交换和非交换Witt向量
Witt vectors, commutative and non-commutative
摘要：
这是我的论文arxiv：1602.04254和arxiv：1604.01588的概述。
英文摘要：
This is an overview of my papers arxiv:1602.04254 and arxiv:1604.01588.
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利用Witt向量刻画交换环的性质
Characterising properties of commutative rings using Witt vectors
本文通过Witt向量建立交换环性质间的等价，刻画Witt向量环为Noetherian的环，定义preduced环范畴，并推广至de Rham-Witt复形的挠。
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霍克希尔德-维特复形
Hochschild-Witt complex
在arxiv：1602.04254中，我们定义了从具有正特征$p$的完备域$k$上的向量空间到阿贝尔群的多项式Witt向量函子.本文利用多项式Witt向量构造了具有同调群$WHH_*(A)$的结合单位$k$ -代数$A$的函子Hochschild-Witt复形$WCH_*(A)$.我们证明了群$WHH_0(A)$与Hesselholt定义的非交换Witt向量群一致，而如果$A$是交换的、非线性生成的和光滑的，则群$WHH_i(A)$自然地与$A$的谱的de Rham-Witt复形的项$WΩ^i_A$一致.
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奇异簇与无穷小非交换Witt向量
Singular varieties and infinitesimal non-commutative Witt vectors
本文针对通过捏合单连通簇得到的非正规射影簇，用无穷小非交换Witt群概形的融合积描述了Nori基本群概形，填补了其显式描述的空白。
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Witt向量与$\delta$-Cartier环
Witt vectors and $δ$-Cartier rings
本研究给出带Frobenius和Verschiebung映射的交换环$p$-典型Witt向量环构造的泛性质，将其推广到导出情形，定义相关$\infty$-范畴并证明其与导出环$\infty$-范畴的等价性。
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作为多项式函子的Witt向量
Witt vectors as a polynomial functor
对于每一个交换环$A$，都有一个$p$的函子交换环$W(A)$--$A$的典型Witt向量，它是$A$自身的迭代扩张。如果$A$不是可交换的，则从L. Hesselholt证明了$W(A)$只是一个交换群，而不是一个环，它是Hochschild同调群$HH_0(A)$自身的迭代扩张。很自然地，我们可以预期这种构造可以推广到更高的次数和任意的系数，这样就可以对域$k$上的结合代数$A$上的任何双模$M$定义“Hochschild-Witt同调”$WHH_*(A,M)$。此外，如果人们希望所得到的理论是arXiv：1308.3743意义上的迹理论，那么为$A=k$定义它就足够了。这就是我们在本文中所做的，对于一个正特征$p$的理想场$k$。也就是说，我们构造了一个序列的多项式函子$W_m$，$m \geq 1$从$k$ -向量空间到阿贝尔群，相关的限制映射，我们证明了它们的基本性质，如存在的Frobenius和Vernebung映射，我们表明，$W_m$是在arXiv：1308.3743意义下的迹函子。它的构造非常简单，只依赖于有限循环群的基本性质。
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Witt向量环与相对的de Rham Witt复形
Witt Vector Rings and the Relative de Rham Witt Complex
在本文中，我们开发了一种新的方法，维特向量环和（相对）德拉姆维特复杂。我们这样做的一般性任意交换代数和任意截断集。在我们构造的Witt向量环中，环的结构是明显的，并且不需要泛多项式。此外，该结构的自然推广容易导致相对的德·拉姆·维特复形。我们的方法是基于使用自由或至少无挠的自由介绍了一个给定的交换环$R$，它是一个重要的事实，所产生的对象是独立的所有选择。通过介绍的方法也揭示了新的光，我们以前的描述环的$p$ -典型的维特向量的完美$\mathbb{F}_p$ -代数作为一个完成的半群代数。我们从不同的方向展开这一描述。例如，我们证明了半群代数可以被任何自由表示的$R$配备了一个线性提升的弗罗贝尼乌斯自同构。利用Umberto Zannier在附录中的结果，我们还将Witt向量环的完备化描述推广到所有具有内射Frobenius映射的$\bar{\mathbb{F}}_p$ -代数.
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有界上链非交换族的开放WDVV方程
Open WDVV equations for non-commutative families of bounding cochains
Institute of Mathematics, The Hebrew University of Jerusalem（希伯来大学数学研究所）
该研究将Solomon-Tukachinsky方程推广到非交换微分分次代数，推导开放WDVV方程并应用于计算偶维复二次型实轨迹的开放Gromov-Witten不变量，还构造了相关特征标并说明其作用。
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Kummer-Witt-Jackson 代数
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De Rham-Witt复形的伪赋值
Pseudovaluations on the De Rham-Witt complex
对正特征的交换环上的多项式环，在相应的de Rham-Witt复形上定义了一组函数，并证明了它们是Davis，Langer和Zink意义下的伪赋值.为了实现这一点，我们显式地计算复合体上基本元素的乘积。我们还证明了，过收敛的德拉姆-维特复杂可以恢复使用这些伪赋值。
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过收敛Witt向量
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设A是特征p >0的域K上的一个n-生成代数.我们引入Witt向量环W（A）的一个子环.我们称之为过收敛Witt向量环。本文证明了在K上的有限型概型X上，过收敛Witt向量是一个渐近层.在即将发表的论文（Annales ENS）中，我们在完满域K上的光滑概形X上定义了一个过收敛的de Rham-Witt复形，其超上同调是X在Berthelot意义下的刚性上同调.
