Primal-Dual Cops and Robber
研究平面图上警察在相邻面移动、强盗在相邻顶点移动的博弈变体，证明当且仅当最大度 $Δ\leq 4$ 时常数名警察足以抓捕强盗。
2024-01-10 cs.DM math.CO
Cops and robbers pebbling in graphs
Acadia University（阿卡迪亚大学）；Virginia Commonwealth University（弗吉尼亚联邦大学）
本文提出警卫与强盗推石游戏，研究其推石数及图类中的上界、下界和精确值，并探讨相关猜想与新问题。
2026-08-13 cs.DM math.CO
A bound for the cops and robber problem in terms of 2-component order connectivity
本文研究警察与强盗游戏中的警察数界，利用图的2-组件阶连通度刻画删除顶点后组件规模受限的结构，并给出警察数的上界。
2024-12-03 cs.DM math.CO
Cops and Robbers on diameter two graphs
在这篇简短的论文中，我们研究了警察和强盗的游戏，在一些固定的图$G$的阶$n$的顶点。逮捕一个抢劫犯所需的最少警察人数称为警察人数$G$。我们证明了直径为2的图的copnumber至多为$\sqrt{2n}$，改进了Lu和Peng的一个结果.我们猜想这个界仍然不是最优的，并得到了一些关于最优界的部分结果。
2014-09-28 cs.DM math.CO
A note on hyperopic cops and robber
我们探索Bonato等人介绍的警察和强盗游戏的变体。除非在警察的公共区域之外，否则抢劫者是看不见的。的hyperopic警察数是类似的警察数，我们调查这个数量的界限。我们定义了一个小的公共邻域集，并与此图参数的最小基数的远视警察数。我们考虑直径为2的图，特别是两个图的连接，以及笛卡儿积。
2021-07-15 cs.DM math.CO
Cops and an Insightful Robber
《警察与强盗》的“作弊机器人”版本是在一个有限的、简单的、连通图上播放的。球员们在同一时间内移动。然而，在移动之前，机器人观察警察正在移动到哪些顶点，并且它足够快以在时间段内完成其移动。警察也知道机器人会利用这些信息。抓捕一个机器人比抓捕一个强盗需要更多的警察。实际上，最小度是捕获一个机器人所需警察数量的下界。只有在树上，一个警察才能保证抓住一个机器人，尽管在外平面图上，两个警察就足以抓住一个强盗和一个机器人。在图中涉及撤回，我们展示了如何警察对强盗的策略可以修改，以捕获机器人。这种方法给出了超立方体和一般的$k$维网格的精确数字。
2021-03-10 cs.DM math.CO
$k$-Hyperopic Cops and Robber
本文提出$k$-远视警察与强盗游戏，定义$k$-远视警察数，刻画警察获胜图，并给出匹配数、树的直径及外平面图等情形下的上界。
2024-10-23 cs.DM math.CO
The game of Cops and Robbers on directed graphs with forbidden subgraphs
传统的警匪游戏是在无向图上进行的。近年来，同样的博弈在有向图上得到了越来越多的关注。我们知道，如果我们禁止某个子图，我们就可以限制相应图类的cop数。本文分析了$\Vec{H}$ -free有向图上的警匪博弈。然而，它与无向图的情况不同。因此，我们提出了一个新的概念（$\Vec{H}^*$ -free），得到了关于无向图的类似结论。
2020-01-27 cs.DM math.CO
Cops, robbers, and burning bridges
我们考虑一个变种的警察和强盗，其中每个边缘遍历的强盗从图中删除。重点是确定在图$G$上捕获抢劫犯所需的最小警察数量，称为$G$的{ \em烧桥警察数量}，记为$c_b(G)$。本文对几类初等图精确地确定了$c_b(G)$，并给出了当$T$是树时计算$c_b(T)$的多项式时间算法.我们还研究了二维正方形网格和环面，以及超立方体，我们给出了一个图的捕获时间的界限（一个警察在$G$上捕获一个强盗所需的最小回合数，前提是$c_b(G) = 1$）。
2018-12-24 cs.DM math.CO
Cops and Robber -- When Capturing is not Surrounding
