Nonstandard Methods in Ramsey Theory and Combinatorial Number Theory
Mauro Di Nasso, Isaac Goldbring, Martino Lupini
本手稿的目的是向读者介绍非标准方法，并概述其在拉姆齐理论和组合数论中最突出的应用。
The goal of this present manuscript is to introduce the reader to the nonstandard method and to provide an overview of its most prominent applications in Ramsey theory and combinatorial number theory.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Hypernatural numbers in arithmetic Ramsey theory
研究利用非标准分析中的超自然数在算术拉姆齐理论中的应用，通过引入基本概念并举例，给出相关结果的非标准证明及新定理。
Ramsey theory for layered semigroups
我们进一步发展的理论分层半群，介绍了法拉，Hindman和McLeod，提供了一个通用的框架来证明拉姆齐声明这样的半群$S$。通过非标准和拓扑论证，证明了$S$上的Ramsey陈述是由$S$中“相干”序列的存在所隐含的.这个框架允许我们形式化和证明许多结果在拉姆齐理论，包括高尔斯的$\mathrm{FIN}_k$定理，格雷厄姆-罗斯柴尔德定理，和Hindman的有限和定理。其他亮点包括：一个简单的非标准证明的格雷厄姆-罗斯柴尔德定理强变量的话;一个非标准证明伯格森布拉斯-欣德曼的分区定理位于变量的话，使用的结果卡尔森，欣德曼和施特劳斯;和一个共同的概括后者的结果和高尔斯定理，这可以证明在我们的框架。
A Simple Combinatorial Proof of Szemerédi's Theorem via Three Levels of Infinities
本文利用非标准宇宙中三层无穷和四个初等嵌入，通过直接归纳给出了塞迈雷迪定理的一个简单初等证明。
Ramsey's witnesses
本文提出拉姆齐见证的概念，用于研究多项式和指数配置在自然数上的拉姆齐分拆正则性，并反驳了近期提出的问题。
A nonstandard technique in combinatorial number theory
文[9]、[15]介绍了一种基于非标准分析的方法来研究组合数论中的一些问题。本文给出了这一技巧的三个应用：第一个是关于\betaN代数的一个已知结果的新证明，即半群的中心（β \mathbb{N} ; \oplus）是\mathbb{N} ;第二个是Bergelson和Hindman关于长为3的等差数列的一个定理的推广;第三类是Z[X]中的分块正则多项式，即对N的每一个有限着色都有单色解的Z[X]中的多项式。我们将更详细地研究这最后一个应用程序：我们将证明一些代数性质的集合，这样的多项式，我们将提出几个例子，非线性分区定期多项式。在本文的第一部分，我们将回顾的主要结果的非标准技术，我们要使用，这是基于一个表征的超滤波器通过非标准分析。
Hyperintegers and Nonstandard Techniques in Combinatorics of Numbers
在文献中，N的子集的许多重要的组合性质都是用非标准方法和从N的角度研究的。在这篇论文中，我们将这两种不同的方法混合在一种技术中，同时，结合了非标准工具和超过滤器。
Asymptotic Ramsey theory of Diophantine equations
该研究提出丢番图方程的渐近划分正则性概念，证明其为方程拉姆齐理论中已知否定结果的核心，借助超自然数的阿基米德等价类将其转化到非标准扩张语境，得出费马-卡塔兰方程等新的否定结果。
Combinatorial Properties of Metrically Homogeneous Graphs
拉姆齐理论在大物体中寻找引力。模型论研究作为理论模型的代数结构。结构拉姆齐理论结合了这两个领域，并关注关于某些模型论结构的拉姆齐型问题。在2005年，Nešetzanil开始了对有限结构的Ramsey类的系统研究。这篇论文是一个贡献的计划，我们发现拉姆齐扩展的原始3-约束类的Cherlin的目录度量齐次图。一个关键的ingradient是一个明确的组合算法，以填补在边缘标记图的缺失距离，以获得结构从Cherlin的类。该算法还蕴涵了部分自同构的扩张性质（EPPA），这是有限结构类的另一个组合性质。
Ramsey degrees and entropy of combinatorial structures
