PageRank on inhomogeneous random digraphs
我们研究了一个广义版本的谷歌的PageRank算法上的一个大家庭的非齐次随机有向图的典型行为。这个族包括经典模型的特殊情况，如Erdös-Rényi模型，Chung-Lu模型，泊松随机图和广义随机图，并且适合于建模无标度有向复杂网络，其中顶点的邻居数量与其属性有关。特别地，我们证明了随机节点的秩弱收敛于随机不动点方程$$\mathcal{R} \stackrel{\mathcal{D}}{=} \sum_{i=1}^{\mathcal{N}} \mathcal{C}_i \mathcal{R}_i + \mathcal{Q},$$的吸引内生解，其中$(\mathcal{N}, \mathcal{Q}, \{\mathcal{C}_i\}_{i \geq 1})$是一个实值向量，具有$\mathcal{N}\in \{0,1,2,...\}$，$\{ \mathcal{R}_i\}$是i.i.d.~ $\mathcal{R}$拷贝，不依赖于$(\mathcal{N}, \mathcal{Q}, \{\mathcal{C}_i\}_{i \geq 1})$，使用$\{ \mathcal{C}_i\}$ i.i.d.~并且独立于$(\mathcal{N}, \mathcal{Q})$ ; $\stackrel{\mathcal{D}}{=}$表示分布相等。这个结果可以用来进一步证明Pag…
2020-11-11 math.PR
PageRank Asymptotics on Directed Preferential Attachment Networks
我们描述了尾部行为的分布的PageRank的一个统一选择的顶点在有向优先连接图，并表明它衰减的幂律与一个明确的指数，描述的模型参数。有趣的是，这个幂律比极限入度分布的尾部更重，这与普遍接受的{ \em幂律假设}相反。这种与幂律假设的偏离指向偏好连接图中典型顶点的入站邻域与静态随机图模型中的入站邻域之间的结构差异，在静态随机图模型中，幂律假设已被证明成立（例如，有向配置模型和非齐次随机有向图）。除了表征一个典型的顶点的PageRank分布，我们还表征了显式的增长率的PageRank的最老的顶点的网络规模的增长。
2021-10-18 math.PR
Mixing time of PageRank surfers on sparse random digraphs
我们考虑了有向图$G$上的广义PageRank行走，刷新概率为$α$，刷新分布为$λ$ .当$G$是一个具有给定度序列的大型稀疏随机有向图时，在$α$为零的极限下，我们分析了算法的平稳收敛性.我们确定了三种情况：当$α$远小于$G$的混合时间的倒数时，向平衡的弛豫由简单的随机游动支配，并显示截止行为;相反，当$α$远大于$G$的混合时间的倒数时，具有速率为$α$的纯指数衰减;当$α$与$G$的混合时间的倒数相当时，在截止和指数衰减之间存在内插的混合行为。这种剖分被证明在起始点处和在剩余分布$λ$中是一致的。
2021-02-01 math.CO math.PR
A singular perturbation approach for choosing PageRank damping factor
PageRank阻尼因子的选择并不明显。Google选择c=0.85的值是在真实反映Web结构和数值效率之间的折衷。然而，原始Web图上的马尔可夫随机游动并不能反映页面的重要性，因为它吸收了死胡同。因此，阻尼因子不仅需要加速计算，而且还需要建立页面的公平排名。在本文中，我们提出了新的标准，选择阻尼因子的遍历结构的Web图和概率流的基础上。具体来说，我们要求核心组件获得PageRank质量的公平份额。利用奇异扰动方法，我们得出结论，值c=0.85太高，并建议阻尼因子应选择在1/2左右。作为副产品，我们详细描述了Web Graph的OUT组件的遍历结构。我们的分析结果证实了两个大样本的Web图的实验。
2006-12-04 math.PR
A continuum limit for the PageRank algorithm
University of Minnesota（明尼苏达大学）；University of Utah（犹他大学）
