relative Interlevel Set Cohomology Categorifies Extended Persistence Diagrams
由Cohen-Steiner、Edelsbrunner和Harer引入的扩展持久图是实值连续函数的不变量，它是$\mathbb{F}$ -驯服的，在这个意义上，所有开的层间集都有度方面的有限维上同调，系数在一个固定的域$\mathbb{F}$中。我们表明，相对层间集上同调（RISC），这是基于迈耶-Vietoris金字塔的卡尔森，德席尔瓦，和Morozov，归类这个不变量。更具体地说，我们定义了一个阿贝尔弗罗贝纽斯范畴$\mathrm{pres}(\mathcal{J})$的预层，这是在某种意义上可表示的，这样的RISC $h(f)$的$\mathbb{F}$ -驯服功能$f \colon X \rightarrow \mathbb{R}$是$\mathrm{pres}(\mathcal{J})$的对象，而且$f$的扩展持久性图唯一地确定-并确定-相应的元素$[h(f)] \in K_0 (\mathrm{pres}(\mathcal{J}))$的Grothendieck群$K_0 (\mathrm{pres}(\mathcal{J}))$的阿贝尔范畴$\mathrm{pres}(\mathcal{J})$。作为一个中间步骤，我们表明，$\mathrm{pres}(\mathcal{J})$是阿贝尔化的（本地化）范畴的复合物的$\mathbb{F}$ -线性层上的$\mathbb{…
2022-09-05 cs.CG math.AT math.KT
Gaussian Persistence Curves
拓扑数据分析（TDA）是数学、统计学和计算机科学/数据科学交叉的新兴领域。TDA的基石是持久同源性，它产生一个拓扑信息的摘要，称为持久图。为了在持久性图上利用机器和深度学习方法，通过将这些图转换为函数来进一步总结这些图。在本文中，我们研究了一类光滑的，一维的功能总结称为高斯持久曲线的稳定性和内射性。
2022-05-23 cs.CG math.AT
PersLay: A Neural Network Layer for Persistence Diagrams and New Graph Topological Signatures
持久性图是拓扑数据分析中最常用的描述符，它对数据的拓扑属性进行了编码，并在数据科学的许多不同应用中发挥了关键作用。然而，由于持久性图的（度量）空间不是希尔伯特，它们最终成为大多数机器学习技术的困难输入。为了解决这个问题，已经提出了几种向量化方法，将持久性图嵌入到有限维欧几里得空间或（隐式）无限维希尔伯特空间中。在这项工作中，我们专注于建立在图形之上的持久性图。依靠扩展的持久性理论和所谓的热核签名，我们展示了如何图可以编码（扩展）持久性图在一个可证明的稳定的方式。然后，我们提出了一个通用的和通用的框架，学习持久性图的矢量化，其中包括文献中使用的矢量化技术。最后，我们通过在现实生活中的图数据集上实现分类任务的竞争性得分，展示了我们设置的实验实力。
2020-03-09 cs.CG cs.LG math.AT
Matching distance via the extended Pareto grid
本文利用扩展 Pareto 网格分析双参数持久化匹配距离计算中真正起作用的过滤直线，并刻画其有限特殊类型。
2024-07-06 math.AT
Stochastic Homology of Gaussian vs. non-Gaussian Random Fields: Graphs towards Betti Numbers and Persistence Diagrams
随机场的拓扑和几何--欧拉特征和闵可夫斯基泛函--在宇宙微波背景（CMB）的背景下受到了很多关注，因为原始非高斯性的检测将形成早期宇宙物理学的有价值的线索。欧拉特征线和Minkowski泛函的优点在于，对于高斯随机场，它们的期望值都存在封闭形式的表达式。而Euler特征线和Minkowski泛函则是拓扑学和几何学特征的总结。随机场的同调包含了相当多的拓扑信息，因为它完整地描述了超水平集过滤中拓扑特征的产生、合并和消失。在本研究中，我们扩展了二维高斯随机场的超水平集过滤的拓扑分析，通过分析统计特性的贝蒂数-计数的连接组件和循环的数量-和持久性图-描述创建和合并的同调功能。使用同源性和临界点的功能之间的联系-所示的莫尔斯-Smale复杂-我们推导出一个参数拟合公式的期望值的贝蒂数，并将这种形式主义的持久图。此外，我们用数值方法证明了Betti数和持久性图对非高斯性存在的敏感性。
2019-08-05 astro-ph.CO math.AT
A Fast and Robust Method for Global Topological Functional Optimization
Duke University（杜克大学）；Geometric Data Analytics（几何数据分析公司）
