Solutions to the Einstein constraint equations with a small TT-tensor and vanishing Yamabe invariant
Romain Gicquaud
本文证明了在$L^2$中，当TT张量很小时，Yamabe不变量为零的度量的Einstein共形约束方程的存在性结果.
In this note we prove an existence result for the Einstein conformal constraint equations for metrics with vanishing Yamabe invariant assuming that the TT-tensor is small in $L^2$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Yamabe flow and ADM Mass on asymptotically flat manifolds
本文研究了ADM质量和Einstein-Hilbert泛函在Yamabe流下的行为。通过加权空间对Yamabe流的研究，证明了在$n$维、$n\geq 3$、渐近平坦流形上Yamabe流下，ADM质量和Einstein-Hilbert泛函是定义良好的且单调非增的.在维数为$n=3$或4的情况下，我们得到了ADM质量在Yamabe流下是不变的，Yamabe流是渐近平坦流形上Einstein-Hilbert泛函的梯度流
Quaternionic contact Einstein structures and the quaternionic contact Yamabe problem
给出了四元数球面上四元数接触Yamabe问题的一个部分解。证明了当Biquard联络的水平Ricci张量的无迹部分为零时，Biquard联络的挠率恰好为零，并且这恰好发生在3-Sasakian流形上.明确地描述了将四元数海森堡群上的标准平坦无挠四元数切触结构变换为双二次联络的挠率为零的四元数切触结构的所有共形变形.提出了四元数切触结构无穷小共形自同构的一种“3-Hamilton形式”。
An Alternative Between Non-unique and Negative Yamabe Solutions to the Conformal Formulation of the Einstein Constraint Equations
保角方法对于封闭三维流形上的Einstein约束方程的参数化求解是有效的。然而，它仍然没有得到很好的理解;例如，零或负Yamabe度量的共形方程的解的存在性仍然是未知的，没有所谓的“CMC”或“近CMC”假设。第一个没有这种假设的存在结果，称为“远离CMC”的情况，是由Holst，Nagy和Tsogtgerel在2008年获得的正Yamabe度量。然而，他们的结果是基于拓扑参数，因此解决方案的唯一性是未知的。事实上，麦克斯韦在2011年给出的证据表明，在某些情况下，远离CMC的解决方案并不是唯一的。在这篇文章中，我们提供了进一步的洞察力，通过建立一般远离CMC的解决方案的替代定理的类型。对于一个给定的流形M，若度量g（0）具有正的纯量曲率和纯量平坦，且不具有共形Killing场，我们首先证明了存在一个解析的单参数度量族g（z）到g（0），使得R（g（z））= z.使用这一系列的度量和给定的数据（tau，sigma，rho，j），我们形成一个单参数家庭的运营商F（（phi，w），z），其零点满足共形方程。应用Liapnuov-Schmidt约化，通过F（（phi，w），z）线性化消失的临界点，确定了F（（phi，w），z）= 0的解析解曲线.这条曲线的规律性，F（（phi，w），z）的定义，以及Holst等人早期的远离CMC的结果，使我们能够证明以下远离CMC解的替代定理：或者（1）…
Progress on nonuniqueness of solutions to the vacuum Einstein conformal constraint equations with positive Yamabe invariant
本文利用半连续性的概念推广了经典的不动点定理，并应用它改进了作者在arxiv.org/abs/1507.01081上发表的真空Einstein共形方程解的非唯一性结果
Compactness and Non-compactness for the Yamabe Problem on Manifolds With Boundary