半监督和无监督机器学习方法通常依赖于图来建模数据，这促使人们研究如何在学习问题中利用图上运算符的理论属性。虽然大多数现有的文献集中在无向图，但有向图在实践中非常重要，可以为物理，生物或运输网络以及许多其他应用提供模型。在本文中，我们提出了一个新的框架，严格研究连续极限的学习算法上的有向图。我们使用新的框架来研究PageRank算法，并展示它如何可以被解释为一个数值计划的有向图涉及一种类型的规范化图拉普拉斯算子。我们表明，相应的连续极限问题，这是作为网页的数量增长到无穷大，是一个二阶，可能退化，椭圆型方程，其中包含反应，扩散和对流项。我们证明了该数值格式是一致的和稳定的，并计算了离散解到连续极限PDE解的显式收敛速度。我们给出了应用程序来证明PageRank向量的稳定性和渐近正则性。最后，我们用数值实验说明了我们的结果，并探索了数据深度的应用。
2021-01-10 cs.LG cs.NA math.AP
Frustrated Random Walks: A Faster Algorithm to Evaluate Node Distances on Connected and Undirected Graphs
研究人员已经设计了许多算法来测量图节点之间的距离，例如随机游走的平均命中时间，DeepWalk的余弦距离，个性化的PageRank等，尽管这些算法是成功的，但它们仍然表现不佳或太耗时，无法适用于我们在这个大数据时代每天都会遇到的大型图。为了解决这些问题，我们在这里提出了一种更快的算法，该算法基于随机游走的改进版本，可以以十倍以上的加速击败DeepWalk结果。这种显著加速的原因是我们可以推导出一个分析公式来快速计算这种随机游走的预期命中时间。算法中只有一个参数（幂展开阶数），且结果对幂展开阶数的变化具有鲁棒性。因此，我们可以直接找到最优解，而无需微调模型参数。我们的方法可以广泛应用于欺诈检测，定向广告，推荐系统，主题敏感搜索等。
2020-12-01 cs.DM math.CO math.PR
Co-evolving dynamic networks
本文提出由局部根向探索驱动的共同演化树网络模型，刻画边缘与非边缘机制下的度、PageRank、高度及凝聚相变，并发展局部极限与分支随机游走等通用分析技术。
2024-03-01 math.PR
Linking PageRank, Time Reversal, and Policy Evaluation
Inria Sophia Antipolis（法国索菲亚安蒂波利斯国家信息与自动化研究所）；Eindhoven University of Technology（埃因霍温理工大学）
本文通过时间反向马尔可夫链建立策略评估与PageRank的联系，证明折扣因子对应于teleportation参数，奖励诱导重启分布，并推广到任意有限MDP。
2026-09-22 cs.NA math.NA math.OC
Generating simple random graphs with prescribed degree distribution
设$F$是支持非负整数的概率分布。描述并比较了四种生成具有（近似）度分布$F$的简单无向图的方法。两种方法是基于所谓的配置模型与修改，确保一个单图，一种方法是经典的Erdens-Rényi图的扩展，其中的边缘概率是随机变量，最后一种方法开始于一个有向随机图，然后修改为一个简单的无向图。所有的方法都给出了正确的分布在大图的大小的限制，但在不同的假设下的度分布$F$，也使用不同的操作顺序。
2015-09-23 math.PR
Strong Bounds for Evolution in Undirected Graphs
本文研究了Lieberman等人[Nature，433：312-316，2005]提出的广义Moran过程。我们引入参数化的概念，选择性放大器和选择性抑制的进化，即网络（图）与许多“强启动”和许多“弱启动”的突变体，分别。我们首先证明存在强选择性放大器和（相当）强的选择性抑制器。此外，我们为Lieberman等人的固定概率的传统概念提供了强上界和几乎紧的下界（通过证明“热定理”），即假设突变体的随机初始放置。
2018-04-30 cs.DS math.PR
Crossings states and sets of states in Pólya random walks
我们考虑$\mathbb{Z}^2$中的Pólya随机游动。本文建立了一些结果的分布和期望的数量通常（无向）和具体定义的文件向上和向下定向状态交叉和不同的状态交叉。本文最重要的结果之一是对任意状态$\mathbf{n}\in\mathbb{Z}^2\setminus\{\mathbf{0}\}$，无向状态穿越次数$\mathbf{n}$的期望值都等于1.同时，本文的结果也推广到了$d$ -维随机游动，$d\geq2$，在有界区域上.