本文研究了经典Cops and Robber游戏的四种“包围”版本，通过关联不同版本的警察数，证明其均不受经典警察数与图最大度数的函数所界，从而反驳了Crytser等人的猜想。
2024-10-11 cs.DM math.CO
Catching a fast robber on the grid
我们在网格上研究警察和强盗的问题，允许强盗比警察移动得更快。众所周知，当抢劫犯具有单位速度时，两个警察是必要的，也是足够的。在这里，我们证明，当抢劫犯的速度是一个足够大的常数，警察的数量需要抓住抢劫犯的$n \times n$网格是$\exp(Ω(\log n / \log \log n))$。
2017-06-05 cs.DM math.CO
Guarding isometric subgraphs and Cops and Robber in planar graphs
本文引入子图中宽阴影概念刻画所有1-可保护图，并证明在最多两名警察同时移动的限制下3名警察可在任何平面图中捕获强盗，从而证明了Yang的猜想并加强了Aigner和Fromme的经典结果。
2024-06-03 cs.DM math.CO
Cops against a cheating robber
本文研究警察与作弊机器人博弈，提出推挤数以刻画最少需多少警察登上强盗顶点，并建立其与包围式警察强盗博弈的关系，给出平面图界、多项式判定算法及图积界。
2024-09-17 cs.DM math.CO
Cops and robbers on oriented toroidal grids
警察和强盗的游戏是一个著名的游戏玩图表。本文考虑环面和克莱因瓶的4-正则四边形剖分的直前定向，证明了它们的cop数是有界的。我们还表明，每个k-规则定向的环形网格的cop数是最多13。
2020-05-12 cs.DM math.CO
Accelerated Cops and Robbers
本文研究了Cops and Robbers变体中双方每回合可遍历最多 $s$ 条边（$s \ge 2$）的新模型，给出了网格与超立方体的警察数界限，并确定了 $s=2$ 时警察获胜图的捕获时间。
2025-06-25 cs.DM math.CO
The Game of Cops and Eternal Robbers
我们介绍的游戏警察和永恒的强盗玩的图形，有无限多的强盗，顺序出现在不同的游戏。一个正整数$t$是固定的，并且要求警察在每次游戏中最多在$t$时间步长内捕获抢劫犯。相关的优化参数是永恒的警察数，表示为$c_t^{\infty},$，它等于永恒的控制数的情况下，$t=1,$和足够大的$t.$的警察数我们研究了警察和永恒的强盗的复杂性，并表明，游戏是NP-困难的，当$t$是一个固定的常数和大值的$t$的EXPTIME-完全。我们确定路径和循环的$c_t^{\infty}$的精确值。永恒的警察数研究的缩回，这种方法是适用于给树木的界限，以及强和笛卡尔网格。
2020-03-10 cs.DM math.CO
The Game of Cops and Robber on (Claw, Even-hole)-free Graphs
本文研究了一类没有偶数洞（偶数长度的诱导圈）和爪（三叶星）的图上的警察与强盗的对策。图$G$的警察数被定义为捕获强盗所需的最小警察数。在这里，我们证明了所有的无爪偶无洞图的cop数最多为2，此外，捕获时间最多为$2n$轮，其中$n$是图的顶点数。此外，我们的结果可以被看作是研究无爪偶无洞图结构的第一步。
2022-01-11 cs.DM math.CO
Cops and Robbers on graphs of bounded diameter
警察和强盗的游戏是一个众所周知的游戏玩的图形。本文考虑一类直径有界的图。本文改进了Cops的策略和以前使用的概率方法，得到了有界直径图的Cops数的一个改进的上界。特别地，对于直径为4的图，我们将上界从$n^{\frac{2}{3}+o(1)}$提高到$n^{\frac{3}{5}+o(1)}$，对于直径为3的图，将上界从$n^{\frac{2}{3}+o(1)}$提高到$n^{\frac{4}{7}+o(1)}$。
2019-12-16 cs.DM math.CO
Cops and Robbers for Graphs on Surfaces with Crossings
