Point Cloud Neural Operator for Parametric PDEs on Complex and Variable Geometries
为解决复杂可变几何域上参数化PDE求解的代理建模难题，提出点云神经算子PCNO，可高效近似解映射，在多类PDE问题及三维工程应用中展现出良好性能。
2025-06-14 cs.NA math.NA
A Least-Squares-Based Neural Network (LS-Net) for Solving Linear Parametric PDEs
针对线性参数化偏微分方程求解问题，提出LS-Net方法，结合深度神经网络生成解空间基函数与最小二乘求解器确定最优解，提供理论逼近保证，经一维和二维问题验证可有效逼近参数化解。
2025-02-12 cs.NA math.NA
NeuFENet: Neural Finite Element Solutions with Theoretical Bounds for Parametric PDEs
Iowa State University（爱荷华州立大学）；New York University（纽约大学）
我们考虑一个基于网格的方法来训练一个神经网络，以产生参数偏微分方程（PDE）的解决方案的现场预测。这种方法对比了当前的“神经PDE求解器”的方法，采用基于搭配的方法来逐点预测PDE的解决方案。这种方法的优点是自然地执行不同的边界条件，以及容易调用发达的PDE理论-包括数值稳定性和收敛性分析-以获得我们提出的神经网络在离散域的能力界限。我们探索我们的网格为基础的战略，称为NeuFENet，使用加权Galerkin损失函数的基础上的有限元法（FEM）的参数椭圆PDE。加权伽辽金损失（FEM损失）类似于能量泛函，其产生改进的解，满足先验网格收敛，并且可以模拟Dirichlet和Neumann边界条件。我们从理论上证明，并说明与实验，收敛结果类似网格收敛分析部署在有限元解偏微分方程。这些结果表明，基于网格的神经网络方法作为一个有前途的方法来解决参数偏微分方程的理论界。
2021-10-13 cs.LG cs.NA math.NA
Quasi-Monte Carlo for Bayesian design of experiment problems governed by parametric PDEs
LUT University（拉彭兰塔-拉赫蒂理工大学）；Freie Universität Berlin（柏林自由大学）
本文研究了由偏微分方程 governed 的贝叶斯反问题最优实验设计，通过全张量积和稀疏张量积组合的拟蒙特卡洛方法分析参数双积分问题，验证了稀疏方法在收敛率上的优势。
2026-07-17 cs.NA math.NA
Deep ReLU neural network approximation in Bochner spaces and applications to parametric PDEs
我们研究了在可分离希尔伯特空间$X$中取值的${\mathbb U}^\infty$上的函数的Bochner空间$L_2({\mathbb U}^\infty, X, μ)$中的深度ReLU神经网络逼近的非自适应方法，其中${\mathbb U}^\infty$是配备标准高斯概率测度的${\mathbb R}^\infty$，或配备Jacobi概率测度的${\mathbb I}^\infty:= [-1,1]^\infty$。假设待逼近的函数满足广义混沌多项式展开系数关于测度$μ$的加权$\ell_2$ -可和性。我们根据近似深度ReLU神经网络的大小证明了这种近似的收敛速度。然后，这些结果被应用到近似的解决方案，参数椭圆型偏微分方程的对数正态和仿射的情况下，随机输入。
2022-12-14 cs.NA math.NA
Data-driven identification of parametric partial differential equations
University of Washington（华盛顿大学）；PUC-Rio（里约热内卢天主教大学）
本文提出了一种数据驱动方法，用于发现参数偏微分方程，通过组稀疏性实现对动态的简洁表示，同时允许系数具有任意时间序列或空间依赖性。方法在四个经典模型上验证，优于组LASSO。
2018-06-03 cs.NA math.NA
Collocation approximation by deep neural ReLU networks for parametric elliptic PDEs with lognormal inputs
我们得到了深度ReLU神经网络对对数正态输入椭圆偏微分方程解的配置逼近的收敛速度，由非紧集$\mathbb{R}^\infty$的$\boldsymbol{y}$参数化。近似误差在Bochner空间$L_2(\mathbb{R}^\infty, V, γ)$的范数中测量，其中$γ$是$\mathbb{R}^\infty$上的无限张量积标准高斯概率测度，而$V$是能量空间。我们也得到了类似的结果的情况下，当对数正态输入参数化$\mathbb{R}^M$非常大的尺寸$M$，和近似误差测量的$\sqrt{g_M}$加权均匀范数的Bochner空间$L_\infty^{\sqrt{g}}(\mathbb{R}^M, V)$，其中$g_M$是密度函数的标准高斯概率测量$\mathbb{R}^M$。