2022-09-08 math.CO math.PR
Concentration of the Stationary Distribution on General Random Directed Graphs
我们考虑一个随机模型的有向图，其中一个弧被放置从一个顶点到另一个具有规定的概率，可能会有所不同，从弧到弧。本文利用扰动界和Mrsoff不等式，证明了随机图上的马尔可夫过程的平稳分布在较弱的条件下集中在“期望”过程的平稳分布附近.这些条件包括最小和最大的入度和出度之间的比率、平稳分布中最小和最大条目的比率以及转移阵的最小奇异值。最后，我们给出了我们的结果的应用程序的例子，如PageRank和G（n，p）的知名模型。
2013-09-18 math.CO math.PR
Undirected polymers in random environment: path properties in the mean field limit
本文研究了随机环境中的无向聚合物问题，也称为超立方体上的无向首次通过渗流问题。通过多尺度细化的二阶矩方法，我们得到了一个相当精确的几何描述的最佳路径，即具有最小能量的聚合物。出现的情况可以大致概括如下。聚合物的能量在一级近似下沿股线均匀分布。然而，聚合物的键携带比定向设置中更低的能量，并且通过以下几何演变达到。在接近原点时，聚合物以定向的方式进行--因此它尽可能地被拉伸。然而，股线的张力逐渐减小，随着聚合物进入超立方体的核心，允许越来越多的后退。后台阶虽然增加了股线的长度，但允许聚合物连接能量上有利的边缘的储存器，否则在完全定向的状态下是无法实现的。这些储层位于介观距离处，但是由于周围空间的高维性质，聚合物设法通过关于汉明度量的近似测地线将它们连接起来：这是导致最佳能量/熵平衡的关键策略。大约在中途，镜像图像开始出现：聚合物张力逐渐再次建立，直到接近终点时完全定向。作为推论，该方法产生了Martinsson [Ann. Appl. Prob. 26（2016），Ann. Prob. 46（2018）]关于基态主导顺序的结果的建设性证明。
2020-12-07 math-ph math.MP math.PR
Graph reliability evaluation via random $K$-out-of-$N$ systems
该研究将简单连通无向图关联到随机 $K$-out-of-$N$ 系统，以推导图生成过程中边数的递推关系，并通过简单图示例说明边失效下的可靠性评估。
2021-05-06 math.CO math.PR
On the physical relevance of random walks: an example of random walks on a randomly oriented lattice
一般图上的随机游动在理解随机过程的一般理论中起着重要的作用。除了对概率论的基本兴趣之外，它们还作为物理系统的简单模型出现。本文首先对无向图和有向图上的随机游动的概念的物理意义作了一个简单的综述，然后介绍了随机定向格上的随机游动的一些最新结果。值得注意的是，一般无向图与群（不一定是阿贝尔群）相关联，而有向图与$C^*$ -代数（不一定是阿贝尔群）相关联。由于量子力学是用$C^*$ -代数自然地表述的，所以最近量子信息和通信这一新领域的发展激发了定向格上随机游动的研究。
2002-01-15 math-ph math.MP math.OA
Amplifiers and Suppressors of Selection for the Moran Process on Undirected Graphs
我们考虑经典的Moran过程建模遗传突变的传播，Lieberman等人将其扩展到结构化群体。（Nature，2005）。在这个过程中，个体是连通图$G$的顶点。最初，有一个随机均匀选择的突变顶点。在每一步中，选择一个随机顶点进行繁殖，其概率与其适应度成比例：突变体具有适应度$r>1$，而非突变体具有适应度1。被选择用于复制的顶点将其自身的副本放置到$G$中的均匀随机邻居中，以替换存在的个体。当突变达到固定（即，所有顶点都是突变体），或者灭绝。利息的主要数量是两种结果中的每一种发生的概率。一个问题，最近受到了极大的关注，涉及家庭的图，称为强放大器的选择，固定概率趋于1的顺序$n$的图的增加，并存在强抑制剂的选择，这一概率趋于0。对于有向图的情况，已知强放大器和强抑制器都存在。然而，对于无向图的情况，这个问题仍然是开放的，一般认为既不存在强放大器也不存在强抑制器。在本文中，我们反驳这种信念，通过提供第一个这样的图的例子。我们提出的强放大子具有固定概率$1-\tilde O(n^{-1/3})$，强抑制子具有固定概率$\tilde O(n^{-1/4})$。这两个图的构造都非常简单。我们还证明了$1-\tilde Ω(n^{-1/3})$关于任何无向图的固定概率的一般上界。因此，我们的强放大器是存在最优的。
2016-11-05 cs.DM cs.SI math.PR
Threshold Functions in Random s-Intersection Graphs
随机$s$ -交图近年来在广泛的应用领域受到了广泛的关注。在这样的图中，每个顶点以某种随机的方式配备有一组项，并且任何两个顶点之间建立无向边当且仅当它们至少有$s$公共项。特别地，在均匀随机$s$ -交集图中，每个顶点独立地从公共项目池中均匀随机地选择固定数量的项目，而在二项式随机$s$ -交集图中，某些项目池中的每个项目以相同的概率独立地附着到每个顶点。对于二项/均匀随机$s$ -交图，我们建立了完全匹配包含、Hamilton圈包含和$k$ -鲁棒性的阈值函数，其中$k$ -鲁棒性是Zhang和Sundaram [IEEE Conf. on Decision & Control '12]的意义.我们表明，这些阈值函数类似于经典的Erdens-Rényi图，其中每对顶点具有相同概率独立的无向边。
2015-02-02 cs.DM cs.SI math.CO
