Border rank=rank for Kruskal tensors and a Kruskal's theorem for skew decompositions
University of Copenhagen（哥本哈根大学）；Concordia University, Montréal（蒙特利尔康科迪亚大学）
该研究证明Kruskal张量的边界秩等于秩，给出交替张量的Kruskal条件以证明斜秩分解唯一性，还证明交替Kruskal张量的边界斜秩等于斜秩并给出最小斜秩分解算法。
2026-08-25 cs.DS math.AG
A $2n^2-log(n)-1$ lower bound for the border rank of matrix multiplication
设M_n表示n × n矩阵的矩阵乘法张量。利用边界替换法结合Koszul证明了M_n的边界秩下界为2n^2-log（n）-1。
2016-08-26 cs.CC math.AG
Apolarity, border rank and multigraded Hilbert scheme
本文介绍了一种研究多项式和张量的边界秩的初等方法，类似于非极性引理。这可以用来统一描述所有案件的边界等级，包括那些抵制系统方法的非常特殊的案件。我们还定义了一个边界秩版本的各种权力的总和，并分析其有用性，在研究张量和多项式与大的对称性。特别是，它可以应用于提供下界的边界秩的一些非常有趣的张量，如矩阵乘法张量。我们工作在一个一般的设置，其中的基础品种不一定是一个塞格雷或Veronese品种，但任意光滑复曲面投影品种。我们的工作的一个重要组成部分是一个不可约的组成部分的多级希尔伯特计划有关的复曲面品种的问题。
2020-11-07 math.AG
Vanishing Hessian, wild forms and their border VSP
Wild形式是齐次多项式，其可平滑秩严格大于其边界秩。这两个秩之间的差异是由一族零维格式的跨度极限与其平坦极限的跨度之间的差异引起的。对于最小边秩的简洁形式，我们证明了消失Hessian的条件等价于是野生的。这是证明绕道通过结构张量的光滑和Gorenstein代数。等价性在非最小边界秩机制中失败。我们展示了无限系列的最小边界秩野生形式的每一个度$d\geq 3$以及一个无穷级数野生立方。受最近Buczyovska和Buczyovski关于边界非极性的工作的启发，我们研究了这些形式的幂和$\underline{\mathrm{VSP}}$在相应的多重Hilbert格式中的边界簇.
2020-06-25 math.AG
Explicit tensors of border rank at least 2n-1
对于奇数n，我写下边界秩为2n-1的C^n \otimes C^n \otimes C^n中的张量，表明Landsberg-Ottaviani的Young平坦化方程的非平凡性。我还研究了Alexeev等张量的边界秩。例如，示出张量它们的张量T_{2^k}，尽管具有等于2^{k+1}-1的秩，但具有等于2 ^k的边界秩，这是任何简洁张量的最小值。我还研究了格里塞方程。
2013-08-07 cs.CC math.AG
Koszul-Young Flattenings and Symmetric Border Rank of the Determinant
我们提出了新的下界的对称边界秩的n × n行列式的所有n。对于3 × 3永久物给出了进一步的下限。
2015-11-11 cs.CC math.AG
Symmetrization maps and minimal border rank Comon's conjecture
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；Politecnico di Torino（都灵理工大学）
本文针对边界科蒙猜想，利用边界零化性和幂和的边界簇作为技术工具，证明了(ℂⁿ)⊗ᵈ中边界秩为n的大量简洁张量类的该猜想成立，涵盖所有驯服张量及n≤d+1时的所有张量。
2026-09-07 cs.CC math.AG
On the geometry of border rank algorithms for matrix multiplication and other tensors with symmetry
我们建立了矩阵乘法张量和其他具有对称性的张量的边界秩算法的基本信息。我们证明了边界秩算法的对称张量（如矩阵乘法和行列式多项式）来在家庭，包括代表与正常形式。这些范式将有助于开发新的有效算法，并证明较低的复杂性界限。我们推导出一个边界秩版本的替代方法用于证明张量秩的下界。我们使用这种边界替换方法和标准形将矩阵乘法的边界秩的下界提高1，达到2n^2- n+1。我们还指出了困难，这将是巨大的障碍，因为“野生”结构的希尔伯特计划点的张量的复杂性较低的界限，未来的进展。