熵的各种概念和范畴论的工具之间的密切联系在20世纪80年代就已经被观察到了，并且在过去的十年里得到了更有力的发展。本文的出发点是最近的分类理解的结构拉姆齐度，然后导致一种方法来计算熵的对象在一个小范畴不是作为一种措施的统计，但作为衡量其组合的复杂性。我们提出的新的熵函数Ramsey熵是任意小范畴中对象的实值不变量。我们不需要额外的分类机器来引入和证明这种熵的性质。出于组合现象（结构拉姆齐度），我们建立必要的基础设施和证明的基本属性只使用特殊分区强加于homsets。最后，我们讨论的最大拉姆齐熵的一类，我们称之为拉姆齐-玻尔兹曼熵的文件。
Ramsey Classes with Closure Operations (Selected Combinatorial Applications)
我们陈述了具有闭包的有序结构类的Ramsey性质，并给出了局部性质。这概括了许多新的和旧的结果：Nešetzil-Rödl定理，作者的拉姆齐电梯bowtie-free图以及拉姆齐定理有限模型（即结构与功能和关系），从而提供了最终推广的结构拉姆齐定理。我们在这里给出了一个更简洁的重新最近作者的论文"所有那些拉姆齐类（拉姆齐类与闭包和禁止同态）"，本文的主要目的是显示几个应用。特别地，我们证明了序集的Ramsey性质及其在幂集上的等价性，Steiner系统的Ramsey定理，可分解设计的Ramsey定理以及$H$-可因子分解图的部分Ramsey型结果.所有这些结果都是自然的，容易陈述，但证明涉及大部分理论的发展。
Multipartite Ramsey numbers of complete bipartite graphs arising from algebraic combinatorial structures
针对已有方法受限于Hadamard矩阵阶数条件导致的多部拉姆齐数研究遗留问题，该研究引入猜想任意阶存在的$[α]$-Hadamard矩阵推广前人结果，确定了特定完全二部图的两类多部拉姆齐数。
Some Combinatorial Formulas Related to Diagonal Ramsey Numbers
本文推导了与对角拉姆齐数 R(k) 相关的一类组合公式，其形式为 F(n,k)=0 当且仅当 n≥R(k)，并与 De Loera 和 Wesley 的近期工作密切相关。
Ramsey Classes: Examples and Constructions
这篇文章关注的是一类关系结构，这些关系结构在取子结构和同构下是封闭的，具有联合嵌入性质，并且还具有Ramsey性质，这是一种强组合性质，类似于Ramsey经典定理的陈述。这类结构被称为拉姆齐类。奈西曲和Roedl证明了它们具有合并性质，因此每个这样的类都有齐次的Fraise极限。拉姆齐类最近引起了人们的注意，由于一个令人惊讶的联系与极端顺从的概念，从拓扑动力学。Ramsey类的其他应用包括同质结构的约简分类。我们给出了一个调查的各种基本拉姆齐类和他们的（往往是棘手的）组合证明，以及各种方法来获得新的拉姆齐类从已知的拉姆齐类。最后，我们国家开放的问题有关潜在的分类拉姆齐类。
Box Ramsey and Canonical Colourings
该研究提出产出性大拉姆齐度概念并展示其通用性，基于前人工作给出等价关系有限典范基存在的充分条件，还对带索引结构进行了组合分析。
Categorical Constructions and the Ramsey Property
在最近的发展中，很明显，结构拉姆齐性质是一个范畴性质：它不仅取决于对象的选择，而且还取决于所涉及的态射的选择。本文将Ramsey性质和对偶Ramsey性质明确地放在有限结构范畴的背景下，研究了这些性质在某些标准范畴构造下的不变性.我们使用初等范畴论来推广一些组合的结果，并使用非常基本的范畴论的机器提供新的组合语句（其配方不涉及范畴理论的概念）。
Combinatorial Bounds for Codes over Metric Spaces: Ramsey-Sidorenko Thresholds and Subgraph Counts
本文将一般度量空间上的码表示为邻近图独立集，提出适用于任意有限度量空间码的Gilbert-Varshamov界通用框架，引入两类核心图，推导密度阈值与码长上界，发现汉明情形下仅局部子图统计量无法超越该界，需依赖空间大规模结构性质。
Reinforced Generation of Combinatorial Structures: Ramsey Numbers
本文通过AlphaEvolve算法改进了九个经典Ramsey数的下界，同时恢复了所有已知精确Ramsey数的下界，并在许多其他情况下匹配了最佳下界。
Fixed points in compactifications and combinatorial counterparts
Kechris-Pestov-Todorcevic对应将非阿基米德波兰群的极端顺从性与有限结构类的拉姆齐性质联系起来。本文的目的是重铸它作为一个更一般的建设的实例之一，允许显示，拉姆齐型语句实际上出现作为自然的组合表达式的存在不动点在某些紧化的群体，和类似的对应关系，实际上存在于各种动力学背景。
