无$(P_7,C_4,C_5)$图类：分解、算法和$χ$ -有界性
The class of $(P_7,C_4,C_5)$-free graphs: decomposition, algorithms, and $χ$-boundedness
摘要：
通常，$P_n$（$n \geq 1$）表示$n$顶点上的路径，$C_n$（$n \geq 3$）表示$n$顶点上的循环。对于图族$\mathcal{H}$，如果$G$的导出子图都不同构于$\mathcal{H}$中的任何图，则称图$G$是$\mathcal{H}$ -free的.我们提出了一类$(P_7,C_4,C_5)$ -free图的分解定理，事实上，我们给出了一个完整的结构特征的$(P_7,C_4,C_5)$ -free图，不承认一个cumber-cutset。我们利用这个分解定理证明了无$(P_7,C_4,C_5)$图类是由一个线性函数$χ$ -有界的（更精确地说，每个无$(P_7,C_4,C_5)$图$G$满足$χ(G) \leq \frac{3}{2} ω(G)$）.我们还使用分解定理来构造一个$O(n^3)$算法的最小着色问题，一个$O(n^2m)$算法的最大重量稳定集的问题，和一个$O(n^3)$算法的最大重量团的问题，这类，其中$n$表示的顶点数和$m$的边数的输入图。
英文摘要：
As usual, $P_n$ ($n \geq 1$) denotes the path on $n$ vertices, and $C_n$ ($n \geq 3$) denotes the cycle on $n$ vertices. For a family $\mathcal{H}$ of graphs, we say that a graph $G$ is $\mathcal{H}$-free if no induced subgraph of $G$ is isomorphic to any graph in $\mathcal{H}$. We present a decomposition theorem for the class of $(P_7,C_4,C_5)$-free graphs; in fact, we give a complete structural characterization of $(P_7,C_4,C_5)$-free graphs that do not admit a clique-cutset. We use this decomposition theorem to show that the class of $(P_7,C_4,C_5)$-free graphs is $χ$-bounded by a linear function (more precisely, every $(P_7,C_4,C_5)$-free graph $G$ satisfies $χ(G) \leq \frac{3}{2} ω(G)$). We also use the decomposition theorem to construct an $O(n^3)$ algorithm for the minimum coloring problem, an $O(n^2m)$ algorithm for the maximum weight stable set problem, and an $O(n^3)$ algorithm for the maximum weight clique problem for this class, where $n$ denotes the number of vertices and $m$ the number of edges of the input graph.
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