Expected perimeter and area of the convex hull of planar Brownian motion stopped upon exiting the unit disk
University of Zagreb Faculty of Science（萨格勒布大学理学院）；Department of Mathematics and Statistics, Saint Louis University（圣路易斯大学数学与统计系）；University of Zagreb Faculty of Electrical Engineering and Computing（萨格勒布大学电气工程和计算学院）
研究平面布朗运动在退出单位盘时凸包的周长期望，通过计算最大水平位移的期望值，利用截断盘的调和测度得出精确表达式，并讨论凸包面积期望的非平凡界及计算难度。
2026-07-03 cond-mat.stat-mech math.MG math.PR
Bounds on the size of the convex hull of planar Brownian motion and related inverse processes
本文研究了标准平面布朗运动凸包的外接圆半径与内切圆半径期望值上下界，并给出相关逆过程界限以揭示凸包尺寸增长速度。
2024-10-11 math.PR
Mean perimeter and area of the convex hull of a planar Brownian motion in the presence of resetting
我们精确地计算了$2$ -d布朗运动的凸包的平均周长和平均面积，其持续时间为$t$，扩散常数为$D$，在以恒定速率$r$重置到原点的情况下。我们表明，对于任何$t$，平均周长是由$\langle L(t)\rangle= 2 π\sqrt{\frac{D}{r}}\, f_1(rt)$和平均面积是由$\langle A(t) \rangle= 2π\frac{D}{r}\, f_2(rt)$的缩放功能$f_1(z)$和$f_2(z)$明确计算。对于大的$t\gg 1/r$，平均周长随时间的增长非常缓慢，如$\langle L(t)\rangle \propto \ln (rt)$。同样，对于$t\gg 1/r$，平均面积也缓慢增长为$\langle A(t)\rangle \propto \ln^2(rt)$。我们的精确结果表明，凸包，在重置的存在下，在后期接近圆形。数值模拟与我们的分析预测完全一致。
2020-11-16 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Scaling limits for the peeling process on random maps
我们研究了在马尔可夫探索中发现的区域的体积和周长的标度极限，称为剥离过程的无限随机平面地图，如均匀无限平面三角剖分（UIPT）或四边形剖分（UIPQ）。特别是，我们的研究结果适用于度量探索或剥离层算法，其中发现的区域是（几乎）完成球，或船体，在根顶点为中心。壳的周长和体积的标度极限可以用我们以前研究的布朗平面的壳过程表示。其他应用包括我们的无限随机格的对偶图的度量探索，以及对偶图上具有指数边权重的首次通过渗流，也称为伊甸园模型或均匀剥离。
2015-07-19 math.PR
Convex hulls of planar random walks
对于平面随机游动的第一步$n$凸壳的周长$L_n$和面积$A_n$，本文研究了$n \to \infty$的均值和方差渐近性，并建立了分布极限。结果适用于随机游动与漂移（随机游动增量的平均值）和没有漂移下的增量温和的时刻假设。假设随机游走的增量具有有限的二阶矩和非零均值，Snyder和Steele证明了$n^{-1} L_n$几乎必然收敛到一个确定性极限，并证明了方差Var $[ L_n] = O(n)$的上限。我们证明了$n^{-1}$ Var $[L_n]$收敛，并给出了一个简单的表达式的限制，这是非零的一定退化类以外的行走。这回答了斯奈德和斯蒂尔的一个问题。进一步证明了非退化情形下$L_n$的中心极限定理。然后，我们专注于周长没有漂移和面积漂移和零漂移的情况下。这些结果补充和对比与以前的工作，并建立非高斯分布的限制。我们推导出这些结果从弱收敛声明的凸包的随机游动的比例限制定义的凸包的某些布朗运动。我们给出的界限，确认我们的结果中的极限方差是非零的。
