Classification of transversal gates in qubit stabilizer codes
这项工作分类的一组对角门，可以实现一个单一的或两个量子位的横向逻辑门的量子位稳定器代码。我们表明，组成代码的底层量子位上的各个物理门被限制为沿其对角线具有$e^{i πc/2^k}$形式的条目，从而导致可以以这种方式实现的逻辑门的类似限制类。此外，我们表明，所有的对角逻辑门，可以实现横向的个人物理对角门必须属于克利福德层次。此外，我们还可以利用这个结果证明Zeng等人在2007年提出的关于横截门的猜想。
2014-09-29 math-ph math.MP quant-ph
Permutation-Invariant Quantum Codes with Transversal Generalized Phase Gates
University of Maryland（马里兰大学）
本研究针对量子码横向门群问题，构造可横向实现广义相位门的置换不变自旋码，证明非加性码性能优于稳定子码，且所提T门实现方案在量子比特数和最小距离上更具优势。
2024-10-04 quant-ph
Automorphisms of stabilizer codes
研究了二元稳定子码和二元稳定子状态的自同构。我们证明，他们几乎总是形成一个可解群，从而揭示了一个事实，即没有普遍的横向门。我们还确定了自同构群的连通分量。
2011-02-28 quant-ph
Universal fault-tolerant gates on concatenated stabilizer codes
一个经常被引用的事实是，没有量子代码可以支持一组通用和横向的容错逻辑门。这个不可行的定理通常是对其他普适性构造的兴趣，包括幻态蒸馏。然而，被广泛忽视的是，非横向的，但仍然容错的，直接工作在小量子代码的门的可能性。在这里，我们证明正是这种门的存在。特别是，我们展示了如何通过执行多轮中间纠错来克服非横向性的限制，以在稳定器代码上创建逻辑门，这些稳定器代码除了用于综合征测量所需的那些之外不使用任何辅助工具。此外，我们构造的逻辑门，最突出的例子是Toffoli和受控-受控-Z，通常在其代码上完成通用门集。我们详细介绍了最小的量子码，5-qubit和7-qubit码，这样的通用结构，然后继续推广的方法。这种推广的一个显著结果是，任何具有完整的容错单量子位Clifford门集合的非退化稳定器码都具有通用的容错门集合。另一个是逻辑量子比特在不同稳定器代码之间的相互作用，例如，这意味着一种广泛适用的代码切换方法。
2016-09-18 quant-ph
Finding the disjointness of stabilizer codes is NP-complete
本文证明计算稳定子码的c-不相交性及其常数因子近似均为NP完全，并给出多种码族的界限与数值方法，表明为通用量子纠错码寻找容错逻辑门在计算上极具挑战性。
2021-08-10 quant-ph
Clifford Hierarchy Stabilizer Codes: Transversal Non-Clifford Gates and Magic
Institute for Advanced Study（高等研究院）；IBM Quantum, IBM T.J. Watson Research Center（IBM量子，IBM T.J.沃森研究中心）；Kavli Institute of Theoretical Physics（卡弗里理论物理研究所）；King’s College London（伦敦国王学院）
本文研究了Clifford层级稳定码中超越Clifford的非Clifford门和魔法，通过自动对称性构造了转置非Clifford逻辑门，并在不同维度中实现了超越Bravyi-König界限的逻辑门。
2026-05-19 cond-mat.str-el hep-th quant-ph
Efficient fault-tolerant code switching via one-way transversal CNOT gates
本文提出一种仅用横向CNOT门的码切换方案，实现低开销容错逻辑T门，数值模拟显示其优于魔法态注入和物理门，并扩展到高距离码对，简化FT通用量子计算硬件需求。
2025-08-29 quant-ph
Measurement-free code-switching for low overhead quantum computation using permutation invariant codes
University of Sheffield（谢菲尔德大学）；Macquarie University（麦考瑞大学）
本文提出了一种无测量的代码切换协议，利用排列不变码实现低开销的通用量子计算，通过切换稳定器码和PI码来实现更高效的非Clifford门操作。
2025-09-16 quant-ph
Restrictions on non-Clifford fault tolerance and ruling out beyond-SQL quantum metrology
Harvard Quantum Initiative（哈佛量子倡议）；California Institute of Technology（加州理工学院）；Department of Physics, Harvard University（哈佛大学物理系）