研究了黎曼结构到常数量曲率且边界上中曲率为零的共形变形问题。当边界为脐点且维数为$n \leq 24$时，证明了解的紧性。在这些假设下，建立了Weyl消灭定理，并给出了当$n \geq 25$ .最后，我们的方法指向一个消灭定理的脐张量，这是预期的nonumbilic情况下的研究的基础。
Nodal solutions of Yamabe-type equations on positive Ricci curvature manifolds
考虑一个闭上齐次的维数为$n\geq 3$的黎曼流形$(M^n,g) $.当$M$的里奇曲率为正时，证明了具有$λ>0$，$q>1$的$-Δ_g u + λu = λu^q$形式的方程无穷节点解的存在性.特别是对于一个正的爱因斯坦流形是上齐性的一个或纤维上的上齐性的一个爱因斯坦流形，我们证明了无限节点解的Yamabe方程的存在性，其节点域的连接组件的规定数量。
Far-from-constant mean curvature solutions of Einstein's constraint equations with positive Yamabe metrics
本文利用Lichnerowicz-York共形重标度方法得到了爱因斯坦约束方程解的一些新的存在性结果。平均非本征曲率被认为是一个任意光滑函数，对它的空间导数的大小没有限制，所以它可以是任意远离常数。重新标度的背景度规属于正Yamabe类，并且由重新标度的非本征曲率的无痕横向部分和物质场给出的数据的可自由指定部分被取为足够小，物质能量密度不恒为零。使用拓扑不动点参数和全球壁垒建设，然后我们建立的约束的解决方案的存在性。爱因斯坦约束方程分析的两个最新进展使这一结果成为可能：一种新型的拓扑不动点论点没有小条件的平均外部曲率的空间导数，和一个新的建设的整体超解的哈密顿约束，同样是免费的平均外部曲率的条件。为了清楚起见，我们只给出闭流形上强解的结果。然而，我们的结果也适用于弱解和其他情况，如紧流形的边界;这些推广将出现在其他地方。这里提出的爱因斯坦约束的存在性结果显然是第一个这样的结果，不需要小的平均外部曲率的空间导数的条件。
Uniformization Theorems: Between Yamabe and Paneitz
本文讨论了Yamabe问题的一个推广形式的存在性结果。首先，我们证明了Gonzalez和Qing提出的广义Yamabe问题的幂范围$γ\in (0,1)$的其余全局情形。其次，基于Case和Chang提出的一种新方法，我们证明了这个Yamabe问题在Poincaré-Einstein情形下对于$γ\in (1,\min\{2,n/2\})$是可解的，只要相关的分数GJMS算子满足强最大值原理.
Nonuniqueness for a fully nonlinear boundary Yamabe-type problem via bifurcation theory
推广Escobar提出的边界Yamabe问题的一种方法是问一个紧带边流形上的给定度量是否可以共形变形，使其内部的$σ_k$ -曲率为零，而边界上的$H_k$ -曲率为常数。当限制为正$k$ -锥的闭包时，这是一个具有完全非线性Robin型边界条件的完全非线性退化椭圆边值问题.我们证明了一个一般的分歧定理，它使我们能够构建紧凑的黎曼流形$(X,g)$的例子，这个问题承认多个非位同解的情况下，当$2k<\dim X$。我们的例子都是这样的，它的诱导度量的边界是一个黎曼产品的圆形领域的爱因斯坦流形。
Yamabe metrics on conical manifolds
本文在具有锥点和Einstein型锥链的奇异流形上证明了一般类型Yamabe度量的存在性，通过向标准气泡添加隐式低阶修正项并利用对称二张量场分解与Fourier分析推导Yamabe商的渐近展开，得到了Aubin经典结果的奇异对应版本。
Nonexistence and Nonuniqueness Results for Solutions to the Vacuum Einstein Conformal Constraint Equations
本文给出了真空Einstein共形约束方程在远离CMC情形下的不存在性和非唯一性结果，并证明了在某些情形下，正Yamabe度规和TT张量$σ$ = 0的共形方法方程有非平凡解，从而回答了D.麦克斯韦