2017-09-06 math.PR
Convex hull of Brownian motion and Brownian bridge
本文研究平面布朗运动与独立布朗桥轨迹并集的凸包，给出其周长与面积期望的精确值及联合最大值时刻密度，并推广到多个独立过程。
2024-06-11 math.PR
Convex hulls of planar random walks with drift
用$L_n$表示增量具有有限二阶矩和非零均值的平面随机游动的$n$步的凸包的周长。Snyder和Steele证明了$n^{-1} L_n$几乎必然收敛到一个确定性极限，并证明了方差$Var [ L_n] = O(n)$的上界。我们证明了$n^{-1} Var [L_n]$收敛，并给出了一个简单的表达式的限制，这是非零的一定退化类以外的行走。这回答了斯奈德和斯蒂尔的一个问题。进一步证明了非退化情形下$L_n$的中心极限定理。
2013-01-17 math.PR
Convex Hull of N Planar Brownian Motions: Exact Results and an Application to Ecology
我们精确计算的平均周长和面积的凸包的N个独立的平面布朗路径的持续时间T，无论是开放和封闭的路径。我们证明了对于所有T，平均周长< L_N >= α_N，\sqrt{T}和平均面积<A_N>= β_NT。前因子α_N和β_N是对所有N精确计算的，它们随N的增加而缓慢地增加。这种缓慢的增长是极端值统计的结果，并在生态环境中有有趣的含义，估计一群动物的家庭范围与人口规模N。
2009-10-01 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Spatial Markov property in Brownian disks
本文推导出Brownian盘的带标号树森林表示，并据此证明其补集在给定周长下独立的空间Markov性质，证明依赖于带边界三角剖分的peeling过程。
2024-04-29 math.PR
On the convex hull of a planar Brownian bridge with a random Gaussian endpoint
University of Zagreb（萨格勒布大学）；University of Zagreb Faculty of Electrical Engineering and Computing（萨格勒布大学电气工程和计算学院）
研究一类各向同性平面高斯过程，计算其凸包的期望周长和面积，得到关于参数σ的闭式公式，并推广到多个独立过程的情形。
2026-06-24 math.PR
Convex hull of n planar Brownian paths: an exact formula for the average number of edges
建立了平面上n条独立布朗路的整体凸包的边界上出现的平均边数的精确公式。这需要引入一个计数标准，这相当于“切断”在特定意义上很小的边缘。主要的论点包括在平面布朗凸包和配置的约束，独立的线性布朗运动之间的映射。这个新的公式是通过恢复平面上布朗凸包边界的平均周长的一个已有的精确结果而得到的。
2012-10-03 cond-mat.stat-mech math.PR
Fragmentation processes and the convex hull of the Brownian motion in a disk
本文研究质量在(0,1)内、分裂速率正比于对数质量倒数的非齐次碎裂过程，刻画典型碎片的拉普拉斯变换及长时间渐近行为，并将其与圆盘内反射布朗运动凸包周长增长的物理预测建立联系。
2023-12-04 math.PR
Statistics of the maximum and the convex hull of a Brownian motion in confined geometries