2016-01-29 cs.CC math.AG
Border rank bounds for $GL(V)$-invariant tensors arising from matrices of constant rank
本文研究由常秩矩阵空间产生的 $GL(V)$-不变张量，利用 Young flattenings 证明新的边界秩下界，并确定三个张量的边界秩。
2024-05-09 math.AG
Towards finding hay in a haystack: explicit tensors of border rank greater than $2.02m$ in $C^m\otimes C^m\otimes C^m$
我们写下一个显式序列的张量在$C^m\otimes C^m\otimes C^m$，所有$m$足够大，边界秩至少$2.02m$，克服了长期的障碍。我们通过边界替换方法得到我们的下界。
2019-12-26 cs.CC math.AG
Polynomials of minimal border rank
Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk（波兰科学院数学研究所）；Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Uniwersytet Warszawski（华沙大学数学、信息学与力学学院）
利用Gorenstein代数的迭代乘法张量与极小可光滑秩齐次多项式之间的对应，分类了至多7个变量中足够高次数的极小边界秩多项式。
2026-06-24 math.AC math.AG
Border Ranks of Positive and Invariant Tensor Decompositions: Applications to Correlations
本研究证明多体正定与不变张量分解存在秩与边界秩的差距，并利用该差距证明相关概率分布集合非闭集，导致有限时间内无法测试其成员资格，揭示了秩的不稳定性与双体系统的独特性。
2025-02-19 math-ph math.AG math.MP
Border rank lower bounds beyond weak border apolarity
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）
本文首次展示超越弱边界对偶性的边界秩下界示例，证明某些张量的理想列表虽非空但无一满足全部条件，涵盖矩阵乘法相关张量及群论相关案例。
2026-09-14 math.AC math.AG
Bad and good news for Strassen's laser method: Border rank of the 3x3 permanent and strict submultiplicativity
我们确定的边界秩张量，可能会提前已知的上界矩阵乘法的指数$ω$。小$q=2$ Coppersmith-Winograd张量的克罗内克平方等于$3\times 3$永久式，并且可以潜在地用于显示$ω=2$。我们证明了复杂性理论的否定结果，即它的边界秩是$16$，解决了一个长期存在的问题。关于它在$ C^5\otimes C^5\otimes C^5$中的$q=4$偏斜表兄弟，它可能被用来证明$ω\leq 2.11$，我们证明了它的克罗内克平方的边界秩至多是$42$，这是一个显著的次乘法结果，因为它的边界秩的平方是$64$。我们还确定了小Coppersmith-Winograd张量的模空间$\underline{VSP}$。
2020-09-23 cs.CC math.AG
Ranks and Symmetric Ranks of Cubic Surfaces
我们研究三次曲面的格式$4 \times 4 \times 4$的对称张量。本文研究了三次曲面的非对称张量秩和对称Waring秩，证明了这两个概念在复数上是一致的。相应的代数问题涉及边界秩。我们证明了三次曲面的非对称边界秩与对称边界秩是一致的。作为我们的分析的一部分，我们得到极小理想发电机的对称模拟正割品种从鲑鱼猜想。我们还给出了一个测试的对称秩的非零的某些判别式。结果推广到所有大小的三阶张量，当对称秩最多为7时，秩与对称秩相等;当对称边界秩最多为5时，边界秩与对称边界秩相等.我们还通过实替换方法研究了实秩。
2018-01-16 math.AC math.AG