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Witt向量的范数映射
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我们讨论的乘法版本的维特向量，我们称之为规范的Vernebung映射。
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关于Witt向量上同调的Frobenius稳定部分
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对于一个q元有限域上的真簇（不一定是光滑的），Berthelot-Bloch-Esnault证明了一个迹公式，它可以根据Witt向量上同调计算模q的有理点的个数。给出了有限长Witt向量上同调的类似公式。另外，我们证明了仿射Cohen-Macaulay簇上的常p-挠层在正特征p下的紧支撑平展上同调的一个消失结果.
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剪切 Witt 向量
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School of Mathematics, Institute for Advanced Study（高等研究院数学学院）；Department of Mathematics, Princeton University（普林斯顿大学数学系）；Department of Mathematics, University of Chicago（芝加哥大学数学系）；Department of Mathematics, University of Toronto（多伦多大学数学系）
本文介绍 Drinfeld 和 Lau 对 p-典型 Witt 向量环的“去完备化”构造，称为剪切 Witt 向量，适用于约化为完美 F_p-代数的环。
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Witt向量上一类特殊格的次正则簇的Gorenstein和正规性质
Gorenstein and normal properties of the subregular variety of a variety of special lattices over Witt vectors
我们还记得的投射品种parametrizing一个家庭的特殊格维特向量。这是正常的和Gorenstein。在这篇文章中，我们证明了存在一个特殊的子簇，它也是正常的和Gorenstein。该集合包含次正则变种。
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通过 Witt 向量推广的广义母题
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本文通过 Witt 向量和广义线丛模叠推广凝聚母题，扩展了母题理论的适用范围。
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通过提升到第二Witt向量而消失及一个等平凡性结果的证明
Vanishing via lifting to second Witt vectors and a proof of an isotriviality result
本文给出了$k$ -样本线丛的Esnault-Viehweg的Sommese消灭定理的一个强形式的有限域化证。利用这个结果给出了A的等平凡性结果的不同证明。Parshin和L.米廖里尼
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Lazardian Witt 向量
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本文利用 Lazard 泛 π-环构造了 Lazardian Witt 向量函子，并借此构建 Lazardian 代数的泛剩余完美化。
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有限域上仿射空间的阿贝尔化基本群与多元大Witt向量
Abelianized fundamental group of the affine space over a finite field and big Witt vectors in several variables
设$X$是完满域$k$上的正规真簇.我们用$X$上主相对Cartier因子的函子$\underline{\rm HDiv}_X$来描述X的阿贝尔覆盖.若基域$k$是有限的，则$X$的函数域的极大阿贝尔扩张的几何伽罗瓦群由$\underline{\rm HDiv}_X$的完备化的Cartier对偶的$k$值点给出.作为另一个应用，我们给出了有限域上仿射$n$ -空间的几何阿贝尔化基本群，它由$n$变量的大Witt向量群表示，是（通常的）大Witt向量的推广.
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Witt向量与截断偏序集
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定义维特向量的一种方法是从截断偏序集$S \subset \mathbb{N}$开始。我们将Witt向量推广到截断偏序集，并给出了如何利用截断偏序集的三种映射来编码Witt向量上的六种结构映射：加法、乘法、限制、Frobenius、Vernebung和范数.
