On almost-equidistant sets
Alexandr Polyanskii
$\mathbb R^d$中的有限点集称为几乎等距的，如果在集合中的任何三个不同的点中，有两个在单位距离处。证明了$\mathbb R^d$中的几乎等距集的基数至多为$5d^{13/9}$ .
A finite set of points in $\mathbb R^d$ is called almost-equidistant if among any three distinct points in the set, some two are at unit distance. We prove that an almost-equidistant set in $\mathbb R^d$ has cardinality at most $5d^{13/9}$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On almost-equidistant sets - II
$\mathbb R^d$中的一个集合称为几乎等距的，如果对于集合中的任何三个不同的点，其中两个点相距单位距离。首先，我们给出Bezdek和Lángi的结果的一个简短的证明：一个几乎等距的集合位于半径为$r$的$(d-1)$维球面上，其中$r<1/\sqrt{2}$至多有$2d+2$点。其次，我们证明了一个几乎等距集$V$在$\mathbb R^d$有$O(d)$点在两种情况下：如果$V$的直径至多是$1$或如果$V$是一个子集的$d$维球的半径至多$1/\sqrt{2}+cd^{-2/3}$，其中$c<1/2$。本文还对Kupavskii，Mustafa和Swanepoel arXiv：1708.01590的结果给出了一个新的证明：$\mathbb R^d$中的几乎等距集有$O(d^{4/3})$元素.
Almost-equidistant sets
对于正整数$d$，在$d$维欧氏空间中的一个点集称为几乎等距的，如果对于该集合中的任何三个点，其中有两个点在单位距离处。令$f(d)$表示$d$ -空间中几乎等距集的最大尺寸。已知$f(2)=7$、$f(3)=10$和极值几乎等距集是唯一的。我们提供独立的，计算机辅助证明这些声明。还已知$f(5) \ge 16$ .我们进一步表明，$12\leq f(4)\leq 13$，$f(5)\leq 20$，$18\leq f(6)\leq 26$，$20\leq f(7)\leq 34$和$f(9)\geq f(8)\geq 24$。尺寸$7$，我们的工作是基于各种计算机搜索，并在尺寸$6$到$9$，我们给出的结构的基础上，已知的$d=5$的建设。对于每一个维度$d \ge 3$，我们给出了一个例子，几乎等距集的$2d+4$点的$d$ -空间，我们证明了渐近上界$f(d) \le O(d^{3/2})$。
Bounding the size of an almost-equidistant set in Euclidean space
d维欧几里得空间中的一个点集是几乎等距的，如果在该集合的任何三个点中，有两个点的距离为1。证明了$\mathbb{R}^d$中的几乎等距集具有基数$O(d^{4/3})$ .
Equidistant sets on Alexandrov surfaces
我们研究的等距集确定的非空不相交的紧子集的紧凑的2维亚历山德罗夫空间（曲率有界以下）的性质。这里的工作推广了许多已知的结果，等距集确定的两个不同的点上一个紧凑的黎曼2-流形。值得注意的是，我们发现等距集总是一个有限的单纯1-复形。这些结果被应用于回答一个公开的问题有关的豪斯多夫维数的等距集在欧几里德平面。
Odd-distance and right-equidistant sets in the maximum and Manhattan metrics
我们解决了两个相关的极端几何问题的$n-$维空间$\mathbb{R}^n_{\infty}$配备了最大度量。首先证明了$\mathbb{R}^n_{\infty}$中右等距点列的最大长度等于$2^{n+1}-1$。一个序列是右等距的，如果每一个点与所有后续点的距离相同。其次，我们证明了$\mathbb{R}^n_{\infty}$中具有成对奇数距离的最大点数等于$2^n$。我们也得到了部分结果的$n-$维空间$\mathbb{R}^n_1$与曼哈顿距离的问题。
Old and new about equidistant sets and generalized conics
本文从拓扑学和度量学的角度研究了等距集的经典结果和新结果。我们首先回顾了最有趣的已知事实，这些集在欧几里得空间，然后我们证明了等距集不断变化的焦点集。在第二部分中，我们提出了一个观点，等距集可以被认为是自然推广的二次曲线。沿着这些路线，我们表明，许多经典的二次曲线的几何特征可以检索到更一般的等距集。在附录中，我们证明了等距集的跟踪性质，并提供了尖锐的估计。这个结果应该是计算机模拟的兴趣。
On computable classes of equidistant sets: multivariate equidistant functions
本文研究欧氏空间中由超平面和正值连续函数上图定义的等距集，证明其构成多元等距函数，并给出逐点最小值性质及凸情形下的参数化与刻画。
