A proof of Furstenberg's conjecture on the intersections of $\times p$ and $\times q$-invariant sets
本文证明了Furstenberg（1969）的猜想：若$A,B\subset [0,1]$分别在$\times p \mod 1$和$\times q \mod 1$下闭不变，且若$\log p/\log q\notin \mathbb{Q}$，则对所有实数$u$和$v$，$$\dim_{\rm H}(uA+v)\cap B\le \max\{0,\dim_{\rm H}A+\dim_{\rm H}B-1\}.$$我们研究了$\mathbb{R}$上不可约自相似集的交，得到了这个结果.我们的方法还允许我们给任意片的平面自相似集满足SSC和某些自然的不可约条件的尺寸上界。
2019-02-07 math.CA math.DS math.MG
On the disjointness property of groups and a conjecture of Furstenberg
在他开创性的1967年论文“不相交遍历理论，最小集，并在丢番图逼近的问题“弗斯滕伯格介绍了概念不相交的动力系统，无论是拓扑和措施保持。在本文中，他表明，行动的整数伯努利系统$Ω= \{0, 1\}^\mathbb{Z}$，是不相交的每一个最小的系统，并认为子环$R_0$，在外地$\mathbb{Z}_2 =\{0, 1\}$，所产生的最小功能在$Ω$，是一个适当的子集$Ω$。他强调说，类似的结果持有一般和在我们1983年的工作“插值集的子代数的$l^\infty(\mathbb{Z})$“我们证实了这一点表明，封闭的子代数$\mathfrak{A}$的$l^\infty(\mathbb{Z})$，所产生的最小功能，是一个适当的子代数的$l^\infty(\mathbb{Z})$。在这项工作中，我们将这些结果推广到一大类群体。我们称可数群$G$为DJ群，如果对$G$的每一个可度量化的极小作用都存在一个本质自由的极小作用与它不相交.我们证明了顺从群是DJ群，并且在直积下保持DJ性质.我们在极小系统上定义了一个简单的动力学条件DDJ，它是Gottchalk-Hedlund性质的一个加强，我们说一个群$G$是DDJ，如果每个极小$G$ -系统都有这个性质. DJ属性意味着DDJ和通过一个复杂的建设，我们表明，每一个drong-generated DDJ群也是DJ。剩余有限群、极大概周期群和…
2019-01-14 math.DS
Slices and distances: on two problems of Furstenberg and Falconer
本文综述了遍历论中Furstenberg的×2、×3切片猜想与几何测度论中Falconer距离集问题的研究历史与最新进展，介绍了相关求解思路，并指出二者可通过分支数组合分析、多尺度投影视角的共通方法开展研究。
2021-09-24 math.CA math.CO math.DS
Around Furstenberg's times $p$, times $q$ conjecture: times $p$-invariant measures with some large Fourier coefficients
本文利用贝尔纲方法证明，在无原子的 $T_p$-不变测度中，典型测度沿 $q^n$ 序列具有大傅里叶系数，从而否证Furstenberg猜想，并推广到更一般的序列和多维情形。
2024-11-06 math.DS math.FA math.NT
On Furstenberg's intersection conjecture, self-similar measures, and the $L^q$ norms of convolutions
研究了实直线上一类具有自相似结构的测度，我们称之为动态驱动的自相似测度，并将Bernoulli卷积等自相似测度作为其特例.我们的主要结果给出了一个表达式的$L^q$维的动态驱动的自相似措施，在一定的条件下。作为应用，我们解决了Furstenberg关于$\times p$和$\times q$ -不变集的交集维数的猜想.在其他几个应用程序中，我们还表明，伯努利卷积有一个$L^q$密度为所有有限的$q$，一个零维集的例外。主要结果的证明受M. Hochman对自相似测度维数的处理方法和熵的逆定理。我们的方法可以被看作是一个扩展的Hochman的理论从熵$L^q$规范，同样依赖于逆定理的衰减$L^q$规范的离散措施卷积。我们的方法的这一核心部分可能是独立的兴趣，并且是众所周知的方法和结果在加法组合学中的应用：由于Tao-Vu的Balog-Szemerédi-Gowers定理的不对称版本，以及Bourgain的一些构造。