拓扑统计，以持久性图的形式，是一类形状描述符，捕获数据中的全局结构信息。从数据结构到持久性图的映射几乎处处都是可微的，允许拓扑梯度反向传播到普通梯度。然而，作为一种优化拓扑泛函的方法，这种反向传播方法是昂贵的，不稳定的，并且产生非常脆弱的最优解。我们的贡献是引入一种新的反向传播方案，该方案显着更快，更稳定，并产生更强大的最优解。此外，该方案还可以用于产生持久性图中的点的稳定可视化，作为数据结构中的临界和近临界单形的分布。
2021-02-22 cs.LG math.AT stat.ML
Metric spaces and homotopy types
通过与Spivak的方法类比，有一个实现函子，它将单纯集上的持久性图$Y$带到扩展的伪度量空间（或ep-度量空间）$Re(Y)$。函子$Re$有一个右伴随，称为奇异函子，它把一个ep-度量空间$Z$带到持久图$S(Z)$ .我们给出了一个明确的描述$Re(Y)$，并表明它只依赖于$Y$的$1$ -骨架$sk_{1}Y$。若$X$是全序ep-度量空间，则在Vietoris-Rips图的实现$V_{\ast}(X)$与ep-度量空间$X$之间存在同构$Re(V_{\ast}(X)) \cong X$.持久性图$V_{\ast}(X)$和$S(X)$对于所有这样的$X$是分段等价的。
2020-12-16 math.AT
Bigraded Betti numbers and Generalized Persistence Diagrams
本文利用广义秩不变量的 Möbius 反演刻画二参数持续模的双分次 Betti 数，并证明区间可分解逼近具有同样编码作用，且结果不能推广至三维及以上参数。
2024-04-08 math.AT
Universality in Random Persistent Homology and Scale-Invariant Functionals
本文证明了随机点过程几何滤过产生的持续图极限分布具有普适性，并提出尺度不变量泛函普适性的通用框架，同时给出随机几何复形中Morse理论的新结果。
2024-08-12 math.AT math.PR
Persistence and Stability of the $\mathbb{A}_n$ Quiver
我们引入了两个新的距离zigzag持久化模块。第一种方法使用Auslander-Reiten交织理论，第二种方法是经典交织距离的扩展。两者都是在$\mathbb{A}_n$的完全一般方向上定义的。我们将第一个距离与M引入的块距离进行比较。Botnan和M. Lesnick和获得完整的一套尖锐的Lipschitz边界之间的两个（瓶颈距离）在纯锯齿方向。论文的最后一部分提出了扩展交织距离所需的尖锐Lipschitz界，以主导从Auslander-Reiten距离创建的距离。这些界限获得的一般取向的$\mathbb{A}_n$电子。
2020-01-17 math.AT math.RT
On the complexity of zero-dimensional multiparameter persistence
多参数持久性是持久性同源性的自然扩张，引起了人们的广泛兴趣。然而，有重大的理论障碍，阻止充分发展这一有前途的理论。在本文中，我们认为有趣的特殊情况下，多参数持久性零维，可以被视为一种形式的多参数聚类。特别地，我们考虑了滤子拓扑空间的零维同调的多参数持久模，当它们是零生成的时候。在一定的假设下，我们刻画了这类模，并研究了它们的分解。特别是，我们确定了一个自然类的表示，分解，并可以扩展回形成零维多参数持久性模块。我们对这组表示的研究得出结论，尽管有限制，在这组中仍然有无限多类不可分解的。
2020-08-26 math.AT math.CO math.RT
N^d-indexed persistence modules, higher dimensional partitions and rank invariants
University of Missouri（密苏里大学）
本文通过高维分拆研究可分解的N^d-指标持久性模，给出其秩不变量相同的充要条件，推广了N-指标情形下秩不变量为完全不变量的经典结论。
2025-10-27 math.AG math.AT math.CO
Limit Theorems for Verbose Persistence Diagrams
本文针对随机点云引入冗长持续图的极限定理，证明其强大数定律、刻画支集与总质量，并扩展持续贝蒂数概念，将既有随机持续同调结果推广至冗长图设定。
2025-09-26 math.AT math.PR
Stochastic Convergence of Persistence Landscapes and Silhouettes
持久同源性是拓扑数据分析中广泛使用的工具，它将多尺度拓扑信息编码为平面上的多点集，称为持久性图。将统计理论直接应用于图表的随机样本是困难的。相反，我们可以用Bubenik引入的持久性景观来总结持久性同源性，它将图转换为行为良好的实值函数。我们研究了景观的统计性质，如平均景观的弱收敛性和自助法的收敛性。此外，我们介绍了一个替代功能的持续同源性，我们称之为剪影总结，并得出一个类似的统计理论。
2013-12-02 cs.CG math.AT math.ST
