关于基本群的特殊子群
On special subgroups of fundamental group
AI总结：
本文通过引入由特定环道同伦类生成的基本群子群，研究弧连通拓扑空间基本群的精细结构，并证明这些子群可用于区分具有同构基本群的空间。
摘要：
设 $α$ 是一个非零基数，$\mathcal I$ 是弧连通拓扑空间 $X$ 上的一个理想，${\mathfrak P}_{\mathcal I}^α(X)$ 是由 $α\frac{\mathcal I}{}$ 环道的同伦类生成的 $π_1(X)$（$X$ 的第一基本群）的子群。本文的主要目的是研究 ${\mathfrak P}_{\mathcal I}^α(X)$ 并对其进行比较。最受关注的情形是 $α\in\{ω,c\}$ 以及 $\mathcal I\in\{\mathcal P_{fin}(X),\{\varnothing\}\}$，其中 $\mathcal P_{fin}(X)$ 表示 $X$ 的所有有限子集构成的集合。我们用 ${\mathfrak P}^α(X)$ 表示 ${\mathfrak P}_{\{\varnothing\}}^α(X)$。我们证明了以下结论：对于弧连通拓扑空间 $X$ 和 $Y$，如果对所有无穷基数 $α$ 都有 ${\mathfrak P}^α(X)$ 同构于 ${\mathfrak P}^α(Y)$，那么 $π_1(X)$ 同构于 $π_1(Y)$；存在弧连通拓扑空间 $X$ 和 $Y$，使得 $π_1(X)$ 同构于 $π_1(Y)$，但 ${\mathfrak P}^ω(X)$ 不同构于 ${\mathfrak P}^ω(Y)$；对于弧连通拓扑空间 $X$，有 ${\mathfrak P}^ω(X)\subseteq{\mathfrak P}^c(X) \subseteqπ_1(X)$；对于夏威夷耳环 $\mathcal X$，集合 ${\mathfrak P}^ω({\mathcal X})$、${\mathfrak P}^c({\mathcal X})$ 和 $π_1({\mathcal X})$ 两两不同。因此，${\mathfrak P}^α(X)$ 和 ${\mathfrak P}_{\mathcal I}^α(X)$ 将有助于我们对所有具有同构基本群的弧连通拓扑空间进行分类。
英文摘要：
Suppose $α$ is a nonzero cardinal number, $\mathcal I$ is an ideal on arc connected topological space $X$, and ${\mathfrak P}_{\mathcal I}^α(X)$ is the subgroup of $π_1(X)$ (the first fundamental group of $X$) generated by homotopy classes of $α\frac{\mathcal I}{}$loops. The main aim of this text is to study ${\mathfrak P}_{\mathcal I}^α(X)$s and compare them. Most interest is in $α\in\{ω,c\}$ and $\mathcal I\in\{\mathcal P_{fin}(X),\{\varnothing\}\}$, where $\mathcal P_{fin}(X)$ denotes the collection of all finite subsets of $X$. We denote ${\mathfrak P}_{\{\varnothing\}}^α(X)$ with ${\mathfrak P}^α(X)$. We prove the following statements: $\bullet$ for arc connected topological spaces $X$ and $Y$ if ${\mathfrak P}^α(X)$ is isomorphic to ${\mathfrak P}^α(Y)$ for all infinite cardinal number $α$, then $π_1(X)$ is isomorphic to $π_1(Y)$; $\bullet$ there are arc connected topological spaces $X$ and $Y$ such that $π_1(X)$ is isomorphic to $π_1(Y)$ but ${\mathfrak P}^ω(X)$ is not isomorphic to ${\mathfrak P}^ω(Y)$; $\bullet$ for arc connected topological space $X$ we have ${\mathfrak P}^ω(X)\subseteq{\mathfrak P}^c(X) \subseteqπ_1(X)$; $\bullet$ for Hawaiian earring $\mathcal X$, the sets ${\mathfrak P}^ω({\mathcal X})$, ${\mathfrak P}^c({\mathcal X})$, and $π_1({\mathcal X})$ are pairwise distinct. So ${\mathfrak P}^α(X)$s and ${\mathfrak P}_{\mathcal I}^α(X)$s will help us to classify the class of all arc connected topological spaces with isomorphic fundamental groups.
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