本文研究带交叉的曲面图上的警察与强盗博弈，提出距离d变体，证明当交叉边对之间存在短路径连接时，1-平面图、k-平面图等图类的警察数在较小d值下有界。
2025-07-02 cs.DM math.CO
Cops and Robbers on 1-Planar Graphs
研究1-平面图上的警察与强盗追逃博弈，证明一般1-平面图警察数无界，极大1-平面图警察数为3，并刻画了外1-平面图的警察数。
2023-09-07 cs.DM math.CO
A note on Cops and Robbers, independence number, domination number and diameter
本文研究了连通图$G$的直径$D(G)$、控制数$γ(G)$、独立数$α(G)$和copnumber $c(G)$之间的关系，证明了（i.）$c(G) \leq α(G)-\lfloor \frac{D(G)-3}{2} \rfloor$，和（ii.）$c(G) \leq γ(G) - \frac{D(G)}{3} + O (\sqrt{D(G)})$。
2022-03-31 cs.DM math.CO
Cops and robber on variants of retracts and subdivisions of oriented graphs
研究定向图上 Cops and Robber 博弈的三种变体（强、普通、弱警察模型），证明强和普通警察数在相应收缩变体中保持不变，并证实所有变体在 2-degenerate 二部图上仍具计算难度。
2023-07-02 cs.DM math.CO
Optimizing the trade-off between number of cops and capture time in Cops and Robbers
对于警察和强盗的游戏，图$G$的警察节流数$th_c(G)$是$k + capt_k(G)$的最小值，其中$k$是警察的数量，而$capt_k(G)$是在所有可能的游戏中，$k$警察在$G$上捕获强盗所需的最小回合数，在所有可能的游戏中，两个玩家都玩得最好。本文构造了一类具有$th_c(G)= Ω(n^{2/3})$的图，建立了cop节流数的一个次线性上界，并证明了弦图的cop节流数为$O(\sqrt{n})$ .我们还引入了产品警察节流数$th_c^{\times}(G)$作为一个参数，使警察使用的工时最小化。该参数扩展了在并行处理和网络净化的背景下研究的加速概念。我们建立的产品COP节流数的COP节流数的界限，低产品COP节流数的特征图，并显示，对于弦图$G$，$th_c^{\times}=1+rad(G)$。
2019-09-13 cs.DM math.CO
Some Game Theoretic Remarks on Two-Player Generalized Cops and Robbers Games
本文研究了Bonato和MacGillivray提出的两人广义Cops and Robber（GCR）对策。我们的主要目标是提出一个完整的，自成一体的博弈论分析这样的游戏。
2020-11-19 cs.DM cs.GT math.CO
Pushing Cops and Robber on Graphs of Maximum Degree 4
Université Clermont Auvergne, CNRS, Clermont Auvergne INP, Mines Saint-Étienne, LIMOS（克莱蒙奥弗涅大学、法国国家科学研究中心、克莱蒙奥弗涅理工学院、圣艾蒂安国立高等矿业学校、LIMOS实验室）
研究在最大度数为4的图上，通过推动操作扩展了警官和小偷游戏的必胜策略条件。
2025-12-25 cs.DM math.CO
Limited-visibility Cops and Robbers on Hamming graphs
本文研究汉明图上的有限可见性警察与强盗游戏，给出捕获强盗所需警察数量的界，解决了Clarke等人提出的若干开放问题。
2025-09-05 math.CO
The robber strikes back
我们考虑一个新的警察和抢劫犯博弈，它与通常的警察和抢劫犯博弈相同，除了如果抢劫犯移动到一个包含一个警察的顶点，那么这个警察将从博弈中删除。我们研究了在图$G$上捕获一个抢劫犯所需的最少警察数，写为$cc(G)$。在二部图类和直径为2的无$K_{1,m}$图类中，我们给出了$cc(G)$的上界.