2022-12-06 cs.NA math.NA
Data-driven reduced order modeling for parametric PDE eigenvalue problems using Gaussian process regression
在这篇文章中，我们提出了一个数据驱动的缩减基（RB）方法的近似参数本征值问题。该方法是基于离线和在线范例。在离线阶段，我们生成快照和构造的基础上减少空间，使用POD方法。高斯过程回归（GPR）用于近似的特征值和投影系数的特征向量在约简空间。所有对应于特征值和投影系数的GPR在离线阶段使用离线阶段生成的数据进行训练。在在线阶段，使用训练好的探地雷达可以获得与新参数相对应的输出。所提出的算法被用来解决仿射和非仿射参数依赖的本征值问题。数值结果表明，所提出的非侵入式方法的鲁棒性。
2023-01-21 cs.NA math.NA
Error Analysis of Kernel/GP Methods for Nonlinear and Parametric PDEs
本文针对非线性及参数化偏微分方程，基于核/高斯过程方法提出先验Sobolev误差估计，揭示解的正则性与维度灾难间的权衡，正则性足够时收敛速率维度良性。
2023-05-08 cs.NA math.NA stat.ML
Adaptation of uncertainty-penalized Bayesian information criterion for parametric partial differential equation discovery
Graduate School of Information Science and Technology, Osaka University（大阪大学信息科学与技术研究生院）；SANKEN (The Institute of Scientific and Industrial Research), Osaka University（大阪大学产业科学研究所（SANKEN））
针对含噪场景下传统信息准则易选复杂PDE的问题，提出扩展UBIC准则，结合功率谱密度数据变换与不确定性量化防过拟合，可高效准确发现含参数化PDE，代码开源。
2024-08-15 cs.LG cs.NA math.NA
Multi-level Compressed Sensing Petrov-Galerkin discretization of high-dimensional parametric PDEs
RWTH Aachen University（亚琛工业大学）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
本文提出一种多级压缩感知 Petrov-Galerkin 方法，用于求解多参数偏微分方程，通过多级离散化和压缩感知方法实现几乎最优收敛性，无需先验假设系数序列的结构。
2017-12-15 cs.NA math.NA
On the convergence of adaptive Galerkin FEM for parametric PDEs with lognormal coefficients
本文研究了具有对数正态系数的稳态扩散方程的基于残差自适应Galerkin有限元方法，通过提供准误差下降结果推进了无界系数情形的理论收敛性，并将一致有界系数的收敛性作为推论。
2024-07-26 cs.NA math.NA
A-posteriori QMC-FEM error estimation for Bayesian inversion and optimal control with entropic risk measure
本文针对贝叶斯反演和带熵风险测度的最优控制中高维积分比值问题，提出结合QMC误差分析与有限元后验估计的新方法，得到对离散化和参数维数均鲁棒的可计算后验估计量。
2023-07-06 cs.NA math.NA
Sparse polynomial approximation of parametric elliptic PDEs. Part I: affine coefficients
研究仿射参数下椭圆PDE的稀疏多项式逼近，改进了已有估计，考虑了系数的结构特性，并通过数值实验验证新界的有效性。
2016-06-23 cs.NA math.AP math.NA
Lattice-based kernel approximation and serendipitous weights for parametric PDEs in very high dimensions
Free University of Berlin（柏林自由大学）；UNSW Sydney（新南威尔士大学悉尼分校）
本文针对极高维参数化偏微分方程，提出基于格点核插值和偶然权重的高效快速傅里叶变换求解方法，显著提升计算性能并支持极高维函数逼近。