该研究证明了非Clifford容错的限制，排除了超越SQL的量子计量学，发现恒定强度信号对齐噪声会阻碍量子计量学超越SQL的渐近优势。
2026-07-31 quant-ph
On Optimality of CSS Codes for Transversal $T$
为了实现通用的容错量子计算，需要实现一个逻辑非Clifford门。因此，重要的是要理解实现这种门的代码。在本文中，我们采用了一种代数的方法来描述所有的稳定器码的横向$T$和$T^{-1}$门保持码空间。我们的海森堡观点将其简化为一个有限几何问题，转化为某些经典代码的设计。我们证明了三个推论：（a）对于支持物理横向$T$的任何非退化$[[ n,k,d ]]$稳定器码，存在具有相同性质的$[[ n,k,d ]]$ CSS码;（b）三正交码是最一般的CSS码，其经由物理横向$T$实现逻辑横向$T$ ;（c）三正交性对于CSS码上的物理横向$T$是必要的，以实现逻辑恒等式。我们使用的主要工具是Clifford层次结构中某些对角门的最近有效表征（arXiv：1902.04022）。我们把这些门称为二次形式对角（QFD）门。我们的框架概括了所有现有的代码结构，通过横向$T$实现逻辑门。我们提供了几个例子，并简要地讨论连接到减少单项码，PIN码，广义三正交性和拟transversality。我们部分扩展这些结果对表征所有稳定器代码，支持横向$π/2^{\ell}$ $Z$ -旋转。特别是，使用Ax定理的多项式的剩余重量，我们提供了一个替代的表征引起的横向$π/2^{\ell}$ $Z$ -旋转的量子里德-穆勒码族的逻辑门。我们还简要地讨论了一个一般的方法来分析QFD门，可能会导致所有的稳定器代码…
2021-08-18 cs.IT math.IT quant-ph
Quantum Logic Codes: Complete Transversal Logical Clifford Instruction Sets for High-Rate Stabilizer Quantum Error Correcting Codes
NVIDIA（英伟达）
研究稳定子量子纠错码的横向逻辑门能力，构建了旋转表面码中深度为一的横向S门和2D环面码中深度为一的块内CZ门，并提出一种高码率非LDPC CSS码族，具有常数深度的完全横向逻辑Clifford基指令集架构。
2026-06-12 math-ph math.MP quant-ph
Transversal dimension jump for product qLDPC codes
Institute for Quantum Information and Matter, Caltech（加州理工学院量子信息与物质研究所）；Fu Foundation School of Engineering and Applied Science, Columbia University（哥伦比亚大学富工程与应用科学学院）；AWS Center for Quantum Computing（亚马逊量子计算中心）；Walter Burke Institute for Theoretical Physics, Caltech（加州理工学院沃尔特·伯克理论物理研究所）
本文提出了一种基于产品qLDPC码的横向维度跃迁方案，通过结合3D和2D码的非局部门实现通用容错量子计算，具有高阈值和低开销。
2026-03-02 quant-ph
Improved Transversal Non-Clifford Gates from Cup Products
UC Berkeley（加州大学伯克利分校）；Tel Aviv University（特拉维夫大学）；IBM Quantum（IBM量子）
本文通过杯积变换构造支持横向非 Clifford 门的量子 LDPC 码，实现常数重量稳定子下多项式距离与接近线性逻辑量子比特数，降低魔法态开销指数。
2026-09-24 cs.IT math.IT quant-ph
Fault-tolerant Preparation of Stabilizer States for Quantum CSS Codes by Classical Error-Correcting Codes
稳定子态是量子信息理论中的一个重要研究对象，它的结构是基于泡利群的。Calderbank-Shor-Steane（CSS）稳定态在容错量子计算（FTQC）中具有重要的应用价值。然而，如何容错地准备任意CSS稳定器状态的一般CSS稳定器代码仍然是未知的，并且它们的准备在计算资源上是非常昂贵的。在本文中，我们将展示如何准备一个大类的CSS稳定器状态有用的FTQC。我们提出了蒸馏协议使用伴随式编码的经典代码或量子CSS代码。沿着同样的路线，我们表明，经典的编码技术可以减少辅助消耗的Steane综合征提取通过使用额外的横向控制非门和经典的计算能力。在固定辅助消耗率的情况下，我们可以增加量子纠错的频率，有效地降低错误率。
2017-03-09 quant-ph
The disjointness of stabilizer codes and limitations on fault-tolerant logical gates
