艺术画廊定位（AGL）是将一组广播塔$T$放置在一个简单的多边形$P$中，以使一个点在内部定位。对于任何点$p \in P$：对于每个塔$t \in T \cap V(p)$（其中$V(p)$表示$p$的可见度多边形），点$p$接收$t$的坐标以及$t$和$p$之间的欧几里德距离。根据该信息，$p$可以确定其坐标。研究了AGL问题的计算复杂性。我们发现，问题的最小数量的广播塔，可以本地化一个点的任何地方在一个简单的多边形$P$是NP难的。给出了从布尔三可满足性问题到我们问题的一个约简，并证明了约简需要多项式时间。
英文摘要：
Art Gallery Localization (AGL) is the problem of placing a set $T$ of broadcast towers in a simple polygon $P$ in order for a point to locate itself in the interior. For any point $p \in P$: for each tower $t \in T \cap V(p)$ (where $V(p)$ denotes the visibility polygon of $p$) the point $p$ receives the coordinates of $t$ and the Euclidean distance between $t$ and $p$. From this information $p$ can determine its coordinates. We study the computational complexity of AGL problem. We show that the problem of determining the minimum number of broadcast towers that can localize a point anywhere in a simple polygon $P$ is NP-hard. We show a reduction from Boolean Three Satisfiability problem to our problem and give a proof that the reduction takes polynomial time.
The Parameterized Complexity of Guarding Almost Convex Polygons
美术馆是计算几何中的一个基本可见性问题。输入包括一个简单的多边形P，（可能是无限的）P内的点集G和C，以及一个整数k;任务是决定是否最多k个守卫可以放置在G中的点上，使得C中的每个点至少对一个守卫可见。在Art Gallery的经典公式中，G和C由P内的所有点组成。其他著名的变体限制G和C由P边界上的所有点或P的所有顶点组成。最近，有三个新的重要发现：上面提到的艺术画廊的变体都是关于k的W[1]-硬的[Bonnet和Miltzow，ESA'16]，经典的变体具有O（logk）-近似算法[Bonnet和Miltzow，SoCG'17]，并且它可能需要无理保护[Abrahamsen等人，SoCG'17]。在第三个结果的基础上，经典变体和G仅由P的边界上的所有点组成的情况都被证明是\exists R-完全的[Abrahamsen et al.，STOC'18]。即使当G和C都只由P的边界上的所有点组成时，也不知道问题是NP问题。鉴于第一个发现，Giannopoulos [Lorentz Center Workshop，2016]提出了以下问题：艺术画廊的FPT是否与反射顶点的数量r有关？我们专注于变体，其中G和C是P的所有顶点，称为顶点-顶点艺术画廊。我们证明了顶点-顶点艺术画廊在时间r^{O（r^2）}n^{O（1）}上是可解的。我们的方法还扩展到断言顶点边界艺术画廊和边界顶点艺术画廊…
