基于收缩目标的非齐次Dirichlet定理
An inhomogeneous Dirichlet theorem via shrinking targets
摘要：
给出了实值非增函数$ψ$的可积性准则，保证了对几乎所有（或几乎没有）$(A, \textbf{b})$对，其中$A$是实$m\times n$矩阵，$\textbf{b} \in \mathbb{R}^m$是系统$\|A \textbf{q}+\textbf{b}-\textbf{p}\|^m< ψ({T})$，$\|\textbf{q}\|^n<{T}$在$\textbf{p} \in \mathbb{Z}^m$，$\textbf{q} \in \mathbb{Z}^n$中可解，对所有充分大的$T$ .证明包括一个缩小的目标问题的空间上的网格$\mathbb{R}^{m+n}$。我们还评论同质对应这个问题，其$m=n=1$的情况下，最近得到解决，但其一般情况下仍然开放。
英文摘要：
We give an integrability criterion on a real-valued non-increasing function $ψ$ guaranteeing that for almost all (or almost no) pairs $(A, \textbf{b})$, where $A$ is a real $m\times n$ matrix and $\textbf{b} \in \mathbb{R}^m$, the system $\|A \textbf{q}+\textbf{b}-\textbf{p}\|^m< ψ({T})$, $\|\textbf{q}\|^n<{T}$ is solvable in $\textbf{p} \in \mathbb{Z}^m$, $\textbf{q} \in \mathbb{Z}^n$ for all sufficiently large $T$. The proof consists of a reduction to a shrinking target problem on the space of grids in $\mathbb{R}^{m+n}$. We also comment on the homogeneous counterpart to this problem, whose $m=n=1$ case was recently solved, but whose general case remains open.
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