本文研究了具有反射边界的$d$维球中扩散系数为$D$的布朗粒子.我们研究了粒子在时间$t$时沿$x$ -方向的轨迹的最大值$M_x(t)$。对于$t\to \infty$，在长时间限制下，最大值收敛于球的半径$M_x(t) \to R$。我们调查如何接近这个极限，并获得一个精确的解析表达式的波动$Δ(t) = [R-M_x(t)]/R$的分布在所有尺寸的大$t$的极限。我们发现，分布的$Δ(t)$表现出丰富多样的行为，这取决于尺寸$d$。这些结果是通过建立这个问题和窄逃逸时间问题之间的联系而得到的。我们应用我们的结果在$d=2$中研究粒子在半径为$R$的具有反射边界的圆盘中的轨迹的凸包。我们发现，平均周长$\langle L(t)\rangle$的凸包表现出一个缓慢的收敛到周长的圆$2πR$与拉伸指数衰减$2πR-\langle L(t)\rangle \propto \sqrt{R}(Dt)^{1/4} \,e^{-2\sqrt{2Dt}/R}$。最后，我们将我们的结果推广到其他限制的几何形状，如椭圆反射边界。我们的结果得到了全面的数值模拟的证实。
2021-12-10 cond-mat.stat-mech math.PR
U-max-Statistics and Limit Theorems for Perimeters and Areas of Random Polygons
最近W。Lao和M. Mayer [6]，[7]，[9]考虑了$U$ -max -统计量，其中出现的不是sum而是同一组索引上的最大值。这种统计经常出现在随机几何中。给出了球中任意点间的最大距离、任意多边形的最大直径、任意点的样本内的最大标量积等的例子，它们的极限分布与极值的分布有关。在文[6]、[7]、[9]中得到的有趣结果中，有关于内接于圆周上的随机三角形的最大周长和最大面积的极限定理。本文将这些定理推广到凸$m$ -多边形，即圆周上具有随机顶点的$m \geq 3,$.其次，解决了一个类似的问题的最小周长和最小面积的外切$m$ -多边形，以前没有考虑在文献中。最后，我们讨论了当$m \to \infty.$
2013-01-07 math.PR
Extremal random beta polytopes
本文讨论了多个独立同分布函数的凸包。$\mathbb R^d$中的β分布随机向量称为随机β多面体。最近，它们的固有体积、面数、法向角和切向角以及其他量的期望值已经被明确地和渐近地计算。本文研究了具有极值内禀体积的β多面体的渐近性质。我们提出一个猜想，并解决它在二维。为此，我们得到了一些一般的极限关系的广泛的一类$U$ - $\max$统计，其内核包括周长和面积的凸包的参数。
2021-11-14 math.PR
Random Convex Hulls and Extreme Value Statistics
本文研究了平面上按给定分布选取的$N$随机点的凸包的统计性质。这些点可以独立地选择，或者它们可以是相关的。经过一个非详尽的调查有点零星的文献和不同的方法中使用的随机凸包问题，我们提出了一个统一的方法，基于支持函数的概念，一个封闭的曲线和相关的柯西公式，使我们能够精确计算的平均周长和平均面积封闭的凸多边形的情况下，独立的以及相关的点。我们的方法演示了一个美丽的随机凸包问题和极值统计之间的联系。作为相关点的一个例子，我们在这里详细研究的情况下，当点代表$n$独立随机游动的顶点。在连续时间限制，这减少到$n$独立的平面布朗轨迹，我们精确计算，为所有$n$，平均周长和平均面积的全球凸包。我们的研究结果在生态学中有相关的应用，估计一群动物的家范围。其中一些结果是最近在一个简短的通信中宣布的[Phys. Rev. Lett. { \bf 103}，140602（2009）]。
2009-12-03 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Convex hulls of multidimensional random walks
设$S_k$是$R^d$中的随机游动，使得其增量分布不将质量分配给超平面。我们研究的概率$p_n$的凸壳$conv (S_1, \ldots , S_n)$的第一步$n$的走动不包括原点。通过给出一个显式公式，证明了对于平面对称分布的随机游动，$p_n$不依赖于增量的分布.这扩展了Sparre Andersen（1949）的著名结果，即满足上述连续性和对称性假设的一维随机游动以无分布概率保持正。我们还发现的渐近$p_n$为$n \to \infty$的任何平面随机游动与零均方可积增量。我们进一步发展我们的方法从平面的情况下，研究了广泛的一类几何特征的凸包的随机游动在任何维$d \ge 2$。特别是，我们给出了面数、体积、表面积和其他内禀体积的期望值的公式，包括斯皮策-Widom公式（1961）在平面行走周长上的多维推广：$$ E V_1 (conv(0, S_1, \dots, S_n)) = \sum_{k=1}^n \frac{E \|S_k\|}{k}, $$其中$V_1$表示第一内禀体积，它与平均宽度成比例。这些结果在几何学中有应用，特别是，包含了Gao和Vitale（2001）关于特殊路径单形的内禀体积的公式，称为规范正交格式，它是Wiener螺旋的闭凸包的有限维近似。此外，这些单形的球形内禀体积与概率$p_n$之间存在直接联系。我们也证明了类似的结果随机行走桥的凸包，更…
