Let $F$ be a totally real field in which $p$ is unramified. Let $\overline{r}: G_F \rightarrow \mathrm{GL}_2(\overline{\mathbb{F}}_p)$ be a modular Galois representation which satisfies the Taylor-Wiles hypotheses and is generic at a place $v$ above $p$. Let $\mathfrak{m}$ be the corresponding Hecke eigensystem. Then the $\mathfrak{m}$-torsion in the mod $p$ cohomology of Shimura curves with full congruence level at $v$ coincides with the $\mathrm{GL}_2(k_v)$-representation $D_0(\overline{r}|_{G_{F_v}})$ constructed by Breuil and Paškūnas. In particular, it depends only on the local representation $\overline{r}|_{G_{F_v}}$, and its Jordan-Hölder factors appear with multiplicity one. This builds on and extends work of the author with Morra and Schraen and independently of Hu-Wang, which proved these results when $\overline{r}|_{G_{F_v}}$ was additionally assumed to be tamely ramified. The main new tool is a method for computing Taylor-Wiles patched modules of integral projective envelopes using multitype tamely potentially Barsotti-Tate deformation rings and their intersection theory.
Explicit integral Galois module structure of weakly ramified extensions of local fields
设L/K是完备局部域的有限Galois扩张，其剩余域有限，G=Gal（L/K）.设G_1和G_2是第一和第二分歧群。当G_1是平凡的时，L/K是弱分歧的;当G_2是平凡的时，L/K是弱分歧的。设O_L是L的赋值环，P_L是它的极大理想.证明了若L/K是弱分歧的，且n同余于1 mod |G_1|，则P_L^n在群环O_K[G]上是自由的，并构造了一个显式生成元.在L/K是广分歧的假设下，证明了O_K[G]上P_L的每一个自由生成元也是群代数K[G]中O_L在其相关阶上的自由生成元.一路上，我们证明了一个“分裂引理”的局部域，这可能是独立的利益。
On mod $p$ local-global compatibility for $\mathrm{GL}_n(\mathbf{Q}_p)$ in the ordinary case
令$p$为素数，$n>2$为整数，$F$为其中$p$完全分裂的CM字段。假设连续的自同构伽罗瓦表示$\overline{r}:\mathrm{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}/F)\rightarrow\mathrm{GL}_n(\overline{\mathbf{F}}_p)$是上三角的，并且在$p$上的一个位置$w$处满足特定的泛型条件，并且$>2$的$\overline{r}|_{\mathrm{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}_p/F_w)}$的每个子商都是Fontaine-Laffaille泛型的。本文证明了$\overline{r}|_{\mathrm{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}_p/F_w)}$的同构类是由$\mathrm{GL}_n(F_w)$ -作用在模$p$代数自守形式空间上确定的，该模$p$代数自守形式空间是由与$\overline{r}$相关联的Hecke代数的极大理想切割出来的，并假设一个权消去结果，这是Bao V. Le Hung在他即将发表的论文~ \cite{LeH}中的一个定理.特别是，我们表明，广泛分歧的$\overline{r}|_{\mathrm{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}_p/F_w)}$的一部分是由雅可比和运营商（视为元素的$\mathbf{F}_…
Modularity of the Rankin-Selberg L-series, and multiplicity one for SL(2)
首先由Langlands提出的一个基本问题是知道两个（不一定是全纯的）尖点形式f和g的Rankin-Selberg积是否是模的，即，如果在GL（4）/Q上存在一个自守形式f盒g，其标准L-函数在去掉分歧因子和阿基米德因子后等于L^*（s，f x g）.本文的第一个主要结果是用任意数域F代替基域Q，对它作了肯定的回答。我们的证明使用了逆定理，基变化和下降的混合，它也呼吁爱森斯坦级数的局部正则性及其截断的标量积。这个结果的一个应用是SL（2）上的尖点形式空间的重数为1。具体地说，这意味着：如果f，g是具有平凡特征的全纯或马斯型的新形式，使得f和g的p次系数的平方在几乎所有素数p处相同，则g必须是f的二次狄利克雷特征的扭曲。