2018-11-21 math.CA math.CO math.DS
A note on the singularity conjecture for infinite covolume discrete subgroups
本文研究了半单李群上生成无限余体积离散子群的随机游走，证明了在性质(T)或秩为1等条件下Furstenberg边界平稳测度与Lebesgue测度类的奇异性，并给出了奇异性的充分条件。
2025-08-07 math.DS math.GR math.GT
On amenability and measure of maximal entropy for semigroups of rational maps: II
本文比较有理映射半群的动力学与代数性质，证明Day-von Neumann猜想版本，部分回答Sushkievich问题，并建立与Furstenberg $\ imes 2 \ imes 3$问题的联系，给出非例外多项式半群的粗糙版本。
2023-09-05 math.CV math.DS
Kazhdan constants, continuous probability measures with large Fourier coefficients and rigidity sequences
本文利用Fayad和Dauvenot的弱混合动力系统刚性序列的构造，证明了对于任意整数$p_{1},\dots,p_{r}$，单位圆$\mathbb{T}$上存在连续概率测度$μ$，使得\[ \inf_{k_{1}\ge 0,\dots,k_{r}\ge 0}|\widehat{μ}(p_{1}^{k_{1}}\dots p_{r}^{k_{r}})|>0. \].这一结果特别适用于Furstenberg集$F=\{2^{k}3^{k'}\,;\,k\ge 0,\ k'\ge 0\}$，并反驳了Lyons在1988年受Furstenberg著名的$\times 2$ - $\times 3$猜想启发而提出的一个猜想.我们还估计修改后的Kazhdan常数的$F$，并获得一般结果的刚性序列，使我们能够检索基本上所有已知的例子，这样的序列。
2018-09-27 math.CA math.DS math.GR
On some classification problems of multiplicative functions
本文刻画乘性函数的 Toeplitz 性、唯一 Furstenberg 系统与 Besicovitch 殆周期性之间的关系，并由修正 Elliott 猜想推出 Frantzikinakis-Host 唯一性猜想。
2025-05-12 math.DS math.NT
A new dynamical proof of the Shmerkin--Wu theorem
令$a < b$是乘法独立的整数，两者至少为$2$。设$A,B$是$[0,1]$的闭子集，它们分别与$a$、$b$相乘是前向不变的，设$C := A\times B$。Furstenberg的一个旧猜想断言，任何不平行于任一轴的平面线$L$必须在Hausdorff维数上至多与$C$相交$\max\{\dim C,1\} - 1$。Shmerkin和Wu最近的两篇文章给出了这个猜想的两种不同的证明。这本书提供了第三个证明。像吴的，它保持接近遍历的理论机器，弗斯滕伯格介绍研究这些问题，但它使用较少的遍历理论的实质性背景。同样的方法也被用来重新证明最近的结果余关于某些序列的总和。
2021-09-29 math.DS math.MG
Furstenberg Entropy of Intersectional Invariant Random Subgroups
我们研究的Furstenberg熵实现问题的平稳行动。证明了对于自由群上的随机支持的概率测度，任何先验可能的熵值都可以实现为遍历平稳作用的熵.这推广了Bowen的结果。基于Bowen和Kaimanovich的思想，我们通过不变随机子群（IRSs）构造了静态动作。我们提供了一个一般的框架，构造一个连续的遍历IRS的离散群在一定的代数条件下，它给出了一个连续的熵值。例如，我们的工具适用于某些扩展的组的支持置换和点灯组，从而建立充分实现这些群体的结果。对于自由群，我们通过子群的尺规作图法，通过描述它们的Schreier图来构造IRS。通过研究适当的Schreier图上的随机游动，得到了这些空间的熵的分析。
2017-01-29 math.DS math.GR math.PR
Equidistribution and measure rigidity under $\times p,\times q$