2017-07-31 math.PR
Functional limit theorems for random walks
利用泛函极限定理研究了$d$维随机游动轨迹的一些几何性质。重点介绍了泛函大数定律和泛函中心极限定理（Donsker定理）。对于后者，我们调查的基础弱收敛理论，借鉴大量的比林斯利的论述，但明确对待多维的情况。我们的两个主要应用是随机游动的凸包和与随机游动相关的质心过程。特别是，我们建立了极限集的凸包在两个不同的情况下，零和非零漂移，提供洞察直径，平均宽度，体积和表面积泛函。对于质心过程，我们在大数定律和中心极限定理域都找到了极限过程。
2018-10-15 math.PR
The Poisson-Voronoi cell around an isolated nucleus
考虑一个平面随机点过程，它由一个点（原点）和一个泊松点过程的并集组成，该点过程在围绕原点的确定性集合之外具有均匀强度。当强度趋于无穷大时，我们证明了与原点相关的Voronoi胞从上到下收敛到一个确定性的凸集。我们描述了这一集合，并给出了它的缺陷面积，缺陷周长和顶点数的期望的渐近性。在此过程中，我们将讨论两个中介问题。首先，我们描述了Poisson-Voronoi胞腔的平均特征，条件是在原点周围包含一个固定的凸体，其次，我们证明了这样的细胞的核收敛到凸体的Steiner点。正如雷尼和苏兰克关于随机凸包的开创性论文一样，凸体的正则性至关重要。我们处理光滑和多边形的情况。技术是基于特别是准确估计的Voronoi花的面积和支撑函数的细胞包含的起源以及Efron型关系。
2016-12-09 math.PR
Conditioning random points by the number of vertices of their convex hull: the bi-pointed case
本文研究三角形内带双端点的随机点凸包链在顶点数条件下的渐近行为，证明了依赖参数λ的双曲线-抛物线相变，给出相关概率对数展开，并推广至一般紧凸集的结果与猜想。
2025-10-30 math.CO math.DG math.PR
Asymptotic Bounds on the Combinatorial Diameter of Random Polytopes
多面体$P$的组合直径$\operatorname{diam}(P)$是任意一对顶点之间的最大最短路径距离。在本文中，我们提供了一个随机的“球形”多面体，这是紧的一个因素的尺寸时，不等式的数量是大的尺寸相比，组合直径的上界和下界。更确切地说，对于由$n$ i.i.d.\半空间，其法线是从球均匀选择，我们证明了$\operatorname{diam}(P)$是$Ω(n m^{\frac{1}{n-1}})$和$O(n^2 m^{\frac{1}{n-1}} + n^5 4^n)$的高概率时，$m \geq 2^{Ω(n)}$。对于上界，我们首先证明，在任何固定的二维投影的顶点数急剧集中在其期望时，$m$是大的，我们依赖于$Θ(n^2 m^{\frac{1}{n-1}})$界的期望，由于Borgwardt [数学。结果：1999年]。为了获得直径上限，我们使用最坏情况的直径界限将这些“阴影路径”缝合在一起，以将顶点连接到最近的阴影。对于下界，我们首先减少到下界的对偶多面体$P^\circ$，对应于一个随机凸包的直径，通过显示关系$\operatorname{diam}(P) \geq (n-1)(\operatorname{diam}(P^\circ)-2)$。然后证明了$P^\circ$的任意“nearly”对映对顶点之间的最短路径的长度为$Ω(m^{\frac{1}{n-1}})$…
2021-12-24 cs.DM math.CO math.MG
