差分算子的调和逼近
Harmonic Approximation of Difference Operators
摘要：
对于$\ell^2(\varepsilon\mathbb{Z}^d)$上的一般差分算子$H_\varepsilon = T_\varepsilon + V_\varepsilon$，其中$V_\varepsilon$是多阱势，$\varepsilon$是小参数，我们分析了（低）本征值和本征函数作为$\varepsilon\to 0$的渐近行为.我们证明了$H_\varepsilon$的第一$n$本征值收敛于位于几个井处的$\mathbb{R}^d$上的谐振子直和的第一$n$本征值。我们的证据是微观的。
英文摘要：
For a general class of difference operators $H_\varepsilon = T_\varepsilon + V_\varepsilon$ on $\ell^2(\varepsilon\mathbb{Z}^d)$, where $V_\varepsilon$ is a multi-well potential and $\varepsilon$ is a small parameter, we analyze the asymptotic behavior as $\varepsilon\to 0$ of the (low-lying) eigenvalues and eigenfunctions. We show that the first $n$ eigenvalues of $H_\varepsilon$ converge to the first $n$ eigenvalues of the direct sum of harmonic oscillators on $\mathbb{R}^d$ located at the several wells. Our proof is microlocal.
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