2026-10-20 cs.NA math.NA
Hybrid Iterative Solvers with Geometry-Aware Neural Preconditioners for Parametric PDEs
Division of Applied Mathematics（应用数学系）；Brown University（布朗大学）；Ansys UK Ltd（Ansys英国有限公司）
本文提出Geo-DeepONet，结合几何信息的神经预置条件器，提升混合迭代求解器在参数PDEs中的鲁棒性和效率。
2025-12-16 cs.LG cs.NA math.NA
Exploiting locality in sparse polynomial approximation of parametric elliptic PDEs and application to parameterized domains
本研究针对椭圆偏微分方程的参数化问题，提出采用局部支撑函数的表示方式，通过逐点界证明泰勒系数的ℓᵖ可和性，应用于参数化域问题可获更高收敛率，且方法可推广至其他类型PDE。
2023-08-11 cs.NA math.AP math.NA
First-order empirical interpolation method for real-time solution of parametric time-dependent nonlinear PDEs
本文提出一种结合本征正交分解、Galerkin投影与一阶经验插值的模型降阶方法，用于参数化时间相关非线性偏微分方程的实时求解，并通过Allen-Cahn和Buckley-Leverett方程验证了其精度、效率与稳定性。
2024-10-02 cs.NA math.AP math.NA
A theoretical analysis on the resolution of parametric PDEs via Neural Networks designed with Strassen algorithm
University of the Basque Country UPV/EHU（巴斯克大学）；BCAM - Basque Center for Applied Mathematics（巴斯克应用数学中心）
构建一族神经网络逼近矩阵乘法算子，用Strassen算法界定其权重和层数，据此定义逼近逆矩阵算子的神经网络，探讨其用于数值求解椭圆型偏微分方程。
2026-07-07 cs.NA math.FA math.NA
Analysis of the Decoder Width for Parametric Partial Differential Equations
本文对求解参数化偏微分方程的降阶模型 Meta-Auto-Decoder (MAD) 的解码器宽度进行理论分析，估计了多类方程解集的解码器宽度上界，证明了其快速衰减率及解决复杂问题的潜力。
2023-06-26 cs.NA math.NA
Accelerated replica exchange stochastic gradient Langevin diffusion enhanced Bayesian DeepONet for solving noisy parametric PDEs
Purdue University（普渡大学）
Deep Operator Networks~（DeepONet）是一种完全不同的神经网络，我们训练它来近似非线性算子，包括参数偏微分方程（PDE）的求解算子。DeepONets已经显示出卓越的近似和泛化能力，即使在使用相对较小的数据集进行训练时也是如此。然而，当训练数据被噪声污染时，DeepONets的性能会恶化，这种情况在实践中经常发生。为了使DeepONets能够使用噪声数据进行训练，我们建议使用复制交换Langevin扩散的贝叶斯框架。这样的框架使用两个粒子，一个用于探索，另一个用于利用DeepONets的损失函数。我们表明，所提出的框架的探索和利用能力使（1）在嘈杂的场景中提高DeepONets的训练收敛性，以及（2）为参数PDE的预测解附加不确定性估计。此外，我们还发现，与使用最先进的基于梯度的优化算法（例如Adam）训练的香草DeepONets相比，复制交换Langeving扩散（显着）还提高了DeepONet在嘈杂场景中的平均预测准确性。为了降低副本的潜在高计算成本，在这项工作中，我们提出了一个用于复制交换Langevin扩散的加速训练框架，该框架利用DeepONets的神经网络架构将其计算成本降低了25%，而不会影响所提出的框架的性能。最后，我们使用一系列的实验四个参数偏微分方程的问题，说明了所提出的贝叶斯框架的有效性。
2021-11-03 cs.LG cs.NA math.NA
A Comparison of Reduced-Order Modeling Approaches Using Artificial Neural Networks for PDEs with Bifurcating Solutions