On the scalar curvature rigidity for mainifolds with non-positive Yamabe invariant
本文研究Yamabe不变量非正的光滑流形上非光滑度量的标量曲率刚性，通过几何演化方程的分析估计，将相关定理从Yamabe不变量为零的特例推广到非正一般情形，证明满足分布意义下标量曲率条件的流形必与Einstein流形等距。
Singular Yamabe problem for scalar flat metrics on the sphere
令$Ω$是单位$n$ -球面$ \mathbb S^n$上的域，并且$\mathring{g}$是$\mathbb S^n$、$n\ge 3$的标准度量。证明了存在一个标量曲率为零的共形度量$g$，使得$(Ω, g)$是完备的当且仅当Bessel容量为$\mathcal C_{α, q}(\mathbb S^n\setminus Ω)=0$，其中$α=1+\frac2n$和$q=\frac n2$ .我们的分析利用了一些众所周知的性能的能力和沃尔夫潜力，以及版本的Hopf-Rinow定理的发散曲线。
Clustering phenomena for linear perturbation of the Yamabe equation
设$(M,g)$是一个非局部共形平坦的紧致黎曼流形，维数为$N\ge7.$.我们主要研究Yamabe问题$$-\mathcal L_g u+εu=u^{N+2\over N-2}\ \hbox{in}\ (M,g) $$的线性扰动的正解，其中共形拉普拉斯算子$-\mathcal L_g $的第一特征值是正的，$ε$是一个小的正参数.我们证明了对于任意点$ξ_0\in M$，它是Weyl张量的非退化和非零极小点，对于任意整数$k$，存在一族解，当$ε$趋于零时，$k$峰在$ξ_0$处坍缩.特别地，$ξ_0$是非孤立的爆破点。
Towering phenomena for the Yamabe equation on symmetric manifolds
设$(M,g)$是维数为$N\ge7$的紧致光滑连通黎曼流形（无边界）.假设$M$关于具有非零外尔张量的点$ξ_0$对称。我们考虑Yamabe问题$$(P_ε)\qquad-\mathcal L_g u+εu=u^{N+2\over N-2}\ \hbox{in}\ (M,g) .$$的线性扰动.我们证明了对于任何$k\in \mathbb N$，存在$ε_k>0$使得对于所有$ε\in (0, ε_k)$，问题$(P_ε)$有一个对称解$u_ε,$，它看起来像是以点$ξ_0$为中心的$k$正泡的叠加为$ε\to 0$ .特别是，$ξ_0$是一个{ \em towering}爆破点。
Solutions to the Einstein-scalar field constraint equations with a small TT-tensor
本文证明了紧致黎曼流形上具有正（修正）Yamabe不变量的共形Einstein-标量场约束方程的一个与Holst，Nagy，Tsogtgerel和Maxwell类似的远离CMC的结果.
A sharp relative comparison inequality for conformal fillings of Poincaré--Einstein manifolds
研究关于庞加莱 - 爱因斯坦流形共形填充的不等式，通过特定方法证明了精确相对比较不等式并建立刚性，证实了孙咏怡·张的猜想。
Existence theorems of the fractional Yamabe problem
设$X$是渐近双曲流形，$M$是共形无穷远流形.本文在对$X$和$M$的各种几何假设下，推导了$M$上分数阶Yamabe问题的几个存在性结果：首先，我们处理了边界$M$有一个中曲率为负的点的情形。其次，我们再次遇到的情况下，当$M$有零中曲率，是非脐或脐，但非局部共形平坦。因此，我们将González-Qing（Analysis and PDE，2013）和González-Wang（arXiv：1503.02862）给出的几何限制替换为更简单的几何限制。此外，灵感来自马克斯（通信。Geom.，2007）和Almaraz（Pacific J. Math.，2010），我们研究低维流形。最后，当$X$是Poincaré-Einstein，$M$是局部共形平坦的或2维的情形都在分数次共形拉普拉斯算子的正质量定理的有效性下得到了覆盖.