On convex closed planar curves as equidistant sets
欧氏平面上两个非空子集$K$和$L$的等距集合是这样一个集合，它的所有点到$K$和$L$的距离都相同。由于经典的二次曲线也可以这样给出，等距集可以被认为是它们的一种推广：$K$和$L$被称为焦点集。在他们的论文\cite{PS}的作者提出的问题的特征封闭的子集在欧几里德平面可以实现为等距集的两个连接不相交的封闭集。证明了任意凸闭平面曲线都可以作为等距集给出，即该等距曲线集包含凸闭平面曲线的全部类。在这个意义上，等距性是凸性的推广。
On a special class of equidistant sets in the Euclidean space
本文研究了欧几里得空间中等距集的特殊情形，探讨了等距函数的概念及其存在条件，并分析了等距函数与最小操作之间的关系。
Three-dimensional antipodal and norm-equilateral sets
我们刻画了至少允许六个或至少七个等距点的三维空间。特别地，我们证明了$\R^3$上允许六个等距点的$C^\infty$范数的存在性，这反驳了Lawlor和Morgan（1994，Pacific J. Math \textbf{166}，55- 83）的一个猜想，并给出了$\R^3$上某些一致凸范数的具有六个区域的能量最小化锥的存在性.另一方面，$\R^3$上的可微范数不允许有7个等距点。证明中的一个关键要素是对所有三维对跖集的分类。我们还将所得结果应用于几个三维凸体的接触数。
Almost all sets of d+2 points on the (d-1)-sphere are not subtransitive
我们推广了Leader、Russell和Walters的一个论证，证明了（d - 1）-球面S^{d-1}上几乎所有的d + 2点集都不包含在某个R^n的传递集中。
Around the Petty theorem on equilateral sets
本文的主要目的是提供Petty定理的另一种证明：在至少3维的赋范空间中，每一个3元等边集都可以扩张为4元等边集。我们的方法是基于Kramer和Németh关于将单形内接于凸体的结果。为了证明配第定理，我们还将证明，对于赋范平面中的每3个点，形成公共距离$p$的等边集合，存在第四个点，该点与给定的点等距，距离不大于$p$。我们还将改进Petty给出的例子，得到包含极大4元等边集的$\mathbb{R}^n$中光滑严格凸范数的存在性.这表明Petty定理不能推广到更高的维度，即使是光滑和严格凸规范。
Almost periodic discrete sets
利用序列空间中的一种特殊度量，给出了$k$维欧几里得空间中概周期集的几何描述。我们证明了概周期集空间的完备性和概周期性的Bochner准则的一些类似性。此外，我们展示了这些集合和概周期测度之间的联系。
Bohr and Besicovitch almost periodic discrete sets and quasicrystals
欧氏空间中的离散集$A$是概周期的，如果在集合的点处单位质量的测度是弱概周期的.我们调查的情况下，当$A-A$是离散的这样的集合的属性。特别地，如果$A$是Bohr概周期集，我们证明了$A$是某一满秩格的有限个平移的并.如果$A$是Besicovitch概周期集，则存在满秩格，使得在大多数情况下，它的平移与$A$的非空交是大的.
Exceptional projections of sets exhibiting almost dimension conservation
本文针对满足几乎维数守恒律的集合，建立了其正交投影例外集的填充维数估计，并将结果应用于齐次集和某些图导向集，同时与Rams和Orponen的已有工作建立了联系。
Perturbations of discrete lattices and almost periodic sets
$p$维欧氏空间中的离散集是{ \it概周期的}，如果在该集合的点处具有单位质量的测度在弱意义下是概周期的.我们建议构造正概周期离散集作为满秩离散格的概周期扰动。证明了实轴上的每个概周期离散集都是某个等差数列的概周期扰动。接下来，我们考虑符号几乎周期离散集，即，当质量为$\pm1$的带号测度在离散集的点上是概周期的时候.我们构造了一个非概周期的符号离散集，而相应的带号测度在分布意义下是概周期的。另外，我们构造了一个符号概周期离散集，使得在该集的所有点上质量为+1的测度不是概周期的。
Almost bi-Lipschitz embeddings and almost homogeneous sets
本文研究了齐性空间在欧几里得空间中的嵌入。我们证明了，任何齐次度量空间可以嵌入到Hilbert空间使用几乎双Lipschitz映射（双Lipschitz内对数校正）。这个集合的形象不再是同质的，而是“几乎是不同质的”。因此，我们研究的问题，几乎齐次子集$X$的希尔伯特空间$H$到有限维欧几里得空间。事实上，我们表明，如果$X$是一个Banach空间的紧致子集和$X-X$几乎是齐次的，那么，对于$N$足够大，一个普遍的线性映射集从$X$到$\Re^N$几乎是双Lipschitz之间的$X$和它的图像。然后，我们能够使用的Kuratowski嵌入$(X,d)$到$L^\infty(X)$，以证明一个类似的结果紧度量空间。