A comparison of different notions of ranks of symmetric tensors
本文引入了对称张量的秩的各种概念，即：秩、边秩、次秩、广义秩、概型长度、边概型长度、扩张秩和光滑秩。我们分析了这些职级引起的分层。这些等级之间的相互关系，使我们能够描述所有等级之间的等级关系。证明了秩、边秩、延拓秩和catalecticant秩之间的严格不等式是可能的。并且证明了格式长度、广义秩和扩张秩是一致的。
2012-11-27 math.AG
Rank and border rank of Kronecker powers of tensors and Strassen's laser method
证明了小Coppersmith-Winograd张量$T_{cw,q}$的Kronecker方的边秩是它对$q > 2$的边秩的平方，它的Kronecker方的边秩是它对$q > 4$的边秩的立方.这回答了在[Coppersmith-Winograd，1990]中隐含和在[Bläser，2013]中明确提出的问题，并排除了在此范围内使用小Coppersmith-Winograd张量的平方或立方证明矩阵乘法指数的新上界的可能性。在积极的方向上，我们扩大了显式张量的列表可能有用的斯特拉森的激光方法，介绍了斜对称版本的Coppersmith-Winograd张量，$T_{skewcw,q}$。对于$q = 2$，该张量的克罗内克平方与$3\times 3$行列式多项式$\det_3 \in \mathbb{C}^9\otimes \mathbb{C}^9\otimes \mathbb{C}^9$（被视为张量）一致。我们表明，这个张量可能被用来表明，矩阵乘法的指数是2。我们确定新的上限（华林）秩和（华林）边界秩的$\det_3$，表现出严格的submultiplicative行为$T_{skewcw,2}$这是有前途的激光方法。我们建立了张量的Kronecker幂的边界秩的一般结果，并对$\mathbb{C}^3\otimes \mathbb{C}^3\otimes \mathbb{C}^…
2021-12-27 cs.CC math.AG
Border rank non-additivity for higher order tensors
尽管矩阵秩在直和下是可加的，但Schönhage在1981年证明了它对张量设置的推广之一，张量边界秩，对于三阶张量可以是严格次可加的。对于高阶张量，边界秩是否是可加的仍然是开放的。在这项工作中，我们解决了这个问题，提供类似的Schönhage的建设张量的四阶和更高。Schönhage的工作是出于对矩阵乘法的计算复杂性的研究，我们讨论了我们的结果的影响，高阶广义的矩阵乘法张量的渐近秩。
2021-04-09 cs.CC math.AG
New lower bounds for the border rank of matrix multiplication
n × n矩阵的矩阵乘法算子的边界秩是其复杂性的标准度量。利用代数几何和表示论的技巧，我们证明了边界秩至少为2n^2-n。我们的界优于之前的下界（由于Lickteig在1985年）3/2 n^2+ n/2 - 1，对所有n>2。通过寻找小边界秩的双线性映射必须满足的新方程，即，新方程的割线品种的三重Segre产品，矩阵乘法无法满足。
2013-06-02 cs.CC math.AG
The border rank of the $4 \times 4$ determinant tensor is twelve
Korea Institute for Advanced Study（韩国高等研究院）；University of Copenhagen（哥本哈根大学）；Pusan National University（釜山国立大学）
该研究通过特定方法证明复数域上4×4行列式张量的边界秩至少为12，结合已知上界确定其边界秩为12，明确了该张量的边界秩精确值。
2026-08-19 math.AC math.AG
On the typical rank of real polynomials (or symmetric tensors) with a fixed border rank
令$σ_b(X_{m,d}(\mathbb {C}))(\mathbb {R})$，$b(m+1) < \binom{m+d}{m}$，表示$m+1$变量中所有次数$d$实齐次多项式的集合（即格式为$(m+1)\times ... \times (m+1)$，$d$倍的实对称张量），其具有在$\mathbb {C}$上的边界秩$b$。它有一个分区到流形的实维$\le b(m+1)-1$，其中的实秩是常数。$σ_b(X_{m,d}(\mathbb {C}))(\mathbb {R})$的典型秩是与维度$b(m+1)-1$的开放部分相关联的秩。在这里，我们分类所有典型的等级时，$b\le 7$和$d, m$不是太小。对于更大的$(m,d,b)$集，我们证明了$b$和$b+d-2$是两个第一典型秩.在$m=1$（真正的二元多项式）的情况下，我们证明了$d$（最大可能的先验值的真正的秩）是一个典型的秩为每个$b$。