本文重点介绍了降阶模型（ROM）建立的有效治疗偏微分方程的解决方案，分叉的多个输入参数的值的变化。首先，我们考虑一种称为本地ROM的方法，该方法使用k-means算法对快照进行聚类，并为每个聚类构建一个本地POD基。我们调查这种方法的一个关键因素：当地的基础选择标准。几个标准进行了比较，发现基于回归人工神经网络（ANN）的标准提供了最准确的结果，表现出超临界干草叉分叉的通道流问题。相同的基准测试，然后使用到一个既定的全球投影为基础的ROM和最近提出的人工神经网络为基础的方法，称为POD-NN的回归神经网络选择标准的本地ROM的方法进行比较。我们表明，我们的本地ROM方法获得超过一个数量级的精度超过全球基于投影的ROM。然而，POD-NN提供一致的更准确的近似比本地基于投影的ROM。
2021-12-30 cs.NA math.NA
Finite Element Operator Network for Solving Elliptic-type parametric PDEs
Inha University（仁荷大学）；Chung-Ang University（中央大学）
本文提出融合深度学习与有限元法的FEONet，在无需成对训练数据的情况下求解椭圆型参数化PDEs，并通过基准实验和收敛分析验证其精度、泛化性与计算灵活性。
2025-02-19 cs.AI cs.LG cs.NA
PDE-Based Parameterisation Techniques for Planar Multipatch Domains
本研究提出基于PDE的多面片域参数化框架，结合调和映射与IGA数值算法解决平面StV问题，可集成至IGA软件并通过曲线坐标系调控参数化特性。
2023-07-21 cs.NA math.NA
Multilevel CNNs for Parametric PDEs
Technical University of Berlin（柏林工业大学）；Weierstraß Institute（魏尔斯特拉斯研究所）
结合多层求解器与深度学习提出高效求解高维参数化偏微分方程的新方法，理论上能逼近多重网格V循环且权重仅对数依赖最细网格分辨率，实验表明其性能显著优于现有深度学习求解器。
2023-04-04 cs.LG cs.NA math.AP
Neural Control of Parametric Solutions for High-dimensional Evolution PDEs
Georgia State University（佐治亚州立大学）；Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）
提出通过学习参数空间中的控制向量场来近似高维演化PDE解算子的框架，降低计算成本，并提供误差分析和数值验证。
2023-11-10 cs.LG cs.NA math.NA
Meta-Auto-Decoder: A Meta-Learning Based Reduced Order Model for Solving Parametric Partial Differential Equations
提出基于元学习的非线性降阶模型MAD，以无网格无监督方式学习试验流形，实现参数化PDE快速求解，兼顾精度与收敛速度。
2024-02-05 cs.NA math.NA
Parametric Complexity Bounds for Approximating PDEs with Neural Networks
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
最近的实验表明，深度网络可以近似高维偏微分方程的解，似乎逃脱了维数灾难。然而，关于这种近似的理论基础的问题，包括所需的网络规模，仍然悬而未决。本文研究了用神经网络逼近Dirichlet边界条件下线性椭圆型偏微分方程解的表示能力。我们证明了，当一个偏微分方程的系数表示的小神经网络，所需的参数近似其解决方案的规模多项式的输入尺寸$d$和成比例的系数网络的参数计数。为此，我们最终开发了一种证明技术，通过生长一个神经网络架构来模拟梯度下降（在适当的Hilbert空间中），该架构的迭代每个都作为子网络参与其（稍大）的后继者，并收敛到PDE的解。我们绑定的解决方案的大小，显示多项式依赖于$d$和没有依赖于域的体积。
2021-07-06 cs.LG cs.NA math.NA
A Theoretical Analysis of Deep Neural Networks and Parametric PDEs
Technische Universität Berlin（柏林工业大学）；University of Tromsø（特罗姆瑟大学）；University of Vienna（维也纳大学）
我们推导出近似参数偏微分方程解映射的ReLU神经网络复杂度的上界。特别是，没有任何知识的具体形状，我们使用固有的低维的解决方案流形，以获得近似率显着优于经典神经网络的近似结果。具体地说，我们使用一个小的减少基础的存在，构造，为各种各样的参数偏微分方程，神经网络，产生近似的参数解映射的方式，这些网络的大小基本上只取决于减少基础的大小。
2020-05-14 cs.LG cs.NA math.FA