Model sets, almost periodic patterns, uniform density and linear maps
本文分为两个独立的部分。在第一个，我们调查的几何性质几乎周期性的模型集（或切割和投影集，定义在最弱的假设），特别是我们表明，他们几乎是周期性的模式，从而具有均匀的密度。在第二部分中，我们证明了这类模型集和概周期模式在线性映射离散化下是稳定的。
Discrepancy and rectifiability of almost linearly repetitive Delone sets
我们扩展了Lagarias和Pleasants的局部权重分布线性重复Delone集的差异范围，并表明类似的范围也适用于更一般的情况下，Delone集没有有限的局部复杂性，如果线性重复取代$\varepsilon$ -线性重复。因此，我们建立的Delone集是$\varepsilon$ -线性重复的一些足够小的$\varepsilon$是可校正的，和不可分割的多尺度替代平铺从来没有几乎线性重复。
Generalised dimensions of measures on almost self-affine sets
我们建立了一个通用公式的广义q维的措施支持几乎自仿射集，所有的q>1。这些q维可以随着q的变化而表现出相变。我们首先考虑一般措施，然后专门伯努利和吉布斯措施。我们的方法包括估计期望的时刻表达式的“多能”积分，我们然后绑定使用家庭的树木诱导。
Almost arithmetic progressions in the primes and other large sets
格林和陶的一个著名而深刻的结果指出，素数包含任意长的等差数列。在本文中，我提供了一个简单的论证，证明素数任意地接近任意长的等差数列。这一论点也适用于Erdens-Turán意义上的“大集合”。这个证明很简短，完全独立，目的是给出一个启发式的解释，为什么素数和其他大集合具有算术结构。
Large intersection property for limsup sets in metric space
证明了在一定条件下，由紧致Ahlfors $s$ -正则空间$(X,\mathscr{B},μ,ρ)$中的开集序列生成的limsup集属于以$λ$为指标的大交集类，记为$\mathcal{G}^λ(X)$.特别是，这提供了一个下界的Hausdorff维数这样的集合。应用这些结果，得到了具有指标$γ_2$和$δ$的limsup随机分形几乎必然属于$\mathcal{G}^{s-δ-γ_2}(X)$，具有指数混合性质的随机覆盖集几乎必然属于$\mathcal{G}^{s_0}(X)$，其中$s_0$几乎必然等于覆盖集的Hausdorff维数.我们还研究了度量空间中矩形生成的limsup集的大交性质。
Almost sure Assouad-like Dimensions of Complementary sets
给定一个非负的递减序列$a$，其和为$1$，我们考虑$[0,1]$的所有闭子集，使得它们的互补开区间的长度由$a$的项给出，即所谓的互补集。在本文中，我们确定的几乎必然值的$Φ$ -维的这些集给出了一个自然的随机模型。$Φ$ -维是中间类Assouad维，其中包括Assouad和准Assouad维作为特殊情况。答案取决于$Φ$的大小，一个大小表现得像Assouad维数，另一个像准Assouad维数。
Local dimensions of measures on self-affine sets
我们表明，在一般的设置，自仿射和几乎自仿射措施是准确的尺寸，与当地的尺寸等于几乎处处的信息维和零的超可加压力功能。
On sets minimizing their weighted length in uniformly convex separable Banach spaces
研究了巴拿赫空间中加权Steiner问题的存在性和部分正则性。在一致凸的巴拿赫空间中证明了几乎极小集的$C^1$正则性，其一致凸模证明了Dini增长条件.
The quasi-Assouad dimension for stochastically self-similar sets
随机自相似集类包含了许多著名的随机集例子，如Mandelbrot渗流和一般分形渗流。在一致开集条件和迭代函数系的一些较弱的假设下，证明了自相似随机递归集的拟Assouad维数几乎必然等于其几乎必然的豪斯多夫维数.我们进一步评论随机齐次和$V$变量集和重叠条件的删除。
The box dimension of random box-like self-affine sets
在本文中，我们研究了两个随机模拟的盒状自仿射吸引子介绍了弗雷泽，本身的Sierpienski地毯的扩展。确定了齐次随机情形（$1$ -变量随机情形）的几乎处处盒维数，并给出了几乎必然盒维数是确定性吸引子盒维数的期望的充分条件.此外，我们发现几乎必然盒计数维数的随机递归模型（$\infty$ -变量），其中包括仿射分形渗流。
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