2013-07-09 math.AG
The stratification by rank for homogeneous polynomials with border rank 5 which essentially depend on 5 variables
本文给出了边界秩为$5$且本质上依赖于至少5个变量的所有次$d \ge 9$齐次多项式的对称张量秩分层，推广了前人的工作（A. Bernardi，A. Gimigliano，M. Idà，E.巴利科）在较低的边界职级。对于依赖于至少5个变量的多项式，仅5个秩是可能的：$5$、$d+3$、$2d+1$、$3d-1$、$4d-3$，但是秩$3d-1$和$2d+1$中的每一个在两种几何上不同的情况下实现。这些秩由与多项式相关联的一定程度的零维方案$A$唯一地确定。多项式$f$基本上取决于至少5个变量，当且仅当$A$是线性无关的（在所有情况下，$f$基本上取决于恰好5个变量）。多项式具有秩$4d-3$（resp $3d-1$，resp.分别为$2d+1$分别为$d+3$如果$5$有$1$（分别为PDMATHAMV，分别$3$，分别$4$，分别$5$）连接的组件。假设$d\ge 9$保证每个多项式具有唯一确定的关联方案$A$。在每一种情况下，我们描述的维度的家庭的多项式规定的秩，每个不可约的家庭被确定的程度相关的计划$A$的连接组件。
2017-02-07 math.AG
On the geometry of border rank algorithms for n x 2 by 2 x 2 matrix multiplication
研究n×2与2×2矩阵乘法的边界秩算法几何特性，提出新的分析方法和优化策略。
2015-09-28 cs.NA math.AG math.NA
Geometric conditions for strict submultiplicativity of rank and border rank
射影空间中点$p$的$X$ -秩是线性跨度包含$p$的代数簇$X$的最小点数。这个概念在张量积下自然是次乘法的。我们研究几何条件，保证严格的次乘法。我们证明，在点的秩二的情况下，严格的次乘法是完全的特点是在三割线的品种。此外，我们专注于曲线的情况下：我们证明，曲线嵌入在一个偶数维的射影空间，总是有严格的次乘法发生点，唯一的例外的理性正态曲线。
2020-05-27 math.AG
Border rank of powers of ternary quadratic forms
本文主要研究三元二次型任意次幂的边界秩，通过确定配极理想并利用边界配极技术，证明任意次幂 q_3^s 的边界秩等于其中间卡塔莱克坦矩阵的秩 (s+1)(s+2)/2。
2023-08-02 math.AG
Equations for lower bounds on border rank
本文给出了确定边界秩至多为r的双线性映射簇的理想中多项式的新方法。我们将这些方法应用于几种情况，包括双线性映射空间C^4 x C^4 -> C^4中r = 6的情况。这个双线性映射空间包括2 × 2矩阵的矩阵乘法算子M_2。我们证明了这些新得到的多项式在矩阵乘法算子M_2上不为零，从而给出了2 × 2矩阵乘法的边秩为7的新证明.其他的例子被认为是与如何实现的方法的解释。
2013-07-09 cs.CC math.AG
Fixed-parameter debordering of Waring rank
本研究首次获得多项式Waring秩的上界，该上界关于边界Waring秩指数增长、关于次数线性增长，解决了去边界化问题，并改进了常数边界Waring秩情形下的结果。
2024-01-15 cs.CC math.AG
Border apolarity and varieties of sums of powers
本文研究幂和簇的边界簇（$\underline{\mathrm{VSP}}$'s），比较其在 Hilbert 概形中的轨迹，引入边界可辨识性概念并提供判据，最后在张量和齐次多项式背景下确定若干实例的 $\underline{\mathrm{VSP}}$'s。
2024-02-14 math.AG
On the structure tensor of $\mathfrak{sl}_n$