2013-08-13 cs.DM math.CO
Cops and Robbers is EXPTIME-complete
研究了图G上判定k个警察能否抓住一个抢劫犯的计算复杂性。1995年，Goldstein和Reingold提出当G和k都是输入的一部分时，这个问题是EXPTIME完全的;我们证明了这个猜想。
2014-12-04 cs.CC cs.DM math.CO
Cops and Attacking Robbers with Cycle Constraints
本文研究警察与攻击型强盗博弈，刻画了警察数不超过2的无三角形图，证明二部平面图警察数至多为4且构造出达到4的紧例子，并首次构造出警察数差至少为3的图。
2024-08-05 cs.DM math.CO
Bounds on the length of a game of Cops and Robbers
在警察与强盗的游戏中，一队警察试图在图$G$上抓住一个强盗。所有参与者占据$G$的顶点。游戏以回合为单位进行;在每一轮中，警察移动到相邻的顶点，之后强盗也移动到相邻的顶点。保证在$G$上捕获抢劫犯所需的警察的最小数量是$G$的警察数量，表示为$c(G)$，并且他们这样做所需的最小回合数是捕获时间。已知一个具有图的点数为$k$的$n$-顶点图的捕获时间为$O(n^{k+1})$.最近，Bonato，Golovach，Hahn，and Kratochvíl（2009）和Gavenčiak（2010）证明了对于$k = 1$，这个上界不是渐近紧的：对于cop数为1的图，cop总是可以在$n-4$轮中获胜。在本文中，我们证明了当$k \ge 2$：对于固定的$k \ge 2$，我们构造了捕获时间至少为$\left (\frac{\vert V(G) \vert}{40k^4}\right )^{k+1}$的任意大图$G$时，上界是紧的。在证明我们的主要结果的过程中，我们建立了可能具有独立意义的结果。特别是，我们表明，问题的决定是否$k$警察可以捕获一个强盗的有向图是多项式时间等价于决定是否$k$警察可以捕获一个强盗的无向图。作为这一事实的推论，我们得到了Goldstein和Reingold（1995）的一个主要猜想的一个相对简短的证明，该猜想最近由作者（2015）通过其他方法证明。我们还证…
2018-06-19 cs.DM math.CO
The 3x3 rooks graph is the unique smallest graph with lazy cop number 3
在普通版本的追逃对策“警察和强盗”中，一队警察和一个强盗占据一个图的顶点，并沿着图的边缘交替移动，彼此都有完美的信息。如果一个警察落在劫匪身上，警察就赢了;如果劫匪能无限期地躲避警察，他就赢了。在“懒警察和强盗”的变体中，警察只能选择他们班的一名成员在轮到他们时采取行动。最低数量的警察（分别懒惰的警察）需要抓住强盗被称为“警察号码”（分别。“惰性拷贝数”），并表示为$c(G)$（分别为$c_L(G)$）。Beveridge等人的工作证明了Petersen图是唯一的具有$c(G)=3$的10个顶点的图，而所有具有$c(G)\leq 2$的9个或更少顶点的图都具有$c(G)\leq 2$。(This是贝尔德和博纳托通过计算搜索发现的一个结果的完备的数学证明。）在这篇文章中，我们证明了一个类似的结果，即3 × 3车图（$K_3\square K_3$）是唯一的9个顶点的图，需要3个懒惰的警察，和8个或更少的顶点的图需要最多两个懒惰的警察。
2016-06-27 cs.DM math.CO
Fast and Furious: A study on Monotonicity and Speed in Cops-and-Robber Games
该研究系统分析了不同可见性、行动模式与速度下警察与强盗博弈的单调性性质，明确了各类变体的警察宽度与路径宽度、树宽度的对应关系，并证明了强盗单调变体与非单调变体间的警察宽度差距有界。
2025-02-21 cs.DM math.CO
Cops and robbers on $2K_2$-free graphs
本文证明了$2K_2$-自由图的警察数至多为2，并证实了$2K_1+K_2$-自由图警察数上界3的最优性，解决了相关猜想。
2021-10-04 cs.DM math.CO
Notes on Cops and Robber game on graphs
这些是我从2007年开始做的关于警察和强盗的追逐游戏的一些个人笔记。更多的新老问题（以及一些解决方案）将在这些注释的未来版本中添加。
2017-10-31 math.CO
The Cops & Robber game on series-parallel graphs
警察和强盗游戏是在无向有限图上进行的。$k$警察和一个强盗位于顶点上，并轮流沿边移动。如果在一次移动后，警察和强盗在同一个顶点上，警察就赢了。如果警察有一个获胜的策略，那么这个图就叫做$k$ -copwin。已知可平面图是3-copwin（Aigner & Fromme，1984），外可平面图是2-copwin（Clarke，2002）。在这篇短文中，我们证明了串并联（即，没有$K_4$次图的图是2-共赢的。在警察与强盗博弈的文献中，这是一个众所周知的技巧，定义了对警察可能的策略施加限制的博弈变体（参见Clarke，2002）。为了我们的证明，我们定义了“有出口的警察和强盗博弈”。我们的证据为警察提供了一个获胜的策略。