稳定子码是一类简单而成功的量子纠错码。然而，尽管这些代码的容错计算能力有一些严格的限制，但还是取得了这一成功。在这里，我们介绍了一个新的度量这些代码，不相交性，这，粗略地说，是任何给定的非平凡的逻辑泡利算子的大多数非重叠的代表。利用不相交性证明了检错稳定码的横截门必然在Clifford层次的有限层上。我们还将我们的技术拓扑代码的家庭，找到类似的边界上的层次结构的水平可达到的恒定深度的电路，无论其几何位置。例如，我们可以证明对称的2D表面码对于非Clifford门不能具有非局部恒定深度电路。
2017-10-19 quant-ph
Mitigating Coherent Noise by Balancing Weight-2 $Z$-Stabilizers
诸如捕获离子的物理平台遭受相干噪声，其中误差表现为围绕特定轴的旋转并且可以随着时间积累。我们调查被动缓解通过退相干自由子空间，需要噪声保持稳定器代码的代码空间，并作为受保护的信息的逻辑身份运营商。因此，我们开发了所有横向$Z$ -旋转的必要和充分条件，以保持稳定器代码的代码空间，这需要权重- $2$ $Z$ -稳定器覆盖支持某些$X$ -组件的所有量子位。此外，加权$2$ $Z$稳定器生成单奇偶校验码与偶数块长度的直积。通过调整这些组件的大小，我们能够构建一个大家庭的QECC码，不受相干噪声，其中包括$[[4L^2, 1, 2L]]$ Shor码。此外，给定$M$偶数和任何$[[n,k,d]]$稳定器码，我们可以构造不受相干噪声影响的$[[Mn, k, \ge d]]$稳定器码。如果我们要求横向的$Z$ -旋转只在Clifford层次中的某个有限级$l$内保持码空间，那么我们可以构造通用量子计算所需的更高级别的门。支持在每个非零$X$ -分量上的$Z$ -稳定器形成经典二进制码C，要求其包含自对偶码，并且经典Gleason定理约束其重量计数器。在Clifford层次中的$4 \le l \le l_{\max} <\infty$水平上，通过横向$2π/2^l$ $Z$ -旋转保持稳定子码的条件导致Gleason定理的推广，这可能是经典编码理论家的独立兴趣。
2021-11-16 cs.IT math.IT quant-ph
Classical Coding Problem from Transversal $T$ Gates
通用量子计算需要实现逻辑非Clifford门。在本文中，我们刻画了所有的稳定器码，其代码子空间下保持物理$T$和$T^{-1}$门。例如，这可以使用非CSS代码实现幻态蒸馏，从而提供比基于CSS的协议更好的参数。然而，在非退化稳定器代码，支持横向$T$，我们证明了CSS代码是最佳的。我们还表明，三正交码，本质上是唯一的家庭的CSS代码，实现逻辑横向$T$通过物理横向$T$。使用我们的代数方法，我们揭示了新的纯经典的编码问题，通过横向$T$的逻辑运算的实现密切相关。递减单项码也被用来构造实现逻辑CCZ的代码。最后，我们利用Ax定理刻画了一类量子Reed-Muller码的逻辑运算。该结果被推广到arXiv：1910.09333中的更精细的角度$Z$ -旋转。
2021-08-18 cs.IT math.IT quant-ph
Error-Transparent Code Switching Between Permutation-Invariant Codes with Transversal Clifford and Icosahedral Gates
QodeX Quantum（QodeX量子）
本文研究置换不变码间的误差透明切换，证明切换酉算子存在当且仅当两码由距离三的码路径连接，并在13量子比特上构造出达到机器精度的集体切换算子。
2026-10-06 math-ph math.MP quant-ph
Fold-transversal surface code cultivation
Yale University（耶鲁大学）；Yale Quantum Institute（耶鲁量子研究所）；IBM Quantum, IBM T. J. Watson Research Center（IBM量子，IBM T.J.沃森研究中心）
本文提出一种新的表面码培育方案，通过测量未旋转表面码的折叠横向Hadamard运算，利用单元ary技术在表面码家族内扩展，实现了最低的时空开销。
2026-03-24 quant-ph
Magic state distillation with low overhead
我们提出了一个新的家庭的错误检测稳定器码的编码率为1/3，允许横向实施的pi/8-旋转$T$的所有逻辑量子比特。新的代码被用来构建协议，用于提取高质量的“魔术”状态$T|+>$的克利福德群门和泡利测量。蒸馏塔顶馏出物具有作为输出准确度的函数的多对数缩放，其中多项式的次数为$\log_2{3}\approx 1.6$。为了构造所需的代码族，我们引入了三正交矩阵的概念-一个二进制矩阵，其中任何一对和任何三重行甚至重叠。任何三正交矩阵都会产生一个稳定码，它在所有逻辑量子比特上都有一个横向的$T$门，可能会被Clifford门增强。提出了一种生成三正交矩阵的数值方法。我们的技术导致了两倍的开销减少蒸馏魔术状态与输出精度$10^{-12}$相比，以前已知的最好的协议。
2012-09-11 quant-ph
Accessible Quantum Gates on Classical Stabilizer Codes