A new point of view on the solutions to the Einstein constraint equations with arbitrary mean curvature and small TT-tensor
在这篇短文中，我们用著名的保角方法构造了爱因斯坦约束方程的解。我们的方法给出了类似于文献[15，16，24]的结果，即当所谓的TT-张量$σ$很小且流形的Yamabe不变量为正时，存在性。然而，我们描述的方法比原来的方法简单得多，并允许容易扩展到其他几个问题。一些不存在的结果也被考虑。
On the topology of conformally compact Einstein 4-manifolds
本文研究共形紧Einstein四维流形的拓扑。当共形无穷维具有正Yamabe不变量且重整化体积也为正值时，我们证明了共形紧Einstein 4-流形至多有有限个基本群.在重整化体积较大的假设下，我们得到共形紧致Einstein四维流形与$B^4$同构，共形无穷维与$S^3$同构.
The Einstein Constraint Equations on Compact Manifolds with Boundary
我们继续Holst和Tsogtgerel关于紧流形上的Einstein约束方程的研究。特别是，我们认为完整的系统，并证明存在的解决方案，在近CMC和远离CMC（Yamabe积极度量）的情况下。我们也取得了部分进展，证明以前的“极限方程”文件的结果达尔，Gicquaud，亨伯特和Sakovich。
Rough solutions of the Einstein constraints on closed manifolds without near-CMC conditions
我们考虑爱因斯坦的约束方程的共形分解Lichnerowicz和约克介绍，在一个封闭的流形。我们建立的非CMC弱解的存在性使用的先验估计的组合，为个人的哈密顿量和动量约束，障碍建设的哈密顿约束，拓扑不动点参数。这些结果的一个重要的新特点是缺乏近CMC假设时，重新缩放的背景度量是在积极的Yamabe类，如果自由指定的部分的数据所给出的物质领域（如果存在）和无痕横向部分的重新缩放的外在曲率采取足够小。在这种情况下，平均非本征曲率可以被视为一个任意光滑函数，而不受其空间导数大小的限制，这显然是第一个没有近CMC假设的非CMC存在性结果。标准的自举参数，以增加正则性的共形因子被阻止使用一个弱的背景度量。在CMC的情况下，我们恢复麦克斯韦的粗糙解的结果作为一个特殊的情况。我们的结果在三个方面推广了Isenberg和Moncrief的1996年非CMC结果：（1）在正Yamabe类的情况下，去除了近CMC假设;（2）正则性被推广到背景度量和物质所允许的最大值;（3）结果对所有三个Yamabe类都成立.最近Allen、Clausen和Isenberg也完成了最后一个扩展，尽管他们的结果仅限于近CMC情况和更平滑的背景度量和数据。
A large data result for vacuum Einstein's equations
本文证明了在正宇宙学常数下，真空爱因斯坦方程在全局超曲空间中的全局适定性和渐进行为，通过可积阻尼机制实现了非线性演化的积分衰减。
Stability of Einstein metrics under Ricci flow
证明了紧Einstein度规在里奇流下的动力学稳定性和不稳定性定理。我们利用共形Yamabe不变量和拉普拉斯谱给出了动力学稳定性和不稳定性的几乎完整的特征。特别是，我们证明了一些类的爱因斯坦流形，这是以前不知道的动力学稳定性。此外，我们证明了具有Fubini-Study度量的复射影空间是令人惊讶的动态不稳定。
Compactness and Noncompactness for the Positive Yamabe--Escobar Problem with Minimal Boundary
本文证明正Yamabe--Escobar问题在3≤n≤14时紧致性猜想成立，并构造n≥15的非紧致序列，确定各维度阈值，同时验证Weyl--脐性消失猜想并给出反例。
Poincaré-Einstein 4-manifolds with conformally Kähler geometry
本文研究共形类含Kähler度量的4维Poincaré-Einstein流形，将Einstein方程约化为Toda型方程，针对$\u212d^1$作用情形构建Dirichlet边值问题并证明存在唯一性，非微扰构造出共形无穷远为非正Yamabe型的无穷多族新度量。