$\mathfrak{sl}_n$的结构张量，记作$T_{\mathfrak{sl}_n}$，是对$\mathbb{C}$上的无迹$n \times n$矩阵集进行李括号双线性运算而产生的张量。这个张量是密切相关的研究矩阵乘法张量。研究$\mathfrak{sl}_n$的结构张量可以进一步深入了解矩阵乘法的复杂性和寻找高秩或边界秩的显式序列张量的“干草堆”问题。我们的目标是找到新的界限上的秩和边界秩的结构张量的情况下，$\mathfrak{sl}_3$和$\mathfrak{sl}_4$。我们还提供了李代数$\mathfrak{so}_4$和$\mathfrak{so}_5$的情况下的界限。边界秩的下界是通过各种最近的技术获得的，即Koszul秩、边界替换和边界非极性。上界的秩$T_{\mathfrak{sl}_3}$通过数值方法，使我们能够找到一个明确的秩分解。
2021-05-17 math.AG
Some concerns on the border rank of Kronecker products of the Coppersmith-Winograd tensor
本文详细证明了小 Coppersmith-Winograd 张量的 Kronecker 平方的边界秩为 (q+2)^2，并指出该方法有望推广到 Kronecker 立方及更高次幂，支持猜想值 (q+2)^m。
2025-07-17 math.AG
Classification and degenerations of small minimal border rank tensors via modules
本文通过模方法给出了 $m \leq 5$ 时 $1_*$-generic 极小边界秩张量的自包含分类，结合已有结果完成了该范围内所有极小边界秩张量的分类，并完整描述了张量间的退化情况。
2025-03-03 cs.CC math.AC math.AG
Best approximation on semi-algebraic sets and k-border rank approximation of symmetric tensors
本文第一部分研究了欧几里得空间R^n中向量关于闭半代数集C和给定半代数范数的最佳逼近。假设给定的范数及其对偶范数是可微的，我们证明了超曲面外的最佳逼近是唯一的。然后，我们研究的情况下，C是一个不可约的品种和近似是关于欧几里德规范。我们证明了对于R^n中x中的一般点，x到C的距离函数的临界点的个数在上有界于一个相关优势映射的度.如果C在P（C^n）中诱导出一个光滑射影簇，那么这个度就是V_P上相应向量丛的顶Chern数.然后我们研究了当一个对称张量的最佳k（> 1）-边秩逼近是对称的时的问题.我们证明了在一定的维数条件下，存在一个对称张量的开半代数集，它的最佳k-边秩是唯一的和对称的。
2013-11-07 math.AG
The border Waring rank of $x_1\cdots x_n$ is $2^{n-1}$
Korea Institute for Advanced Study (KIAS)（韩国高等研究院）
本文证明特征零域上单项式 $x_1\cdots x_n$ 的边界 Waring 秩为 $2^{n-1}$，表明极化恒等式为最优分解，下界证明借助非对称的行列式张量的高阶 Koszul 展平。
2026-09-09 math.AG
On degeneration of tensors and algebras
在所有目前的渐近快速算法矩阵乘法的一个重要的构建块是张量与低边界秩，即张量的边界秩是相等或非常接近其大小。为了找到新的渐近快速矩阵乘法算法，理解那些边界秩尽可能小的张量，即所谓的最小边界秩张量，似乎很重要。研究了结合代数的退化与其结构张量在Strassen意义下的退化之间的联系。它使我们能够描述一个开放的子集的$n \times n \times n$张量的最小边界秩的光滑交换代数。我们描述了与Coppersmith-Winograd张量相关的可平滑代数，并证明了Coppersmith和Winograd的“简单构造”中使用的张量的边界秩的下界。
2016-06-14 cs.CC math.AG
The border rank of the multiplication of two by two matrices is seven
本文证明，近似计算2x2矩阵乘法至少需要七次乘法，即矩阵乘法算子不在三个P^3的Segre乘积的第六割线簇中。
2006-04-05 cs.NA math.AG math.NA
Concise tensors of minimal border rank