针对强噪声偏置物理量子比特的纠错需求，研究经典稳定子码上的量子门实现，证明通用逻辑门集需复杂幺正电路，推动偏置噪声稳定子码框架内替代逻辑门构造的研究。
2025-07-07 quant-ph
Quantum Lego Power-up: Designing Transversal Gates with Tensor Networks
Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）；Microsoft Quantum（微软量子）
利用量子积木形式设计支持可寻址反向门的代码，克服传统方法的限制，实现高效故障容忍计算。
2026-03-03 quant-ph
Fault-tolerant conversion between adjacent Reed-Muller quantum codes based on gauge fixing
设计了前向和后向容错转换电路，实现了Steane码和15比特Reed-Muller量子码之间的转换，从而提供了一个通用的横向门集。在我们的方法中，总共14个代码稳定器中只有7个需要测量，并且我们通过简化一些稳定器来进一步增强电路;因此，我们只需要测量一轮正向转换的8个权重-4稳定器和一轮反向转换的7个权重-4稳定器。对于转换，我们处理随机单量子比特错误及其对规范算子的综合征的影响，并且我们新颖的单步过程使得这两个代码之间的容错转换更有效。我们使我们的方法相当一般，通过展示如何转换之间的任何两个相邻的里德-穆勒量子码$\overline{\textsf{RM}}(1,m)$和$\overline{\textsf{RM}}\left(1,m+1\right)$，我们只需要测量稳定剂的数量与m的比例线性，而不是在以前的工作中获得的指数m。我们提供了明确的数学表达式所需的稳定剂和所需的伴随资源。
2019-02-21 quant-ph
Quantifying Nonstabilizerness of Codeword-Stabilized Codes
MIIT Key Laboratory of Complex-field Intelligent Exploration, School of Optics and Photonics, Beijing Institute of Technology（工业和信息化部复杂场智能探测重点实验室，光电学院，北京理工大学）
本文针对码字稳定码建立非稳定度的定量理论，将其转化为加性组合学的经典计数问题，得出非稳定度的上限、陪集闭包下的不变性等关键结果，还给出Kerdock码的闭式值。
2026-10-20 quant-ph
Non-Abelian Self-Correcting Quantum Memory and Transversal Non-Clifford Gate beyond the $n^{1/3}$ Distance Barrier
Mani L. Bhaumik Institute for Theoretical Physics（马尼·L·巴乌米克理论物理研究所）；King’s College London（伦敦国王学院）；University of Maryland, College Park（马里兰大学帕克分校）；Institute for Advanced Study（普林斯顿高等研究院）；IBM Quantum, IBM T.J. Watson Research Center（IBM量子，IBM托马斯·J·沃森研究中心）
本研究提出了一种非阿贝尔自纠正量子记忆，通过非泡利稳定器码和高维杯积实现超越传统距离障碍的拓扑量子计算
2025-12-07 cond-mat.str-el hep-th math.QA
Universal Weakly Fault-Tolerant Quantum Computation via Code Switching in the [[8,3,2]] Code
University of Southern California（南加州大学）
本文提出一种基于[[8,3,2]]码的码切换协议，通过两种不同版本的码实现通用弱故障容错计算，利用Clifford单量子门和逻辑CCZ门，通过数值模拟验证其有效性。
2026-04-06 quant-ph
Efficient Magic State Factory Via Transversal Non-Clifford Gate
Los Alamos National Laboratory（洛斯阿拉莫斯国家实验室）；North Carolina State University（北卡罗来纳州立大学）
本文通过端到端模拟比较了基于代码切换的魔法态制备与魔法态培育的资源需求与性能，提出了结合相位反冲检查和横向非克利福德门的两种容错魔法态制备协议。
2026-06-16 quant-ph
A Low-Overhead Hybrid Approach for Universal Fault-Tolerant Quantum Computation