Persistence Diagram Estimation of Multivariate Piecewise Hölder-continuous Signals
本文在非参数回归背景下，从极小化极大视角研究含噪多元分段 Hölder 连续信号的持续图估计，证明在控制不连续点集 reach 的条件下，简单直方图估计量即可达到已知 Hölder 连续函数的极小化极快速率。
2025-06-02 math.AT math.ST stat.TH
Categorification of persistent homology
我们从范畴的角度重新开发持久同源性（拓扑持久性）。主要研究对象是在某个目标范畴内由实数偏序集索引的图。这组图有一个交织距离，我们发现，概括了以前研究的瓶颈距离。为了说明这种方法的实用性，我们大大推广了以前的稳定性结果的持久性，扩展持久性，内核，图像和cokernel持久性。我们给出了一个自然的结构，这些图的一个类别的交织，并表明，如果目标类别是阿贝尔，所以是这个类别的交织。
2014-01-08 cs.CG math.AT math.CT
Persistent homology of time-dependent functional networks constructed from coupled time series
我们使用拓扑数据分析来研究“功能网络”，我们从实验和合成来源的时间序列数据构建。我们使用持久同源性与权重秩集团过滤来深入了解这些功能网络，我们使用持久性景观来解释我们的结果。我们的第一个例子使用耦合仓本振荡器网络的时间序列输出。我们的第二个例子包括功能性磁共振成像（fMRI）数据形式的生物学数据，这些数据是在一个简单的运动学习任务中从人类受试者那里获得的，在这个任务中，受试者在五天的时间内被监测三天。通过这些例子，我们证明了（1）使用持久同源性来研究功能网络提供了对其性质的迷人见解，（2）过滤中特征的位置有时可以在拓扑特征的解释中发挥比持久性更重要的作用，即使后者通常用于区分信号和噪声。我们发现，持续的同源性可以检测到我们的数据集随着时间的推移同步模式的差异，使洞察网络中的社区结构的变化，并在运动学习过程中在功能网络中形成循环的大脑区域之间的同步增加。对于运动学习数据，持久性景观还显示，平均而言，网络循环中的大多数变化发生在学习过程的第二天。
2016-12-03 cond-mat.dis-nn math.AT nlin.AO
Persistence Diagram Bundles: A Multidimensional Generalization of Vineyards
本文提出持久图丛概念以推广葡萄园，证明一般纤维化过滤函数在光滑紧流形上具有有限分层模板结构，并构造胞腔层以判定局部截面能否扩展为全局截面。
2023-08-11 cs.CG math.AT
Vectorization of Persistence Diagrams for Topological Data Analysis in R and Python Using TDAvec Package
Bowling Green State University（博伊尔格林州立大学）
针对持久性图空间非希尔伯特特性难以直接用于机器学习的问题，本文推出TDAvec软件包，可在R和Python中实现持久性图向量化，提供直观工作流与高级功能，助力应用拓扑数据分析。
2025-10-22 cs.CV math.AT
Persistence Spheres: a Bi-continuous Linear Representation of Measures for Partial Optimal Transport
Institute of Computing, Faculty of Informatics, Universitá della Svizzera Italiana（计算研究所、信息学院、瑞士联邦理工学院）
本文提出持久球体，一种双连续的线性表示法，用于部分最优运输，通过凸几何构建，提供参数自由的度量表示，并在多个任务中优于现有方法。
2026-07-30 cs.LG math.AT math.ST
From Persistence to Survival: Hypothesis Testing, Effect Sizes and Vectorisation for Topological Features
Department of Machine Learning and Systems Biology, Max Planck Institute of Biochemistry, Martinsried, Germany（机器学习与系统生物学部门，马克斯·普朗克生物化学研究所，马尔廷斯里德，德国）
提出STRAND方法，将持久性图视为生存数据，利用持久性生存函数统一实现假设检验、效应大小计算和向量化，在合成数据和真实基准上验证了有效性。
2026-06-11 cs.LG math.AT stat.ML
Complex Matching Distance and Stability for Minimal Projective Resolutions, with Applications to Persistence