GPT-PINN: Generative Pre-Trained Physics-Informed Neural Networks toward non-intrusive Meta-learning of parametric PDEs
University of Massachusetts Dartmouth（马萨诸塞大学达特茅斯分校）
针对物理 informed 神经网络（PINN）训练耗时、参数冗余的问题，提出生成式预训练 PINN（GPT-PINN），通过超精简元网络结合预训练 PINN 激活函数，实现参数化 PDE 全参数域高效准确的代理解生成。
2023-06-08 cs.LG cs.NA math.NA
Physics-informed low-rank neural operators with application to parametric elliptic PDEs
提出物理信息低秩神经算子PILNO，结合低秩核近似与编码器-解码器架构，在点云上高效逼近PDE解算子，通过物理信息惩罚训练确保约束满足，适用于多种参数化椭圆型PDE问题。
2025-09-09 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Derivative-Informed Projected Neural Networks for High-Dimensional Parametric Maps Governed by PDEs
Oden Institute for Computational Engineering & Sciences, The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校奥登计算工程与科学学院）；McKelvey School of Engineering, Washington University in St. Louis（圣路易斯华盛顿大学麦凯维工程学院）；Department of Mechanical Engineering, The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校机械工程系）
许多查询问题，所产生的不确定性量化，贝叶斯反演，贝叶斯最优试验设计，不确定性下的优化，需要大量的评估参数输出映射。这些评估变得令人望而却步，如果这个参数映射是高维的，并涉及昂贵的解决方案的偏微分方程（PDE）。为了应对这一挑战，我们建议以投影神经网络的形式为高维偏微分方程控制的参数化映射构建代理，这些映射可以简单地捕获这些映射的几何形状和内在低维性。具体来说，我们计算这些基于偏微分方程的映射的雅可比矩阵，并将高维参数投影到一个低维导数通知的活动子空间上;我们还将可能的高维输出投影到它们的主子空间上。这利用了许多高维偏微分方程控制的参数映射可以在低维参数和输出子空间中很好地逼近的事实。我们使用投影基向量的活动子空间以及主输出子空间，分别构造的神经网络的第一层和最后一层的权重。这使我们可以只在神经网络的低维层中训练权重。所得到的神经网络的架构捕获到一阶，低维结构和几何参数映射。我们证明了所提出的投影神经网络比完整的神经网络实现了更高的泛化精度，特别是在昂贵的基于PDE的参数映射提供的有限训练数据制度。此外，我们还证明了投影网络内层的自由度数量与参数和输出维度无关，并且权重维度与离散化维度无关，可以实现高精度。
2021-03-16 cs.CE cs.LG cs.NA
A Hybrid Iterative Neural Solver Based on Spectral Analysis for Parametric PDEs
本文提出傅里叶神经求解器（FNS），通过从谱角度学习特征值和特征向量，使混合迭代方法在参数化PDE上实现与网格尺寸和物理参数无关的收敛速率。
2025-06-06 cs.NA math.NA
Regularity and tailored regularization of Deep Neural Networks, with application to parametric PDEs in uncertainty quantification
NVIDIA（英伟达）；School of Mathematics and Statistics, UNSW Sydney（新南威尔士大学数学与统计学院）；Department of Computer Science, KU Leuven（荷语鲁汶大学计算机科学系）
本文提出周期性深度神经网络模型，通过定制化正则化方法提高参数化PDE在不确定性量化中的逼近精度。
2026-03-03 cs.NA math.NA
Solving time-dependent parametric PDEs by multiclass classification-based reduced order model