由于目前还不存在具有通用横向门集合的量子纠错码，人们提出了几种结合横向门的方法，使通用容错量子计算成为可能。魔术状态蒸馏，代码切换，代码连接和分片容错是这些方法的著名例子。然而，这些方法的开销是大规模量子计算的主要瓶颈之一。在本文中，提出了一种混合的方法，它结合了代码级联技术与其他提到的方法。该方法在量子比特数和错误阈值方面都优于码级联，并且以减少级联码实现非横向门的有效距离为代价，显著降低了码切换、幻态蒸馏和可分片容错的资源开销。
2017-05-14 quant-ph
Small Codes for Magic State Distillation
幻态蒸馏是容错量子计算的主要提案中的关键组成部分。然而，关于如何构造幻态蒸馏例程，或者更具体地说，哪些稳定器代码适合于该任务，相对知之甚少。虽然代码中的非Clifford门的横向性通常会导致有效的蒸馏例程，但它似乎不是必要条件。在这里，我们已经研究了一些小的稳定器代码，并强调了少数几个显示有趣的，虽然效率低下，蒸馏行为。许多这些蒸馏噪声状态的权利，以已知的不可蒸馏区域的边界，而一些蒸馏到非稳定状态，以前没有考虑过。
2016-03-04 quant-ph
Low-Overhead Code Concatenation Approaches for Universal Quantum Computation
由于不存在具有通用横向门集合的量子纠错码，人们提出了几种方法，这些方法与横向门相结合，使通用容错量子计算成为可能。魔术状态蒸馏，代码切换，代码连接和分片容错是这些方法的著名例子。然而，这些方法的开销是大规模量子计算的主要瓶颈之一。本文提出了两种基于码级联的通用容错量子计算方法。所提出的方法在量子比特数和码距离方面都优于码级联，并且以减少用于实现非横向门的级联码的有效距离为代价，比码切换、幻态蒸馏和可分片容错具有显著更少的资源开销。
2021-09-04 quant-ph
Fault-tolerant gates via homological product codes
提出了一种利用同调积码实现通用容错逻辑门的方法。特别是，它表明，可以容错映射之间的不同的编码表示一个给定的逻辑状态，使应用程序的不同类别的横向门属于底层量子码。这允许规避与通用横向门集有关的不通过结果，并提供了一个通用的容错计算方案，同时保持代码的稳定器生成器稀疏。
2019-01-29 quant-ph
Universal transversal gates with color codes - a simplified approach
我们对Bombín的论文“Gauge Color Codes”[arXiv：1311.0879v3]中的思想进行了简化但严格的介绍。我们的介绍是自包含的，并假设只有基本概念，从量子纠错。我们提供了一个明确的建设一个家庭的颜色代码在任意尺寸和描述他们的一些重要性质。在这个框架内，我们明确地展示了如何横向实现广义相位门$R_n=\text{diag}(1,e^{2πi/2^n})$，这偏离了“量规颜色代码”的方法，允许一个可以说是更简单的证明。我们描述了如何实现阿达玛门$H$容错使用代码切换。在三维中，这产生，连同横向$CNOT$，容错通用门集$\{H,CNOT,R_3\}$没有状态蒸馏。
2014-09-30 quant-ph
Designing the Quantum Channels Induced by Diagonal Gates
量子计算的挑战是将错误恢复与通用计算相结合。诸如横向$T$门的对角门在实现量子操作的通用集合中起重要作用。本文介绍了一个框架，描述了准备代码状态的过程中，应用对角物理门，测量代码的综合症，并应用泡利校正，可能取决于测量的综合症（平均逻辑通道引起的任意对角门）。它重点关注CSS代码，并根据诱导逻辑运算符确定的生成器系数来描述代码状态和物理门的相互作用。代码状态和对角门的相互作用非常强烈地依赖于CSS代码中的$Z$ -稳定器的符号，并且所提出的生成器系数框架明确地包括该自由度。本文导出了任意对角门保持稳定码码空间的充要条件，并给出了诱导逻辑算子的显式表达式。当对角门是二次型对角门（由Rengaswamy等人引入）时，这些条件可以用确定CSS码的两个经典码中的权重的可分性来表示。这些代码可以应用于魔法状态蒸馏和其他地方。当所有符号都为正时，本文通过推导$l$的充分必要约束，刻画了由经典Reed-Muller码构造的所有可能的CSS码，这些CSS码在通过$π/2^l$的$Z$ -旋转下是不变的.生成器系数框架扩展到任意稳定器代码，但没有得到考虑更一般的类的非退化稳定器代码。
2022-09-06 quant-ph
Code conversion with the quantum Golay code for a universal transversal gate set
本文提出利用量子Golay码与三正交码之间的码转换实现通用横向门集，避免魔法态蒸馏开销，并给出基于横向CNOT的转换方法。
2024-04-18 quant-ph
Transversal gates for quantum CSS codes
Université de Bordeaux（波尔多大学）；Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）；University of Arizona（亚利桑那大学）
本文研究了量子CSS码的横向门计算，确定了逻辑作用和门群，并扩展了相关码类的研究结果。
2026-11-03 cs.IT math.IT quant-ph