我们证明了无理轨道在单位圆上的均匀分布蕴含着Furstenberg猜想。
2015-06-08 math.DS
Uniqueness of a Furstenberg system
给定一个可数顺从群$G$、一个Følner序列$(F_N) \subseteq G$和一个具有$\bar{d}_{(F_N)}(E)=\limsup_{N \to \infty} \frac{|E \cap F_N|}{|F_N|}>0$的集合$E \subseteq G$，Furstenberg对应原理将一个测度保持系统$(X,\mathcal{B},μ,(T_g)_{g \in G})$和一个具有$μ(A)=\bar{d}_{(F_N)}(E)$的集合$A \in \mathcal{B}$与$(E,(F_N))$对联系起来，使得对于所有的$r \in \mathbb{N}$和所有的$g_1,\dots,g_r \in G$，都有$\bar{d}_{(F_N)}(g_1^{-1}E \cap \dots \cap g_r^{-1}E)\geqμ((T_{g_1})^{-1}A \cap \dots \cap (T_{g_r})^{-1}A)$。我们表明，在一些自然的假设下，系统$(X,\mathcal{B},μ,(T_g)_{g \in G})$是唯一的可测同构。我们还建立了不可数离散顺从半群的唯一性结果的变体，以及处理有限族有界函数$f_1,\dots,f_{\ell}: G \rightarrow \mathbb{C}$的广义对应原理。
2020-05-14 math.DS
Multiple recurrence and the structure of probability-preserving systems
在1975年Szemerédi证明了长期的猜想Erdés和图兰说，任何子集的$\bbZ$具有积极的上Banach密度包含任意长的等差数列。Szemerédi的证明是完全组合，但两年后Furstenberg了一个完全不同的证明Szemerédi定理首先显示其等价性遍历理论断言的多次复发，然后使新的机器在遍历论承担证明。他的遍历理论方法随后在极值组合学中产生了其他几个结果，并揭示了一系列新现象，根据这些新现象，可以描述和分类概率保持系统的结构。在这项工作中，我调查一些最近的进展，了解这些遍历理论的结构。它包含的证据规范收敛的“非常规”遍历平均的基础Furstenberg的办法变种Szemerédi的定理，和两个递归定理的Furstenberg和Katznelson：多维多重递归定理，这意味着一个多维推广Szemerédi的定理;和密度版本的Hales-Jewett定理的拉姆齐理论。
2010-06-08 math.CO math.DS math.PR
On some aspects of discrete groups acting ergodically on the boundary
Tata Institute of Fundamental Research（塔塔基础研究所）；Jagiellonian University（雅盖隆大学）；Yale University（耶鲁大学）
该研究针对实半单李群的慢增长离散子群，证明其在Furstenberg边界上的完全耗散作用，构造了SO(n,2)的遍历作用离散子群反例，还提出了关联格形变与光滑群作用形变的新方法。
2026-08-28 math.DG math.DS math.GR
Random walks on dense subgroups of locally compact groups
设$Γ$是可数离散群，$H$是lcsc全不连通群，$ρ: Γ\rightarrow H$是具有稠密象的同态.我们发展了一个一般的和明确的技术，它提供了，对于每个紧开子群$L < H$和双$L$ -不变概率测度$θ$ $H$，Furstenberg离散$τ$的$θ$，使泊松边界的$(H,θ)$是$τ$ -边界.除其他事项外，这种技术允许我们构建的例子，支持随机游动对某些lampighter组和可解Baumslag-Solitar组，其泊松边界是总理，但不是$L^p$ -不可约的任何$p \geq 1$，回答了一个猜想的Bader-Muchnik的负面影响。进一步，我们给出了一个可数离散群$Γ$和$Γ$上的两个扩展概率测度$τ_1$和$τ_2$的例子，使得$(Γ,τ_1)$的边界熵谱是一个区间，而$(Γ,τ_2)$的边界熵谱是一个Cantor集.
2020-06-28 math.DS math.GR math.PR
Pisot conjecture and Rauzy fractals
本文证明了遍历理论中关于不可约Pisot替换生成循环序列的Pisot猜想。
2023-09-01 math.DS