本文提出了一种求解不定常参数型偏微分方程的网络模型--基于多类分类的降阶模型（MC-ROM）。这项工作的灵感来自于应用基于深度学习的降阶模型（DL-ROM）来解决扩散主导的PPDE的观察。我们发现，DL-ROM对一些特殊的模型参数有很好的近似，但它不能近似解随时间的急剧变化。基于这一事实，我们根据解的大小对数据集进行分类，并根据不同类型的数据构造相应的解集。然后训练一个分类器，将不同的子集集成在一起，得到MC-ROM。当子集具有相同的结构时，我们可以使用迁移学习技术来加速离线训练。数值实验表明，MC-ROM提高了DL-ROM对扩散和对流占优问题的推广能力，并保持了DL-ROM良好逼近能力的优势。我们还比较了不适合对流占优问题的本征正交分解（POD）的近似精度和计算效率。对于扩散占优的问题，MC-ROM在较小的降维空间内具有比POD更好的逼近精度，其计算性能比POD更有效。
2022-10-08 cs.NA math.NA
Approximation of high-dimensional parametric PDEs
参数化偏微分方程的家庭出现在各种情况下，如反问题，控制和优化，风险评估和不确定性量化。在大多数这些应用中，参数的数量很大，甚至可能是无限的。因此，这些参数问题的数值方法的发展面临着可能的维数灾难。本文旨在（i）识别和理解哪些属性的参数方程，以避免这种诅咒和（ii）开发和分析有效的数值方法，充分利用这些属性，反过来，是免疫增长的维数。本文的第一部分研究了解映射的光滑性和可逼近性，即解映射$a\mapsto u(a)$，其中$a$是参数值，$u(a)$是偏微分方程的相应解。结果表明，对于许多相关的参数偏微分方程，这个地图的参数光滑性是典型的全纯的，也是高度各向异性的，在描述的解决方案的相关参数是广泛变化的重要性。这两个属性，然后利用建立收敛速度的$n$ -长期近似的解决方案的地图，其中每一项是可分离的参数和物理变量。这些结果表明，至少在理论层面上，解决方案地图可以很好地近似由离散化的适度复杂性，从而显示如何打破维数灾难。这种理论分析是通过逼近论的概念，如最佳的$n$ -长期近似，稀疏性，和$n$ -宽度。这些概念先验地确定了数值方法的最佳可能性能，从而作为具体算法的基准。本文的第二部分转向基于理论上建立的稀疏可分近似的数值算法的发展。研究的数值方法分为两大类。第一个使用多项式展开的参数来近似的解决方案的地图。第二个搜索合适的低维空间，同时近似的所有成员的参数家庭。这些方法的数值实现是通…
2015-03-03 cs.NA math.AP math.NA
Fully discrete approximation of parametric and stochastic elliptic PDEs
本文研究了参数和随机椭圆偏微分方程的完全离散近似，通过结合空间和参数近似性，利用Taylor、Jacobi和Hermite展开，获得收敛率与总自由度相关的近似结果。
2017-07-09 cs.NA math.AP math.NA
Approximate Bayesian Neural Operators: Uncertainty Quantification for Parametric PDEs
University of Tübingen（图宾根大学）；University of Genova（热那亚大学）；Istituto Italiano di Tecnologia（意大利技术研究院）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；Max-Planck-Institute for Intelligent Systems（马克斯·普朗克智能系统研究所）
神经运算符是一种学习求解偏微分方程（PDE）（即学习偏微分方程的非线性解运算符）的深度架构。这些模型的当前技术状态没有提供明确的不确定性量化。对于这类任务来说，这可以说比机器学习中的其他任务更是一个问题，因为通常由偏微分方程描述的动态系统通常表现出微妙的多尺度结构，使得人类很难发现错误。在这项工作中，我们首先提供了一个数学上详细的贝叶斯公式的“浅”（线性）版本的神经算子的形式主义的高斯过程。然后，我们使用贝叶斯深度学习的近似方法将这种分析处理扩展到一般的深度神经运算符。我们扩展了以前的结果，神经运营商提供他们的不确定性量化。因此，我们的方法能够识别案例，并提供结构化的不确定性估计，其中神经运算符无法很好地预测。
2022-08-02 cs.LG cs.NA math.NA
Nodal Hybrid Neural Solvers for Parametric PDE Systems
Xiangtan University（湘潭大学）；Tsinghua University（清华大学）
本文提出基于图傅里叶神经求解器（G-FNS）和自适应图傅里叶神经求解器（AG-FNS）的求解器，解决参数PDE系统在非结构化网格上的高效求解问题，实现网格无关收敛率和多尺度误差模式捕捉。
2026-03-25 cs.NA math.NA
Unbiased deep solvers for linear parametric PDEs
The Alan Turing Institute（艾伦·图灵研究所）；University of Edinburgh（爱丁堡大学）；Vega