Polynomial-time simulation of non-Clifford quantum error correction
University of Oxford（牛津大学）；Freie Universität Berlin（柏林自由大学）
本文提出一类非克利福德量子纠错电路的三阶相位多项式态表示，实现多项式时间精确模拟，并开源工具merlin，在蒸馏与码切换任务中优于现有模拟器。
2026-10-06 quant-ph
Stabilizer circuit verification
本文提出一套高效经典算法，用于完整刻画和穷尽验证以测量奇偶性为条件的泡酉稳定子电路，包括一般形式求解、等价性检验、逻辑作用刻画及测量诱导逻辑作用的解析描述，并应用于格手术等编码形变协议的正确性证明。
2023-09-15 quant-ph
Quantum Lego: Building Quantum Error Correction Codes from Tensor Networks
我们介绍了一个灵活的和图形直观的框架，构造复杂的量子纠错码从简单的代码或状态，广义代码级联。更具体地说，我们将复杂的代码构造表示为以模块化方式从简单代码或状态的张量构建的张量网络。使用一组被称为算子推动的局部移动，可以通过跟踪网络中的算子流来导出更复杂代码的属性，例如横向非Clifford门。该框架赋予它构建的任何代码一个网络几何结构，并且对于在量子位和量子位上构建稳定器代码以及非稳定器代码是有效的。对于可收缩张量网络，收缩序列也构成了解码/编码电路。为了突出框架的功能范围并提供教程，我们列出了一些示例，其中我们将简单的稳定器代码粘合在一起以构建非平凡代码。这些例子包括复曲面代码及其变体，具有横向非Clifford算子的全息代码，3D稳定器代码以及具有有趣特性的其他稳定器代码。令人惊讶的是，我们发现，表面码是等价的二维培根-肖尔码后，“对偶”其张量网络编码映射。
2022-05-11 cond-mat.str-el hep-th quant-ph
Transversal CNOT gate with multi-cycle error correction
本研究在带有flag qubits的Repetition code构建的逻辑量子比特间实现了横截CNOT门，通过IBM量子设备实验证明，将物理量子比特从21增至57可抑制错误并在10轮检测中持续，确立了当前超导量子硬件实现容错逻辑CNOT门的可行性。
2024-06-18 quant-ph
Fault-tolerant logical gates in holographic stabilizer codes are severely restricted
我们评估全息稳定器代码的实用性，通过研究其允许的容错可实现的门。我们把它们作为子系统代码，并表明，一组横向可实现的逻辑操作包含在克利福德组充分本地化的逻辑子系统。以及证明这具体的几个特定的代码，我们认为，这种限制自然会出现在任何稳定子系统的代码，接近捕捉某些属性的全息。我们将这些结果扩展到近似编码，局部保持门，某些代码的逻辑代数有非平凡的中心，并讨论的情况下，可以限制其他层次的Clifford层次。一些辅助的结果也可能是感兴趣的，包括一个一般的定义的纠缠楔形图的任何子系统代码，和一个彻底的分类不同的可校正性属性的区域中的子系统代码。
2021-03-24 hep-th quant-ph
Stabilizer Code-Generic Universal Fault-Tolerant Quantum Computation
University of Colorado Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）
本文提出通过新型辅助介质协议实现逻辑Clifford和T门，构建通用容错量子门集，无需消耗辅助寄存器或修改底层数据码，适用于所有稳定码，使单个码具备通用量子计算能力。
2026-10-06 cs.DS quant-ph
Fault-tolerant logical gates in quantum error-correcting codes
最近，Bravyi和König已经证明，在容错可实现的逻辑门和稳定器代码的几何局部性之间存在权衡。他们认为局部保持操作是由一个恒定的深度几何本地电路，从而容错的建设。特别是，他们表明，对于D空间维度的局部稳定器代码，局部保持门被限制为一组酉门，称为Clifford层次结构的第D层。在本文中，我们阐述了这一想法，并提供了几个扩展和应用，他们的特点在各个方向。首先，我们提出了一个新的自校正量子存储器的no-go定理。也就是说，我们证明了一个三维稳定哈密顿与局部保持实施的非克利福德门不能有宏观能垒。其次，证明了具有非平凡局部保持m级Clifford逻辑门的D维局部稳定子码的码距离上界为$O(L^{D+1-m})$ .对于具有非Clifford门（m>2）的码，这改进了Bravyi和Terhal先前的最佳界。第三，证明了具有非平凡横截m级Clifford逻辑门的码的量子比特损失阈值的上界为1/m。因此，不可能存在具有在Clifford层级的增加层级中的横向门的容错码家族。这个结果适用于任意稳定器和子系统代码，并不限于几何本地代码。第四，我们将Bravyi和König的结果推广到子系统码。一个技术上的困难是，与稳定器代码不同，所谓的联合引理不适用于子系统代码。通过假设子系统代码中存在错误阈值，避免了这个问题，并恢复了与Bravyi-König相同的结论。