2008-01-18 math.CO
Cops and robber on subclasses of $P_5$-free graphs
警察和强盗的游戏是一个基于回合的顶点追踪游戏，在一个连通图上，一队警察和一个强盗之间进行。警察和强盗沿着图的边缘交替移动。如果警察和强盗在图的同一个顶点上，我们说警察队赢了。在图的每个分量中获胜所需的最小cops数称为图的copnumber。Sivaraman [Discrete Math. 342（2019），pp. 2306-2307]证明了对每个$t\geq 5$，连通无$P_t$图的copnumber至多为$t-3$，其中$P_t$表示$t$ ~-顶点上的路. Turcotte [Discrete Math. 345（2022），pp. 112660]表明，任何$2K_2$ -free图的cop数至多是$2$，这是由Sivaraman和Testa较早证明的。注意，如果一个连通图是无$2K_2$的，那么它也是无$P_5$的. Liu证明了连通（$P_t$，$H$）-free图的copn数至多为$t-3$，其中$H$是长度至多为$t$的圈或爪.所以Sivaraman的猜想对于（$P_5$，$H$）-free图是成立的，其中$H$是长度至多为$5$的圈或爪。本文证明了连通无（$P_5,H$）图的copnumber至多为$2$，其中$H\in \{C_4$，$C_5$，diamond，paw，$K_4$，$2K_1\cup K_2$，$K_3\cup K_1$，$P_3\cup P…
2022-11-29 cs.DM math.CO
A study of cops and robbers in oriented graphs
我们认为，在定向图的背景下，这已经得到了很好的研究警察和强盗的游戏，令人惊讶的是，很少有人关注的日期。我们研究了定向图与其底层无向图的copnumber之间的关系，给出了一个令人惊讶的结果：至少存在一个图$G$，对于该图，$G$的每个强连通方向的copnumber严格小于$G$的copnumber.我们还反驳了一个关于cop-win有向图结构的猜想，研究了外平面图的定向，并研究了线有向图的cop-win数。最后，我们考虑了最优对策的一些方面，特别是警察赢有向图的捕获时间和警察和强盗的相对位置的性质。
2019-01-15 cs.DM math.CO
Hyperopic Cops and Robbers
我们介绍了一个新的变种的游戏的警察和强盗玩的图形，强盗是不可见的，除非外面的邻居集的警察。的hyperopic铜数是相应的模拟的铜数，我们调查的界限和其他性质的这个参数。我们的特点，这个变种的cop-win图，以及图与最大可能的hyperopic copnumber。我们分析了直径为2或至少为3的图的情况，重点是当远视cop数至多大于cop数时。我们证明了对于可平面图，与通常的cop数一样，远视cop数至多为3。研究了可数图的远视cop数，证明了在$[0,1/2].$中，连通图链的远视cop密度可以是任意实数
2017-10-27 cs.DM math.CO
Surrounding cops and robbers on graphs of bounded genus
我们考虑有界亏格图上的警察和强盗的一个周围变体。我们得到的界限上的警察需要包围一个强盗的可平面图，环形图，外可平面图。我们还得到了改进的边界的二部平面和环形图。我们简要地考虑了有界亏格的一般图和具有禁止子图的图。
2019-11-04 math.CO
Cops and Robber on Cartesian products and some classes of hypergraphs
警匪博弈是一个追逃对策，通常在连通图上进行。在游戏中，一组警察和一个强盗沿着边绕图的顶点移动，警察的目标是抓住强盗，而强盗的目标是避免被抓住。自20世纪80年代初以来，关于这个游戏的许多研究已经完成。这个游戏有一个自然的概括，可以在连通超图上玩，警察和强盗现在可以沿着超边移动。在本文中，我们将提供一个超图的特征，其中一个警察是足够的，以捕捉强盗。一个连通超图的警察数是为了抓住抢劫犯所需的最小警察数。本文将证明某些超图的Cop-number的一些结果，包括超图的超树和超图的笛卡儿积。
2021-07-25 math.CO
Monotonicity of the cops and robber game for bounded depth treewidth
研究了刻画树宽的警察与强盗博弈变体，证明若k名警察有必胜策略则必有单调必胜策略，由此给出有界深度树宽的新刻画并肯定回答Fluck等人的开放问题。
2024-02-14 cs.DM math.CO
A new bound for the cops and robbers problem
在这篇短文中，我们研究了在某个固定图$G$的顶点上进行的警匪博弈。警察和强盗被允许沿着$G$的边缘移动，警察的目标是抓住强盗。$G$的警察号码$c(G)$是赢得游戏所需的最低警察人数。Meyniel很久以前就证明了，对于$n$顶点上的任何连接的$G$，$O(\sqrt{n})$ cop就足够了。改进了已有的几个结果，证明了$n$ -顶点图的copnumber至多为$n 2^{-(1+o(1))\sqrt{\log n}}$ .