我们开发了几种深度学习算法来近似参数PDE解的族。所提出的算法近似的解决方案连同其梯度，这在金融数学的上下文中意味着衍生品价格和对冲策略的计算是同时进行的。在近似解的梯度之后，可以将其与蒙特卡洛模拟相结合，以消除PDE解的深度网络近似中的偏差（衍生物价格）。这是通过利用鞅表示定理并将蒙特卡罗模拟与神经网络相结合来实现的。所得到的算法是强大的神经网络近似的质量方面，因此可以作为一个黑盒的情况下，只有有限的先验信息的基本问题是可用的。我们认为这一点很重要，因为基于神经网络的算法通常需要大量的调整才能产生令人满意的结果。经验表明，该方法适用于高维问题（例如100维）。我们提供的诊断可帮助您了解适当的网络架构。
2022-01-17 cs.LG cs.NA math.NA
Randomized neural operator for parametric PDEs with fast training and conformal uncertainty quantification
提出PCA-RaNN随机化神经算子，结合PCA降维与固定随机特征及最小二乘读出，将训练时间降低1-3个数量级，并支持保形预测区间与在线自适应。
2026-06-28 cs.LG cs.NA math.NA
A data-driven method for parametric PDE Eigenvalue Problems using Gaussian Process with different covariance functions
本文提出一种结合 POD 与 Gaussian Process Regression 的离线-在线数据驱动方法，用于求解参数化 PDE 特征值问题，并证明 GPR 在处理具有一定正则性的函数时优于 spline 方法。
2024-06-02 cs.NA math.NA
Neural Green's Operators for Parametric Partial Differential Equations
Eindhoven University of Technology（埃因霍温理工大学）
本文提出了一种构建参数神经算子的范式，通过有限维格林算子表示线性偏微分方程的格林算子，利用神经网络近似格林函数对PDE系数的非线性依赖，提升泛化能力与精度。
2026-01-22 cs.LG cs.NA math.NA
Project Artie: An Artificial Student for Disciplines Informed by Partial Differential Equations
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
Artie 通过自然语言处理和偏微分方程模板，为热传导等学科提供符号-数值近似解，其核心方法包括问题分类、几何类和变分公式，主要贡献是实现精确的有限元求解。
2018-09-18 cs.NA math.NA
Progressive construction of a parametric reduced-order model for PDE-constrained optimization
提出了一种自适应降阶方法，该方法打破了传统的离线-在线降阶模型框架，将降阶模型作为偏微分方程约束优化的代理模型。定义了一系列受给定降阶模型约束的最优化问题，目标是收敛到给定偏微分方程约束的最优化问题的解。对于每个简化的最优化问题，约束ROM从在序列中的一些先前问题的解处对高维模型（HDM）进行采样来训练。简化的最优化问题配备有基于残差指示符的非线性信赖域，以将优化轨迹保持在ROM准确的参数空间的区域中。还提出了一种将灵敏度纳入降阶基（ROB）的技术，以及一种用于计算降阶模型的灵敏度的方法，该方法在合适的范数中最小化到相应HDM灵敏度的距离。将所提出的简化优化框架应用于亚音速气动外形优化，与仅使用HDM解决的最优化问题相比，将HDM的查询次数减少了4-5倍，最优解的误差远小于0.1%。
2014-07-29 cs.NA math.NA math.OC
An iterative multi-fidelity approach for model order reduction of multi-dimensional input parametric PDE systems
Nantes Université（南特大学）；Ecole Centrale Nantes（南特中央理工学院）；CNRS（法国国家科学研究中心）
我们提出了一个参数采样策略，减少大规模PDE系统的多维输入参数空间，利用不同的保真度模型。该方法的设计允许用户自适应地从离散训练集中自组织样本点，而不需要误差估计器。它是通过利用整个参数空间的低保真度模型的样本点使用一个有效的采样策略，并在采样的参数点，高保真模型进行评估，以恢复减少基函数。低保真度模型，然后适应与降阶模型（ROM）通过投影到子空间上所跨越的恢复基函数。该过程继续，直到低保真度模型可以针对参数空间中的所有参数充分地表示高保真度模型。由于所提出的方法利用低保真度模型来同化解决方案数据库，它显着降低了离线阶段的计算成本。本文的重点是提出了初始低保真模型的构建，以及基于离散经验插值方法（DEIM）的抽样策略。在二维稳态热传导问题上对该方法进行了两种不同输入参数的测试，并与经典的贪婪缩减基方法（RBM）进行了定性比较;在9维参数非强制椭圆问题上进一步测试，并分析了基于不同贪婪选点调整的计算性能.