2014-08-07 cond-mat.str-el quant-ph
Implementing Clifford Gates on Stabilizer Codes via Measurement
本文提出通过测量与校正操作在任意稳定子码中实现 Clifford 门的方法，给出保持码距的充分条件，并用于 15 比特 Reed-Muller 码以极少可观测量实现逻辑 Hadamard 型门。
2025-02-07 quant-ph
Local decoders for fault-tolerant quantum computation and translation-invariant stabilizer codes
University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）；California Institute of Technology（加州理工学院）
本文提出首个基于拓扑码的二维空间局域容错量子计算架构，核心是时间平移不变元胞自动机表面码译码器，并证明平移不变拓扑稳定子码在现象学噪声下可局域译码。
2026-10-06 cond-mat.stat-mech nlin.CG quant-ph
Asymptotically good binary triorthogonal codes and higher-level transversal gates
Department of Mathematics Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学数学系）
本文构造了从第三层起每层Clifford层级中支持对角横向门的渐近良好二元CSS码，首次得到渐近良好的二元三正交码族，并实现恒定开销的T态蒸馏。
2026-09-15 cs.IT math.IT quant-ph
Qubit CSS codes with Universal Transversal Gates
QuEra Computing Inc.（QuEra 计算公司）；NVIDIA（英伟达）；Joint Center for Quantum Information and Computer Science, NIST/University of Maryland（量子信息与计算机科学联合中心，美国国家标准与技术研究院/马里兰大学）
本文通过深度为一的少量子比特门层，在纠错码上生成通用逻辑门集，无需魔法态蒸馏等辅助手段，并构造了47个容忍每层至少一个故障门的码，包括[[37,1,7]]和[[59,1,9]]码。
2026-10-06 quant-ph
Towers of generalized divisible quantum codes
可分二进制经典码是其中每个码字具有可被固定整数整除的权重的码。如果除数是$2^ν$，对于正整数$ν$，那么可以构造Calderbank-Shor-Steane（CSS）码，其中$X$稳定器空间是可分的经典码，其在Clifford层次的$ν$层中允许横向门。我们考虑一个推广的整除性，允许一个系数向量的奇整数，每个码字有零点积模的除数。在这种广义上，我们构造了一个CSS码的除数$2^{ν+1}$和代码距离$d$从任何CSS码的代码距离$d$和除数$2^ν$，其中的横向$X$是一个非平凡的逻辑运算符。新码的编码速率比旧码的编码速率大约小$d$倍。特别是，对于大的$d$和$ν\ge 2$，我们的建设产生了一个CSS代码的参数$[[O(d^{ν-1}), Ω(d),d]]$承认一个横向门在$ν$ -th级的Clifford层次结构。对于我们的建设，我们介绍了转换魔术状态蒸馏协议的基础上Clifford测量的基础上的代码与横向$T$门。我们的塔包含，作为一个子类，广义三重甚至CSS代码，出现在所谓的规范固定或代码切换方法。
2018-04-05 quant-ph
Transversal Clifford and T-gate codes of short length and high distance
本文构造了距离最高达31的三类短长度稳定子码，分别支持Clifford群和逻辑T门的横向实现，并在给定距离下实现了已知最小的物理量子比特开销。
2025-03-24 cs.IT math.IT math.NT
Quantum LDPC Codes with Transversal Non-Clifford Gates via Products of Algebraic Codes
本文通过代数码乘积与谱扩展器上的局部Reed-Solomon码构造了支持横截 $C^{r-1}Z$ 门的量子LDPC码，首次在低权重稳定子条件下实现任意小产率参数的magic state distillation，并附带得到具有乘法性质的经典局部可测试码。
2024-10-18 cs.CC cs.IT math.IT
Climbing the Diagonal Clifford Hierarchy