Positive Semidefiniteness of Matrices arising from Ramsey Theory
本文解决了Cooper-Fenner-Purewal的一个猜想：可用于限制小乘积Ramsey数的组合矩阵序列是半正定的.由于与拉姆齐理论的联系涉及求解与这些矩阵相关的二次整数规划，这意味着存在相对有效的算法来限制所述数字。证明是直接的，并产生重要的结构信息：我们列举的特征值和特征空间明确采用超几何身份。
Reductions of well-ordering principles to combinatorial theorems
本文利用形式系统的良序原理刻画，统一证明 Ramsey 型组合定理的逻辑强度下界，并在 $RCA_0$ 上建立到 $ACA_0$ 与 $ACA_0^+$ 的可计算归约。
Density theorems for bipartite graphs and related Ramsey-type results
本文给出了几个密度型定理，这些定理说明了如何在正密度图中找到稀疏二部图的一个副本。我们的结果为图拉姆齐理论中的经典问题提供了几个新的界，改进和推广了众多研究者早期的结果。证明结合概率参数与一些组合的想法。此外，这些技巧还可以用来研究具有禁止诱导子图的图的性质，拓扑图中的边交模式，以及得到其他几个Ramsey型命题。
Triangular Ramsey Numbers
介绍三角Ramsey数的概念，给出三角Ramsey数的值及其上、下界.为此，引入了组合博弈Mines，证明了关于三角集的一些必要定理。这个游戏很简单，小孩子都能玩。分析了这个博弈的最基本的变化，证明了关于获胜策略和平局存在性的定理。然后用地雷游戏来定义三角Ramsey数。利用概率方法和三角集定理，得到了这些三角Ramsey数的下界.
Almost $\mathcal{R}$-trivial monoids are almost never Ramsey
最近的结果推广了Gowers定理（Lupini定理）和Furstenberg-Katznelson定理，这两个定理都是无限维Ramsey定理。arXiv：1611.06600的框架提供了一个接受（几乎是$\mathcal{R}$ -平凡的）幺半群并输出拉姆齐定理的机器。主要的推广是从这些定理中提取幺半群作用。我们研究的另一个方向，并饲料到机器幺半群出现“自然”，而不是从拉姆齐定理，如$0$ -Hecke幺半群和超平面面幺半群提取。大多数来自几何的幺半群的例子都不是拉姆齐幺半群。我们提供了一个简单的组合检查这一点，通过表示几乎$\mathcal{R}$平凡monoid作为一个家庭（几乎）回归函数。除了在极小或微不足道的情况下，自然发生的幺半群不会是拉姆齐。
Ramsey Numbers through the Lenses of Polynomial Ideals and Nullstellensätze
本文通过多项式理想和消元定理研究Ramsey数，构造消元证书并推广至其他Ramsey理论数
Generalized Ramsey numbers through adiabatic quantum optimization
拉姆齐理论是组合学中的一个活跃的研究领域，其中心主题是在大型无序结构中出现秩序，拉姆齐数标志着这种秩序首次出现的阈值。对广义Ramsey数$r(G,H)$，用图$G$和图$H$刻画了其涌现序.在本文中，我们：（i）提出了一种量子算法，通过将计算重新表述为使用绝热量子优化解决的组合优化问题来计算广义Ramsey数;（ii）确定$m,n = 6,7,8$阶树的Ramsey数$r(\mathcal{T}_{m},\mathcal{T}_{n})$，其中大部分是以前未知的。
Lower bounds for Ramsey numbers as a statistical physics problem
Ramsey定理是组合数学中的一个基本结果，它涉及到在足够大的边着色完全图中保证某些单色模式。在这项工作中，我们强调这个抽象的设置和统计物理问题之间的联系。具体来说，我们设计了一个经典的哈密顿量，有利于配置的方式建立下界拉姆齐数。作为一个原则的证明，我们然后使用蒙特卡罗方法来获得这样的下界，找到粗略的协议与已知的文献值在少数情况下，我们调查。我们讨论了我们的方法的数值限制，并指出了一个更大的图形尺寸的治疗路径。
The harmonic product of $δ(x_{1},..., x_{n})$ and $δ(x_{1})$ and two combinatorial identities
在非标准分析的框架下，李邦和等人通过调和表示定义了$R^n$上任意两个分布的乘积。Kuribayashi和作者在[LK]中计算了$δ(x_{1},..., x_{n})$和$δ(x_{1})$的乘积。本文将[LK]的结果改进为$$δ(x_{1},..., x_{n})\circ δ(x_{1}) =\dfrac{1}{2πρ} δ(x_{1},..., x_{n}) {mod} {infinitesimals}$$，其中$ρ$为正无穷小.此外，两个组合身份得到的副产品。