借助111-方程与交换矩阵簇结果，引入简洁张量的111-代数不变量，确定了m=5,6时极小边界秩简洁张量的定义方程并完成分类。
2024-08-27 cs.CC math.AC math.AG
Border Ranks of Monomials
本文研究Young展平方法对单项式边界秩的下界极限，给出最优形状，覆盖次数≤6、3变量及变量乘积幂，并指出高次时无法匹配猜想紧上界。
2024-07-16 cs.CC math.AG
Border rank lower bounds for families of GL(V)-invariant tensors
University of California San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
本文针对U⊗S_λV⊗S_μV中GL(V)不变张量族（U为V、Sym²V或∧²V）给出边界秩非平凡下界，解决Wu猜想并推广技术，扩展非最小边界秩例子数量。
2026-09-23 math.AC math.AG math.RT
Hankel tensor decompositions and ranks
汉克尔张量是汉克尔矩阵的推广。本文研究了Hankel张量各阶之间的关系。我们给出了一个算法，可以计算所有汉克尔张量的Vandermonde秩和分解。对于一般的偶数阶和三阶$n$维Hankel张量，我们证明了它的cp秩、对称秩、边界秩、对称边界秩和Vandermonde秩都是一致的.特别是，这意味着当阶数为偶数或三时，Comon猜想对一般的汉克尔张量是正确的。还提出了一些悬而未决的问题。
2019-01-28 math.AG
Uniformity for limits of tensors
本文研究多线性代数中各类秩的边界秩问题，证明去边界化定理并揭示实现边界秩的极限复杂度不随维数增长，基于GL-簇理论建立统一框架。
2024-02-20 math.AG math.RT
Unrestrictions and concise secant varieties
University of Warsaw（华沙大学）
本文基于简洁secant族，探讨了张量理论中border rank与cactus rank的联系，以及与Segre嵌入、Salmon猜想等的关联，提出简洁border apolarity和Sums of Powers varieties的刻画。
2026-09-22 cs.CC math.AG
On the ranks of the third secant variety of Segre-Veronese embeddings
给出了边秩为3的部分对称张量的秩的上界。在边界秩为3的张量$T\in V_1\otimes \cdots \otimes V_k$的特殊情况下（Segre情况），我们可以证明3和$k-1$之间的所有秩都出现了，如果所有$i$的秩都是$\dim V_i \geq 3$，那么$k$和$2k-1$之间的所有秩也都出现了。
2018-01-17 math.AC math.AG
Waring problems and the Lefschetz properties
我们研究了三种变化的华林问题的多项式，关于华林秩，边界秩和仙人掌秩的形式，我们展示了如何莱夫谢茨性质的相关代数影响他们。主要工具是混合黑塞矩阵理论。我们构建新的家庭的野生形式，也就是说，形式的仙人掌排名，示意性的性质，大于边界排名，几何定义。
2020-06-18 math.AC math.AG
Border subrank of higher order tensors and algebras
Institut de Mathématiques de Toulouse（图卢兹数学研究所）；UMR5219 – Université de Toulouse（阿姆斯特丹大学）；CNRS – UPS；University of Amsterdam
研究高阶结构张量的边界子秩，确定k重矩阵乘法和上三角矩阵乘法的紧界，分析多项式代数、空代数及二次的极化代数的高阶结构张量边界子秩，并证明代数结构张量退化从高阶到低阶的传播。
2026-04-21 cs.CC math.AG math.RA
Topology of tensor ranks
GIPSA-Lab CNRS（GIPSA实验室 法国国家科学研究中心）；University of Chicago（芝加哥大学）；Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
本文研究了由张量秩、边界秩、多线性秩及其对称形式定义的张量集合的路径连通性和同调群，探讨了复数和实数域上的连通性及同调群特性。