魔术状态蒸馏和Shor分解算法基本上使用了逻辑对角门。我们介绍了一种方法，综合CSS代码，实现目标逻辑对角门在一定程度上$l$的Clifford层次。该方法结合了三个基本操作：级联、去除$Z$ -稳定剂和添加$X$ -稳定剂。它显式地跟踪由保留CSS代码的对角物理门引起的逻辑门。第一步是级联，其中输入是CSS代码和在$l$级的物理对角门，从而在同一级诱导逻辑对角门。输出是一个新的代码，对于该代码，在$l+1$级的物理对角门诱导原始逻辑门。下一步是明智地去除$Z$ -稳定剂，以增加诱导的逻辑运算符的水平。我们确定了三种方法攀登的逻辑Clifford层次结构从$l$级到$l+1$级，每一个建立在一个递归关系的诱导逻辑运算符的泡利系数。去除$Z$ -稳定器可以减小距离，并且第三基本操作的目的，添加$X$ -稳定器，是为了补偿这种损失。对于相干噪声模型，我们描述了如何通过简单地应用泡利$X$矩阵在无消相干子空间中的中间结果的计算和存储之间切换。在以前的工作中采取的逻辑门综合的方法集中在代码状态，并在CSS代码的充分条件，结果是固定的横向$Z$旋转。与此相反，我们推导出必要和充分条件，通过分析的横向对角门的稳定器组，确定代码的行动。我们的方法的权力证明了两个概念的证明：$[[2^{l+1}-2,2,2]]$三正交码的家庭，和$[[2^m,\binom{m}{r},2^{\min\{r,m-r…
2021-10-27 cs.IT math.IT quant-ph
A Search for High-Threshold Qutrit Magic State Distillation Routines
Department of Physics and Computer Science, Dayalbagh Educational Institute（Dayalbagh 教育学院物理与计算机系）
本文研究了三态奇特态的高阈值魔态提纯规程，通过分析不同稳定化码的性能，发现超过600个CSS码能够实现该态的提纯，尽管未超越现有高莱码的阈值。
2026-02-03 cs.IT math.CO math.IT
Chutes and Ladders: Dynamical Automorphisms via the ZX-Calculus
Institute for Quantum Computing, University of Waterloo（滑铁卢大学量子计算研究所）；Department of Pure Mathematics, University of Waterloo（滑铁卢大学纯数学系）；Perimeter Institute for Theoretical Physics（理论物理珀金斯研究所）；Department of Physics and Astronomy, University of Waterloo（滑铁卢大学物理与天文学系）；Department of Physics, California Institute of Technology（加州理工学院物理系）；Centre Inria de Paris（巴黎Inria中心）；Joint Center for Quantum Information and Computer Science, NIST/University of Maryland（美国国家标准与技术研究院/马里兰大学联合量子信息与计算机科学中心）
本文扩展ZX-演算以处理Floquet和其他动态稳定子码，通过测量基代码切换与规范固定的联系，实现稳定子码空间中的闭环，从而构造逻辑Clifford门，并作为示例实现了七量子比特裸码的距离保持逻辑相位门。
2026-06-01 quant-ph
On Local Equivalence, Surface Code States and Matroids
最近，Ji等人反驳了LU-LC猜想，并证明了稳定态的局部酉等价类和局部Clifford等价类并不总是相同的。尽管这解决了LU-LC猜想，但缺少违反LU-LC猜想的稳定态的充分条件。本文进一步研究了稳定态关于局部等价的性质。我们的第一个结果表明，存在无穷多个违反LU-LC猜想的稳定态。特别地，我们证明了对于所有的量子比特数$n\geq 28$，存在距离为2的稳定态，这是LU-LC猜想的反例。证明了对所有奇数$n\geq 195$，存在距离大于2的稳定子态，它们是LU等价的，但不是LC等价的.在量子计算中有两类重要的稳定子态，它们是团簇态和表面码的稳定子态。到目前为止，这些状态相对于LU-LC猜想的地位还没有研究。我们表明，在一些最小的限制，这两类国家排除任何反例。在这种情况下，我们还表明，相关的表面码没有任何编码的非Clifford横向门。我们的CSS表面码状态的一类较小的封闭二元拟阵的特征。除了与二元拟阵理论中的一个重要的开放问题联系起来之外，这种特征在某些情况下确实为不是反例的CSS状态提供了一个有效的测试。
2010-04-05 math.CO quant-ph
Building codes with transversal CCZ using projective geometry and SAT solvers
Duke Quantum Center, Duke University（杜克大学杜克量子中心）；Duke University（杜克大学）
利用射影几何和SAT求解器构造具有横向CCZ门、距离至少为3的三逻辑量子比特CSS码，并证明在n<39时不存在此类码，填补了码长范围的部分空白。
2026-10-19 cs.IT math.IT quant-ph