The interplay between additive and symmetric large sets and their combinatorial applications
本文通过分析加性、乘性和对称大集合，利用Stone-Čech紧化代数工具构造了新的划分正则非线性Diophantine方程，肯定回答了Di Nasso的问题，并证明了多个涉及这些结构的新单色模式。
Odd-Ramsey numbers of Hamilton cycles
本文研究哈密顿圈的奇拉姆齐数，通过有限域构造和奇偶切换组合框架证明其渐近阶为$\Theta(\sqrt{n})$，并初步探讨Dirac图中该类奇拉姆齐数的性质。
A simple, combinatorial proof of Gowers Dichotomy for Banach Spaces
本文用纯组合方法，基于无限Ramsey理论，给出了Gowers二分法的简单证明，即每个无限维Banach空间都含无条件基序列或遗传不可分解的子空间。
A combinatorial study on product of filter large sets
该研究针对拉姆齐理论中的大集乘积性质问题，证明两个沿幂等滤子的组合大集的乘积仍为滤子大集，且证明采用完全初等的技巧，丰富了滤子大集的组合理论结论。
On numbers and endgames: Combinatorial game theory in chess endgames
在调查的应用组合对策论国际象棋，我们构建新的相互Zugzwang位置，解释了一个神秘的棋子残局从“指南国际象棋结局”（Euwe和胡珀），显示位置包含非整数值（分数，开关，tinies，和循环游戏），并提出开放的问题，可能实现的价值观，无论是在标准或非标准的棋盘上的位置。
The quantum Ramsey numbers $QR(2,k)$
本文通过将矩阵算子系统视为有限图的量子类似物，确定了量子拉姆齐数$QR(2,k)$及特定条件下的低量子图兰数，证实相关猜想并得到低维量子图反团存在性新结果。
Improved bounds for the minimum degree of minimal multicolor Ramsey graphs
本文通过结合代数与概率着色方案，构造了 $r$ 个边不相交的 $K_{k+1}$-free 图，改进了极小多色 Ramsey 图最小度的上界。
New bounds on the anti-Ramsey numbers of star graphs
由输入图$G$和模式图$H$构成的反Ramsey数$ar(G,H)$是使$G$中不存在与$H$同构的彩虹子图的$G$存在$k$颜色边染色的最大正整数$k$.（$H$是彩虹，如果它的所有边缘都有不同的颜色）。反拉姆齐数的概念是由Erdös、Simanovitz和Sós在1973年提出的。此后，几位研究人员在组合环境中研究了这一概念。最近，Feng等人纯粹从算法的角度重新研究了模式图$K_{1,t}$（用于$t \geq 3$）的反Ramsey问题，因为它在无线网络干扰建模中的应用。他们把它作为一个最优化问题，最大边$q$着色问题。对于图$G$和整数$q\geq 2$，$G$的边$q$ -着色是将颜色分配给$G$的边，使得入射在顶点上的边最多跨越$q$不同的颜色。最大边$q$ -着色问题寻求最大化图$G$的边$q$ -着色中的颜色数。注意，$G$的边$q$ -着色问题的最优值等于$ar(G,K_{1,q+1})$。本文从组合和算法的角度研究了对每个固定整数$t\geq 3$的反Ramsey星数$ar(G,K_{1,t})$.我们的第一个主要结果给出了$ar(G,K_{1,q+1})$的上界，即顶点数和$G$的最小度。第二个改进了这个结果的情况下，三角形的输入图。对于正整数$t$，令$H_t$表示$G$的具有最大可能边数和最大度$t$的子图。我们的第三个主要结果提出了一个上限$ar(G,…
New bounds on the Ramsey number $r(I_m, L_n)$
研究了Ramsey数$r(I_m, L_n)$，它是最小自然数$k$，使得$k$顶点上的每个有向图都包含一个独立的$m$大小集或一个$n$顶点上的传递竞赛图.除了有限组合的兴趣，这些拉姆齐数是感兴趣的集理论家，因为它是已知的，$r(ωm, n) = ωr(I_m, L_n)$，其中$ω$是最低超限序数，和$r(κm, n) = κr(I_m, L_n)$的所有初始序数$κ$。继续Bermond从1974年开始的研究，他确实证明了$r(I_3, L_3) = 9$，我们证明了$r(I_4, L_3) = 15$和$r(I_5, L_3) = 23$。通过将Larson和Mitchell（1997）的关于$r(I_m, L_3)$的$m^2$的上限改进为$m^2 - m + 3$，获得了上述两个估计的上限。此外，我们提供了渐近上界$r(I_m, L_n)$的所有$n \geq 3$。特别是，我们表明，$r(I_m, L_3) \in Θ(m^2 / \log m)$。