Poincare-Einstein metrics and the Schouten tensor
本文研究了具有边界的紧致流形内部的共形紧度量空间$g$，它具有Schouten张量$A_g$的初等对称函数$k^{th}$为常数的性质.当$k=1$时，这等价于熟悉的Yamabe问题，并且相应的度量是完全的，具有恒定的负数量曲率。我们表明，对于每一个$k$，这个问题的变形理论是通畅的，所以特别是一组共形类包含任何一个这些方程的解决方案是开放的空间中的所有共形类。然后我们观察到这些解空间的公共交与共形紧爱因斯坦度量的空间重合，因此这个空间是封闭解析子流形的有限交。
Compactness of solutions to higher order elliptic equations
利用局部积分方程的爆破分析方法证明了高阶临界椭圆型方程在位势只有非退化零点的条件下解的紧性。其次，对应于流形上Yamabe方程的Schoen Weyl张量消失猜想，我们建立了解在爆破点处的位势的Laplacian消失率。
The constraint equations for the Einstein-scalar field system on compact manifolds
研究紧致流形上Einstein-标量场系统的约束方程.使用保角方法，我们重新制定这些方程作为一个确定的系统的非线性偏微分方程。通过引入一个新的共形不变量，它对标量场的初始数据的存在是敏感的，我们能够根据所得到的Einstein-标量场Lichnerowicz方程中项系数的可能符号将自由共形数据集分成子类。对于这些子类中的许多子类，我们确定是否存在解。与其他研究得很好的场论相反，在某些情况下，取决于标量场的平均曲率和势，我们无法解决解的存在性问题。我们认为这个系统在这样的一般性，以包括真空约束方程与任意宇宙学常数，Yamabe方程，甚至（所有情况下）规定的标量曲率问题的特殊情况。
Compactness of solutions to nonlocal elliptic equations
证明了含区域分数拉普拉斯算子的临界半线性椭圆型方程的所有非负解局部泛有界。这与标准的分数拉普拉斯算子情况形成强烈对比。其次，我们考虑具有非负位势的分数阶临界椭圆型方程。我们证明了紧的解决方案提供的潜力只有非退化零。对应于流形上Yamabe方程的Schoen Weyl张量消失猜想，我们建立了解在爆破点处的位势的Laplacian消失率。
Four dimensional closed manifolds admit a weak harmonic Weyl metric
在四维闭流形上，我们引入一类典型的黎曼度量，我们称之为弱调和Weyl度量，定义为涉及Weyl张量的发散范数的二次泛函的共形类中的临界点。这类流形包括爱因斯坦流形，以及更一般的调和外尔流形。我们证明了每个封闭的四流形都有一个弱调和Weyl度量，它是泛函在适当的共形类中唯一的（直到膨胀）极小元。在一般情况下，问题是退化椭圆由于可能消失的外尔张量。为了克服这个问题，我们最小化的参考度量，由Aubin，无处消失的Weyl张量确定的共形类中的功能。此外，我们证明了具有正Yamabe不变量的反自对偶度量可以由包含适当的二次黎曼泛函的拼挤条件来刻画。
Vanishing time behavior of solutions to the fast diffusion equation
设$n\geq 3$、$0< m<\frac{n-2}{n}$和$T>0$。在$\mathbb{R}^n\times(0,T)$中构造了快扩散方程$u_t=Δu^m$的正解，这些正解在时间$T$处为零.通过引入受\cite{DKS}启发的尺度参数$β$，研究了空间无穷远处$β$自相似解的二阶渐近性质.我们还研究了快扩散方程解在$T$消失时刻附近的渐近性态，条件是解的初始值接近于某个自相似解的初始值，并且满足在无穷远处的适当衰减条件.根据参数$β$的范围，我们证明了重新缩放的解决方案收敛到自相似的配置文件或为零的$t\nearrow T$。前者意味着渐近稳定的自相似的解决方案，后者是一个新的消失的现象，即使是$n\ge3$和$m=\frac{n-2}{n+2}\,$的情况下，对应于Yamabe流$\mathbb{R}^n$与度量$g=u^{\frac{4}{n+2}}dx^2$。
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