2010-04-12 math.CO
Cops and Robber Game with a Fast Robber on Interval, Chordal, and Planar Graphs
我们考虑一个由Fomin，Golovach，Kratochvil提出的警察和强盗博弈的变体，其中强盗具有无限的速度，也就是说，在她的回合中可以从她的顶点采取任何路径，但她不允许通过一个被警察占据的顶点。我们在区间图、弦图、可平面图和超立方体图上研究了这个博弈。令c_{\infty}（G）表示在该变体中捕获图G中的强盗所需的警察的数量。证明了如果G是区间图，则c_{\infty}（G）= O（sqrt（|V（G）|）），并给出了求区间图中c_{\infty}（G）的多项式时间3-近似算法.证明了对任意n，存在n-顶点弦图G，使c_{\infty}（G）= Omega（n / \log n）.令tw（G）和Delta（G）分别表示G的树宽和最大度。证明了对任意G，tw（G）+ 1 \leq（Delta（G）+ 1）c_{\infty}（G）.利用c_{\infty}（G）的这个下界，我们证明了两件事。第一个是，如果G是一个可平面图（或更一般地说，如果G没有固定顶点图作为子图），则c_{\infty}（G）= Theta（tw（G））。这立即导致O（1）-近似算法计算可平面图的c_{\infty}。第二个是如果G是m-超立方体图，则存在常数eta 1，eta 2>0使得（eta 1）2 ^m/（m sqrt（m））\leq c_{\infty}（G）\leq（eta 2）2 ^m/ m.
2011-04-16 cs.DM math.CO
Cops, Robber and Medianwidth Parameters
在以前的工作中，我们介绍了中值分解，树分解的一个概括，其中一个图可以建模后的任何中值图，随着层次结构的$i$ -medianwidth参数$(mw_i)_{i\geq 1}$开始从树宽和收敛到团数。我们引入了另一个基于中位数分解概念的图参数，称为$i$ -latticewidth，并由$lw_i$表示，为此，我们限制分解的建模中位数图可等距嵌入到$i$路径的笛卡儿积中。序列$(lw_i)_{i\geq 1}$产生从路径宽度开始并收敛到团数的参数层次。本文用图的$i$路分解的袋的最大交来表示图的$i$ -格宽。我们研究了经典的警察和强盗游戏的概括，在那里的强盗发挥对不只是一个，但$i$警察球员。根据强盗是否可见，我们分别显示了与$i$ -medianwidth或$i$ -latticewidth的直接连接。
2016-03-22 cs.DM math.CO
The multi-robber damage number of a graph
在图上的警察和强盗游戏的许多变体中，多个警察对抗一个强盗。2019年，Cox和Sanaei推出了一个游戏变体，让劫匪扮演一个比简单地躲避警察更积极的角色。在他们的版本中，强盗试图破坏尽可能多的顶点，而警察试图将这种破坏降到最低。虽然伤害变体最初是用一个警察和一个强盗来研究的，但后来卡尔森等人将其扩展到多个警察。在2021年。我们采取不同的方法，通过研究多个劫匪对一个警察的伤害变量。具体地说，我们引入了图的$s$-强盗破坏数，并得到了这个参数的各种界限。应用这些界限，我们确定了各种图族的$s$-强盗破坏数，并刻画了极端$2$-强盗破坏数的图。
2022-05-14 cs.DM math.CO
Cops and Robbers: A $\times$-homotopy Invariant Variant
本文引入了'狡猾主动警探与罪犯'变体游戏，证明在反射图中该游戏等同于经典游戏，并展示图的警探数在×-同调等价下保持不变。
2026-03-13 math.CO
Cops and robbers on planar directed graphs
Aigner和Fromme通过证明在每个连通的可平面图中，三个警察足以赢得对单个强盗的自然追捕游戏的优雅而尖锐的结果，开始了对图的警察数的系统研究。这个博弈由Nowakowski和Winkler提出，在组合文学中通常被称为“警察和强盗”。我们将这项研究扩展到有向可平面图，并建立从无向设置分离。我们展示了一个尺规作图法，它表明一个更复杂的强盗策略可以无限期地逃避一个特定的强连通平面有向图上的三个警察。
2015-07-03 math.CO
Some remarks on cops and drunk robbers
Aristotle University of Thessaloniki（亚里士多德大学）；Ryerson University（瑞尔森大学）