Generalized Ramsey--Turán density for cliques
本文研究广义Ramsey--Turán函数，通过组合方法解决所有s≥3的一般情形，证明极值图具有简单有界结构，并否定一个相关猜想。
Upper bound on the edge Folkman number $F_e(3,3,3;13)$
本文讨论了拉姆齐理论中的一类组合常数--边Folkman数。我们给出了其中一个数F_e（3，3，3;13）的上界。
Online Ramsey Numbers and the Subgraph Query Problem
该$(m,n)$ -在线拉姆齐游戏是一个组合游戏之间的两名球员，建设者和画家。从一组无限的孤立顶点开始，Builder在每个转弯处绘制一条边，Painter立即将其绘制为红色或蓝色。Builder的目标是迫使Painter使用尽可能少的旋转次数创建红色$K_m$或蓝色$K_n$。在线Ramsey数$\tilde{r}(m,n)$是生成器确保在$(m,n)$ -在线Ramsey游戏中获胜所需的最小边数。通过分析Painter随机博弈的特殊情形，得到了对角在线Ramsey数下界的指数改进\[ \tilde{r}(n,n) \ge 2^{(2-\sqrt{2})n + O(1)} \]，以及非对角情形下相应的改进\[ \tilde{r}(m,n) \ge n^{(2-\sqrt{2})m + O(1)} \]，其中$m\ge 3$是固定的，而$n\rightarrow\infty$ .使用不同的随机画家策略，我们证明了$\tilde{r}(3,n)=\tildeΘ(n^3)$，确定这个函数的多对数因子。我们还改进了非对角情况下的上界$m \geq 4$。在与在线拉姆齐游戏与随机画家，我们研究的问题，找到一个副本的目标图$H$在一个足够大的未知Erdens-Rényi随机图$G(N,p)$使用尽可能少的查询，其中每个查询揭示了是否有一个特定的一对顶点相邻。我们称这个问题为子图查询问题。我们…
On the threshold Ramsey multiplicity conjectures for paths and even cycles
通过组合和局部随机构造，证明了偶环和路径的阈值拉姆齐重数上界，否定了Conlon、Fox、Sudakov和Wei的两个猜想。
Online size Ramsey number for $C_4$ and $P_6$
本文研究 Builder 与 Painter 在无限团上进行的在线 Ramsey 游戏，证明在线大小 Ramsey 数 $\tilde{r}(C_4,P_6)$ 的精确值为 11，改进了此前 $11\leq\tilde{r}\leq13$ 的界。
Explicit geometric construction of Ramsey graphs
本文提出无k团且独立数有界的参数化图族的显式几何构造，推广相关拉姆齐图，给出独立数上界的新组合证明，建立下界与参数约束，提供线性时间近似算法，对无三角形图构造获R(3,t)的Ω(t^(3/2))下界。
On the off-diagonal unordered Erdős-Rado numbers
本文研究无序非对角规范 Ramsey 数，证明 CR(s,r) 的新界并匹配已知下界，同时给出 ER(m,ℓ,r) 的界。
Ramsey Goodness of paths and unbalanced graphs
本文研究路 $P_n$ 对不平衡图 $H$ 的 Ramsey 优性，在特殊不平衡条件下将已有阈值 $4|H|$ 改进为 $(2+\varepsilon)|H|$，并给出完全多部图的具体结论。
Lower and Upper Bounds for Small Canonical and Ordered Ramsey Numbers
本文研究有序拉姆齐数、规范拉姆齐数及无序规范拉姆齐数三类推广，结合禁忌搜索、整数规划和旗代数确定小图情形的上下界，并给出若干精确值。
Hamilton-connected cores and five cycle--wheel Ramsey numbers
通过Hamilton连通核引理和结构方法，证明了若干圈-轮Ramsey数，包括R(C_14,W_11)=27等，并给出临界染色的完整分类，所有证明均为组合证明。
Iterated Ramsey bounds for the Hales-Jewett numbers
研究哈雷-朱厄特定理，在限制\(|\eta^{-1}\{\alpha \}|\)符号后证明平行定理，通过连接哈雷-朱厄特数与分界数给出该定理的另一种证明。
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