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Hodge-Witt上同调与Witt有理奇点
Hodge-Witt cohomology and Witt-rational singularities
我们证明了在完满域上的正常有限同分向量之间的纯不可分的射影变换的维特向量层（和维特标准层）的高阶直像的模挠的消失。为此，我们表明，相对Hodge-Witt上同调承认一个行动的对应。作为一个应用，我们定义维特理性奇点，形成一个更广泛的类比理性奇点。特别是，有限的对偶有维特有理奇点。此外，我们还证明了一个光滑的适当格式的Witt向量上同调的挠部分是一个双有理不变量。
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Greenberg代数与分歧Witt向量
Greenberg algebras and ramified Witt vectors
设O是具有有限个剩余域k的混合特征的完全离散赋值环.研究了O上的Greenberg代数与O上分歧Witt向量概型的特殊纤维之间的一个自然态射。它是一个具有准无穷小核的泛同胚，在某些情况下可以被显式描述。
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Witt向量仿射Grassmannian的射影性
Projectivity of the Witt vector affine Grassmannian
证明了Witt向量仿射Grassmannian，它对特征为p的完满域k在W（k）[1/p]^n中的W（k）-格进行参数化，可由k上的ind-（完全概型）表示.通过构造一个自然的充分线丛，改进了Zhu的结果.一路上，我们建立了各种基础性的结果完美的计划，特别是h-下降结果向量丛。
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关于奇异簇的Witt向量上同调
On Witt vector cohomology for singular varieties
在特征$p > 0$的完满域$k$上，我们构造了有限型分离$k$ -格式的“具有紧支集的Witt向量上同调”，推广了（用$\mathbb{Q}$张量化后）适当的$k$ -格式的经典理论.我们定义了一个典范态射从刚性上同调紧支撑的维特向量上同调紧支撑，我们证明了它提供了一个识别后者和斜坡$< 1$部分前者。在有限域上，这允许在特殊的例子中计算有理点个数的同余。特别是，同余模基数的有限域的有理点的数量θ因子的阿贝尔簇不依赖于选择的θ因子。这肯定地回答了J. P. Serre。
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Witt向量的另一种形式
An alternative to Witt vectors
与环R相关联的Witt向量环是代数学中的一个经典工具。对于完备F_p-代数R，我们引入了一个更容易构造的环C（R），它与Witt向量环W（R）同构.它是作为幺半群环ZR的完备化而得到的，对于乘法幺半群R，关于从ZR到R的自然映射的核的幂。
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对数 Fano 对的对偶复形及其在 Witt 向量上同调中的应用
Dual complex of log Fano pairs and its application to Witt vector cohomology
本文证明弱对数 Fano 对的对偶复形可收缩，并据此建立 Ambro–Fujino 型 Witt 向量上同调消没定理及三维有理点公式。
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维特向量的基本几何，II：空间
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这是一个帐户的代数几何的维特向量和算术喷射空间。有限型的p-adic格式的通常的“p-典型”Witt向量已经相当好地理解了。这里的要点是从两个方面来概括这个理论。我们不仅允许p-典型的维特向量，而且还允许对任何整体域中任何整数环中的任何素数集合所取的向量。这包括“大”维特矢量。我们也允许不仅p-adic计划的有限型，但任意代数空间上的整数环的整体领域。我们给类似的推广Buium的正式算术喷气函子，这是对偶的维特函子。我们也给出了具体的几何描述的维特空间和算术喷射空间，并调查是否有一些标准的几何性质，这些函子保持。
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维特向量的基本几何，I：仿射情形
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本文给出了有限长Witt向量环上元素在任意环上的etale代数范畴的具体刻画。我们这样做不仅为经典的p-典型和大维特向量函子，但也为这些函子的变种，在一定意义上是他们的类似物在任意的本地和全球领域。从交换Frobenius提升及其泛性质的观点出发，发展了这些广义Witt向量的基本理论，这对经典Witt向量也是一种新的研究方法.本文的主要目的是为广义Witt格式和算术喷流空间的代数几何提供仿射基础。因此，这里的基础知识得到了充分的发展，着眼于未来的应用。
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Witt向量上具有阻碍变形的Calabi-Yau三重性
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我构造了一些光滑的卡-丘三重特征2和3，不提升到特征零。这三重是超奇异K3-曲面的束。该构造依赖于Moret-Bailly的交换曲面束和Katalina的广义Kummer曲面分析。特征2中的三重性是非刚性的。
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截断Witt向量上SL（2）的忠实表示
Faithful representations of SL(2) over truncated Witt vectors
设G是六维线性代数k-群SL_2（W_2），其中W_2是特征p>2的代数闭域k上长为2的Witt向量环.则G的忠实有理k-表示的最小维数为p+3。
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$q$-Witt向量与$q$-Hodge复形
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本文提出Witt向量和de Rham-Witt复形的$q$-变体，阐明其与Habiro环、$q$-Hodge上同调及$\text{THH}(-/\text{ku})$的关联，为后续相关研究提供技术基础。
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将向量丛提升为Witt向量丛
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本文研究将概形上的向量丛提升为Witt向量丛的问题，给出线丛和射影丛情形下的正结果，推广形变理论至约化概形，并证明Grassmannian的平凡向量丛在特定条件下不可提升。
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Witt向量环与幺半群代数的等价环
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在以前的文件Cuntz和Deninger介绍了环$C(R)$为一个完美的$\mathbb{F}_p$-代数$R$。环$C(R)$正则同构于$p$-典型的Witt环$W(R)$.事实上，存在规范同构$α_n \colon \mathbb{Z}R/I^n \xrightarrow{\sim} W_n(R)$。本文给出了当$p\geq n$为$n\geq 2$时的同构$α_n$的显式描述.
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本文在混合特征局部域上，对本质驯分歧且剩余特征非坏的重约群，建立了Witt向量仿射Springer纤维的维数公式，涉及判别式赋值、Artin导子和Kottwitz不变量。
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球 Witt 向量的一种替代构造
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