Department of Mathematics, Faculty of Science, Shizuoka University（静冈大学理学部数学系）；Osaka Central Advanced Mathematical Institute（大阪中央高级数学研究所）；Department of Mathematics, Colorado State University（科罗拉多州立大学数学系）
本文研究了有限度量偏序集P的最小投射解析的稳定性理论，引入了新的复杂匹配距离，并应用于持续性图的稳定性分析。
2026-08-30 math.AT math.CT math.RT
A Class of Topological Pseudodistances for Fast Comparison of Persistence Diagrams
Universidad de Chile（智利大学）；UC Chile（智利大学）；Department of Electrical Engineering（电气工程系）
本文提出扩展拓扑伪距离（ETD），通过可调复杂度在持久性统计与Wasserstein距离之间插值，兼顾精度与计算效率，并实验验证其优势。
2024-02-22 cs.CG cs.CV cs.LG
Topological Data Analysis of Task-Based fMRI Data from Experiments on Schizophrenia
我们使用计算代数拓扑学的方法来研究功能性脑网络，其中节点代表脑区域，加权边缘编码来自每个区域的fMRI时间序列的相似性。有了这些工具，它允许人们描述拓扑不变量，如高维数据中的循环，我们能够以一种补充基于成对相互作用的传统方法的方式来理解网络中的低维结构。在本文中，我们使用持续同源性分析网络，我们构建基于任务的功能磁共振成像数据从精神分裂症患者，健康对照组，精神分裂症患者的健康兄弟姐妹。因此，我们探索的持久性拓扑结构，如在这些网络中的不同尺度的循环。我们使用持久性景观和持久性图像创建输出摘要，从我们的持久性同源性计算，我们研究的持久性景观和图像使用$k$ -均值聚类和社区检测。基于我们对持久性景观的分析，我们发现兄弟队列的成员具有与其他两个队列不同的拓扑特征（特别是它们的一维循环）。从持久性图像中，我们能够区分所有三个受试者组，并确定环路中的大脑区域（具有四个或更多个边缘），使我们能够进行这些区分。
2020-08-25 cond-mat.dis-nn math.AT nlin.AO
The Topology of the Cosmic Web in Terms of Persistent Betti Numbers
我们介绍了一个多尺度的拓扑描述兆秒差距网状宇宙物质分布。贝蒂数和拓扑持久性提供了一种强有力的手段来描述宇宙网的丰富的连通性结构及其物质和星系的多尺度排列。Betti数和持久性图源自代数拓扑和Morse理论，是宇宙学上熟悉的拓扑亏格测度和相关几何Minkowski泛函的扩展和深化。除了描述的数学背景，本研究提出了计算贝蒂数和持久性图的密度场过滤的计算程序。该场可以从星系或模拟粒子的离散空间分布开始计算。本研究的主要重点是广泛而系统地探索不同的网状形态和不同层次的多尺度聚类在相应的计算贝蒂数和持久性图的印记。为此，我们使用Voronoi聚类模型作为模板的丰富多样的网状配置，和分形的Soneira-Peebles模型的范围内的多尺度配置。我们已经确定了清晰的印记集群节点，细丝，墙壁，并在持久性图中的空隙，随着嵌套层次结构的多尺度点分布。最后，我们概述了持久的拓扑结构的潜力，了解宇宙网络的连接结构，在大型模拟宇宙结构的形成，并在具有挑战性的背景下观察到的星系分布在大型星系调查。
2017-01-31 astro-ph.CO math.AT
Topological Data Analysis with Bregman Divergences
给定度量空间中的有限集，拓扑分析使用1-参数族的同调群来量化所有维度中的连通性，从而将层次聚类推广。连接性由持久性图来描述。当前框架的一个局限性是依赖于度量距离，而在许多实际应用中，对象是通过非度量相异性度量进行比较的。例如Kullback-Leibler分歧，通常用于比较文本和图像，以及Itakura-Saito分歧，流行于语音和声音。这是布雷格曼分歧的两个成员。我们表明，拓扑数据分析的框架可以扩展到一般的Bregman分歧，拓宽了可能的应用范围。特别是，我们证明了适当的广义切赫和Delaunay（α）复合捕捉正确的同伦类型，即相应的联盟的Bregman球。因此，他们的过滤给出了正确的持久性图，即由均匀增长的Bregman球产生的持久性图。此外，我们表明，与度量设置，过滤的Vietoris-Rips复杂的可能无法近似持久性图。我们提出了算法来计算因此广义的切赫，Vietoris-Rips和Delaunay复合物和实验测试其效率。最后，我们解释了他们令人惊讶的良好表现，使离散莫尔斯理论的连接。
2016-07-21 cs.CG math.AT