2023-01-23 cs.LG cs.NA math.AP
Error analysis for finite element operator learning methods for solving parametric second-order elliptic PDEs
KAIST（韩国科学技术院）；Inha University（仁荷大学）；Chung-Ang University（中央大学）
本文对有限元算子网络（FEONet）求解参数化二阶椭圆型偏微分方程进行了理论误差分析，建立了收敛性结果和自伴情形的显式误差估计，并通过数值实验验证了有限元矩阵条件数对收敛性的影响。
2024-04-27 cs.LG cs.NA math.NA
Generative diffusion learning for parametric partial differential equations
Booz Allen Hamilton Inc（博思艾伦咨询公司）；Physical Modeling and Simulation Branch, DEVCOM Army Research Laboratory（DEVCOM陆军研究实验室物理建模与模拟分支）；Department of Mathematical Sciences, University of Delaware（特拉华大学数学科学系）
本文提出基于生成扩散模型的参数偏微分方程解算器，通过概率方法学习参数与解的映射关系，实现对噪声数据的自动置信区间估计，并与傅里叶网络运算符进行性能比较。
2026-04-17 cs.NA math.NA
Sparse FEONet: A Low-Cost, Memory-Efficient Operator Network via Finite-Element Local Sparsity for Parametric PDEs
Department of Mathematics, Inha University（inha大学数学系）；Department of Mathematics, Ajou University（ajou大学数学系）
针对参数化PDE的有限元算子网络（FEONet）在大规模问题中计算成本高、精度下降的问题，提出一种基于有限元结构的新型稀疏网络架构，在保持精度相当的同时显著提升计算效率，并给出理论逼近和稳定性分析。
2026-06-01 cs.LG cs.NA math.NA
Fully probabilistic deep models for forward and inverse problems in parametric PDEs
University of Cambridge（剑桥大学）；Imperial College London（帝国理工学院）；The Alan Turing Institute（艾伦·图灵研究所）
本文提出物理驱动的深度隐变量模型PDDLVM，通过概率建模和变分推断同时学习参数化PDE的正问题与反问题映射，训练后无需独立求解即可实时预测，并在多个PDE问题上实现比FEM快三个数量级的加速及不确定性估计。
2023-07-14 cs.LG cs.NA math.NA
Neural Shape Operator Surrogates -- Expression Rate Bounds
Christoph Schwab, Seminar for Applied Mathematics, ETH Z\"urich, R\"amistrasse 101, 8092 Z\"urich, Switzerland
本文研究了偏微分方程和边界积分方程解算子的近似算子的误差界，通过仿射参数化形状编码将PDE映射到参考域，证明了参数化解族的well-posed性，并构建了神经和谱算子近似。
2026-04-20 cs.LG cs.NA math.NA
Model Reduction and Neural Networks for Parametric PDEs
California Institute of Technology（加州理工学院）
我们开发了一个通用的框架数据驱动的近似输入输出映射之间的无限维空间。所提出的方法受到神经网络和深度学习最近成功的启发，并结合了模型简化的想法。这种组合导致神经网络近似，其原则上定义在无限维空间上，并且在实践中，对于计算所需的这些空间的有限维近似的维度是鲁棒的。对于一类输入-输出映射，并适当地选择输入的概率测度，我们证明了所提出的近似方法的收敛性。我们还包括数值实验，证明了该方法的有效性，显示收敛性和鲁棒性的近似方案的离散化的大小，并比较它与现有的算法从文献中，我们的例子包括从系数映射到解决方案中的散度型椭圆偏微分方程（PDE）问题，和粘性Burgers方程的解决方案运营商。
2021-06-17 cs.LG cs.NA math.NA
Hybrid FEM-NN models: Combining artificial neural networks with the finite element method
Simula Research Laboratory（Simula研究实验室）
我们提出了一种方法，结合神经网络的物理原理约束的形式偏微分方程（PDE）。该方法允许训练神经网络，同时将PDE作为优化中的强约束，以使它们成为损失函数的一部分。通过有限元法（FEM）在空间中离散所得到的模型。该方法适用于静态和瞬态以及线性/非线性偏微分方程。我们描述的方法作为现有的有限元框架FEniCS及其算法微分工具dolfin伴随的扩展实施。通过一系列的例子，我们证明了该方法的能力，以恢复系数和丢失的PDE运营商从观察。此外，所提出的方法进行比较与替代方法，即物理通知神经网络和标准的PDE约束优化。最后，我们使用深度神经网络在复杂的心脏细胞模型问题上演示了该方法。
2021-09-03 cs.LG cs.NA math.NA
Graph-Instructed Neural Networks for parametric problems with varying boundary conditions
本文提出图引导神经网络用于高效解决具有变化边界条件的参数问题，通过学习参数描述与PDE解的映射，提升复杂参数PDE的模拟效率和鲁棒性。
2026-03-09 cs.AI cs.LG cs.NA