2018-04-22 cs.NA math.AG math.AT
Tensor Rank and Complexity
这些课堂讲稿旨在介绍张量秩的几个概念，以及它们与矩阵乘法的渐近复杂性的关系。后者是用矩阵乘法的指数来研究的，它将用张量的（边）秩、（边）对称秩和某些张量的渐近秩来表示。引入了张量的多线性秩，讨论了张量等价的概念，并利用Castling变换研究了准齐次向量空间。此外，我们还讨论了无极性理论，并用它来确定某些对称张量的对称秩（Waring秩）。
2022-07-29 cs.CC math.AG
Cactus barriers
Institute of Mathematics of the Polish Academy of Sciences（波兰科学院数学研究所）
本文通过仙人掌种群和代数几何方法解释了确定性方法在张量边界秩界限定制中的理论障碍。
2026-02-11 math.AG
Algebraic Geometry tools for the study of entanglement: an application to spin squeezed states
从量子和原子物理学应用的角度，简要回顾了代数几何中张量和多项式分解的工具。应用程序的组装不可区分的两级玻色子原子的例子进行了讨论，使用现代配方的经典西尔维斯特的算法在两个变量的齐次多项式的分解。特别地，我们计算了自旋压缩态的对称秩和对称边界秩，以及它们作为宏观上不同的相干自旋态之和的类薛定谔猫分解; Fock态提供了一个对称秩和对称边界秩不同的态的例子。
2011-09-01 math.AC math.AG quant-ph
Symmetric powers: structure, smoothability, and applications
本文研究多项式扭曲幂的边界秩与代数对称幂的可光滑性，证明对称幂可光滑并给出一般情形下边界秩的最优上界，同时引入包络多项式概念并应用于复杂性理论。
2025-08-29 cs.CC math.AC math.AG
Asymptotic rank bounds: a numerical census
Clemson University（克莱姆森大学）
本文通过数值方法计算张量的改进渐近秩界，验证了Strassen猜想并揭示了现有数值方法的限制。
2026-01-13 math.AG
On Strassen's rank additivity for small three-way tensors
我们解决张量秩的可加性问题。这是两个独立的张量，我们研究，如果他们的直和的秩等于他们的个人秩的总和。这个问题的一个积极的答案以前被称为斯特拉森猜想，直到最近的反例提出了希托夫。后者并不十分明确，而且只知道在非常大的张量空间中渐近存在。在这篇文章中，我们证明了一些小的三向张量的可加性。例如，如果其中一个张量的秩最多为6，则可加性成立。或者，如果对于任何$k$，其中一个张量存在于$C^k \otimes C^3 \otimes C^3$中，则可加性也成立。更一般地说，如果其中一个张量是简洁的，并且它的秩至多比其中一个线性空间的维数多2，那么可加性成立。此外，我们还讨论了这类张量的边秩的可加性。特别地，我们证明了如果直和张量包含在$C^4 \otimes C^4 \otimes C^4$中，则边界秩的可加性成立。我们的一些结果在任意基域上都是有效的。
2019-08-04 math.AG
Computing symmetric rank for symmetric tensors
利用代数几何方法研究了确定对称张量的对称张量秩的问题。我们给算法计算对称秩的$2\times ... \times 2$张量和小边界秩的张量。从几何的角度，我们描述了对称秩层的一些割线品种的Veronese品种。
2010-08-09 math.AC math.AG
Product Ranks of the $3\times 3$ Determinant and Permanent
证明了$3\times 3$行列式的积秩为$5$，$3\times 3$积积秩为$4$ .作为推论，我们得到了$3 \times 3$行列式和积式的张量秩分别为$5$和$4$.此外，我们表明，边界积秩的$n \times n$永久大于$n$的任何$n\geq 3$。
2015-03-17 math.AG
Explicit tensors beyond the linear flattening barrier
Concordia University（康科迪亚大学）
本文构造了边界秩至少为3n-o(n)的显式张量，并证明线性展平方法无法超越2n-1的下界，从而提供了超越线性展平障碍的显式示例。
2026-10-07 cs.DS math.AG