在警察和强盗都是最优博弈的假设下，警察和强盗博弈已经得到了广泛的研究。在本文中，我们研究的问题，其中警察正在追逐一个喝醉了的强盗（即，强盗谁执行随机行走）上的一个图。我们的主要目标是描述“醉酒的代价。“具体来说，我们研究了最佳版本和醉酒抢劫者的预期捕获时间之比。我们还研究了算法方面的问题，也就是说，如何计算接近最佳的搜索时间表的警察。最后，我们提出了一个初步的调查无形的强盗游戏，并指出这种游戏和图搜索之间的差异。
2011-06-13 cs.DM cs.GT cs.RO
Containment: A Variation of Cops and Robbers
我们认为“遏制”：警察和强盗的图追踪游戏的一种变体，其中警察从边移动到邻边，强盗从顶点移动到相邻的顶点（但不能沿着被警察占据的边移动），警察通过“包含”强盗-也就是说，通过当强盗在$v$时占据与顶点$v$相关的所有$°(v)$而获胜。我们开发的界限，涉及最小数量的警察，$ξ(G)$，需要包含一个强盗，以著名的“警察号码”$c(G)$在原来的游戏：特别是，$c(G) {\le} ξ(G) {\le} γ(G) Δ(G)$。我们注意到，$ξ(G) {\geq} δ(G)$的所有图$G$，并分析了几个家庭的图，其中平等持有，以及几个在其中的不等式是严格的。我们还给出了一些例子，图需要一个无限数量的警察，以包含一个强盗，并指出，存在三次图与$ξ(G) \geq Ω(n^{1/6})$。
2019-03-15 math.CO
The Cops and Robber game on graphs with forbidden (induced) subgraphs
在无向有限图上进行两人完全信息博弈。一些警察和一个强盗被放置在顶点上，轮流沿着边滑动。如果在一次移动后，警察和强盗在同一个顶点上，警察就赢了。在图上抓住抢劫犯所需的最小警察数量称为该图的警察数量。本文研究了禁止一个或多个图为子图或诱导子图的图类中的cop数。在一个单一的禁止图的情况下，我们完全刻画（两种关系）的图形，迫使有界的copnumber。顺便说一下，我们用树的宽度来限制警察的数量。
2008-04-28 math.CO
Cops and robbers on $P_5$-free graphs
本文证明了每个连通$P_5$-自由图的警察数至多为二，解决了Sivaraman的猜想，关键方法是利用独立数至少为三时存在的特殊三顶点诱导路径。
2023-01-30 cs.DM math.CO
Complexity results for a cops and robber game on directed graphs
该研究探究有向图警察与小偷博弈的警察数复杂性，证明单警察判定的NP难性与竞赛图的多项式可判定性，给出不同参数下的固定参数可处理性结论，并建立与反向图、矩阵死亡率问题的关联。
2024-10-07 cs.CC cs.DM math.CO
Comparing the power of cops to zombies in pursuit-evasion games
我们比较了图上的两种追逃对策。在《警察与强盗》中，警察可以随心所欲地战略性地移动到邻顶点，而在一个新的变体《确定性僵尸与幸存者》中，僵尸（警察的对应物）被要求总是向幸存者（强盗的对应物）移动。图中的警察数量是指在该图中抓住抢劫犯所需的最小警察数量;图中的僵尸数量是指在该图中抓住幸存者所需的最小僵尸数量。我们回答了Fitzpatrick，Howell，Messinger和Pike 2016年论文中的两个问题。我们证明了对于任何$m \ge k \ge 1$，存在一个图，僵尸数$m$和警察数$k$。我们还证明了$n$维超立方体的僵尸数是$\lceil 2n/3\rceil$ .
2018-09-09 cs.DM math.CO
Cops and robber in graphs with bounded vertex cover number
Carleton University（卡尔顿大学）；G-SCOP, CNRS, Université Grenoble Alpes（格勒诺布尔阿尔卑斯大学）；Jagiellonian University（雅盖隆大学）；Université libre de Bruxelles（布鲁塞尔自由大学）；Université Côte d’Azur（蔚蓝海岸大学）
本文提出了一个基于顶点覆盖数的cop数上界，证明了具有有限顶点覆盖数的连通图的cop数为sublinear级别。
2026-02-07 cs.DM math.CO
