Restricted sums of four integral squares
Rainer Schulze-Pillot
我们给一个简单的四元数证明最近的结果Goldmakher和Pollack的限制和四个整数平方。
We give a simple quaternionic proof of a recent result of Goldmakher and Pollack on restricted sums of four integral squares.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On a Conjecture of Sun about sums of restricted squares
在本文中，我们研究了四个平方和的整数的素因子分解是有限的，取得进展的孙猜想，说明两个整数可能被限制为形式$2^a3^b$和$2^c5^d$。我们得到了Gauss和Legendre关于三个平方和的结果的一个无效推广和Lagrange四平方定理的一个有效推广。
Character sums over elements of extensions of finite fields with restricted coordinates
本文研究了有限域扩张元素上具限制坐标的字符和问题，获得了乘性和加性特征和的非平凡界，并特别给出了Cantor集有限域类比上的非平凡估计。
On restricted divisor sums associated to the Chowla-Walum conjecture
我们首先研究的平均值的某些限制因子和涉及的Chowla-Walum和，特别是改进最近的估计Iannucci。本工作的第二部分的目的是推广以前的研究，通过限制范围的研究除数和的除数，扩展Chowla-Walum猜想，证明这个扩展猜想的一小部分，并推广以前在第一部分中得到的渐近公式。
Numbers represented by restricted sums of four squares
本文利用Lipschitz整数环上的四元数算术证明了四元数限制平方和的一些结果。例如，我们证明了每个非负整数$n$都可以写成$x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}$，其中$x,y,z,t$是整数，$x+y+2z+2t$是正方形或立方体。
Restricted divisor functions and half Appell sums in higher-level
本文研究高阶半Appell和相关q-级数系数的值分布，证明其等于限制除数函数且可取任意非负整数，并证实了两个相关猜想。
Recursive formulas for sums of squares and sums of triangular numbers
我们证明了递归公式平方和和三角数的总和的总和的约数函数，我们给这些公式的各种后果。中间应用包括一些无穷乘积的系数的正性的陈述。
Weighted and Restricted Sum Formulas of Euler Sums
本文利用 Euler 和数的正则化双洗牌关系，统一证明了多重 zeta 值的求和公式及其变体，并在附录中以三个表格总结了包括新公式在内的多种结果。
Sums of Kloosterman sums over square-free and smooth integers
本文受近期关于 Kloosterman 和的双线性型及扭曲和的研究启发，研究了由无平方因子整数和光滑整数参数化的 Kloosterman 和之和的若干新问题。
Sums of Consecutive Prime Squares
我们证明了明确的界限，连续素数平方和低于一个给定的幅度。
The Sums of Two Squares do not have Metric Poissonian Pair Correlation
证明了两个平方和序列不具有度量泊松对相关。
Restricted Sum Formula of Alternating Euler Sums
本文研究了包含交错Euler和的限制和公式，其中交错Euler和定义为ε（s_1，…，s_{d} ;ε_1，.，ε_d）= \sum_{n_1>...>n_d\ge 1} \frac{ε_1^{n_1}... ε_{d}^{n_d}}{n_1^{s_1}... n_d^{s_d}}，对于所有正整数s_1，.，s_{d}且ε_1= \pm 1，.，ε_{d}= \pm 1且（s_1，ε_1）不等于（1，1）.我们称w=s_1+.+ s_{d}表示重量，d表示深度。当ε_j=-1时，我们说第j个分量是交替的。我们首先考虑以下特殊类型的欧拉和：（2s_1，...，2 s_{d}）= n（2s_1，.，2 s_{d} ;（-1）^{s_1}，.，(-1)^{ s_{d} }）。对于d \le n，设k（2n，d）是所有k（2s_1，.，2 s_{d}）的固定重量2n和深度d。本文利用Hoffman最近建立的对称函数理论，导出了一个关于n（2n，d）的公式.我们还考虑了具有固定权2n、深度d和偶数变元交错分量数α的Euler和的限制和公式。当α=1或α=d时，我们可以精确地确定限制和公式.对于其他α，我们只完全处理d<5的情况，因为当α接近d/2时，对称函数理论变得越来越难以处理。
Restricted sumsets in multiplicative subgroups
本文研究了有限域上乘法子群及整数完美幂中的受限和集，扩展了Shkredov的结果，并提出了一个受限和集的van Lint-MacWilliams猜想的类比。
Sums of Squares Bijective Parameter Representation
我们给出了一个双射参数表示的平方和的数字等于另一个平方和的数字。
Restricted mean value theorems and metric theory of restricted Weyl sums
本文研究了一个新的问题，即在$\mathcal{X}$上具有自然测度$μ$的子集$\mathcal{X}\subseteq [0,1)^d$上的Weyl和的行为.对于某些测度空间$(\mathcal{X}, μ)$，我们得到了Weyl和均值的非平凡界，并且对于$μ$ -几乎$\mathcal{X}$的所有点，Weyl和满足平方根消去律.此外，我们还利用豪斯多夫维数讨论了例外集的大小.最后，我们得到的维诺格拉多夫中值定理的变种测度空间$(\mathcal{X}, μ)$。我们得到了一般的结果，我们改进了一些特殊的空间$\mathcal{X}$，如球，矩曲线和线段。
On Bourgain's bound for short exponential sums and squarefree numbers
我们使用Bourgain最近的短指数和的界来证明与无平方数的分布在等差数列中的某些独立性结果。
Perfect powers that are sums of consecutive squares
我们确定所有可以写成最多10个连续平方和的完美幂。
Sums of four generalized polygonal numbers of almost prime length
研究四类受限质数因子数的广义多边形数之和，证明大数可表示为此类和，参数限制最多988个质因子。
A double-sum analogue of Whipple's summation formula and a restricted sum formula for multiple binomial sums
该研究证明了Whipple的{}_3F_2求和公式的双重和模拟式，并将其应用得到Igarashi参数化多重zeta级数特殊情形下多重二项和的受限求和公式
Binary forms as sums of two squares and Châtelet surfaces
讨论了整数二元形式表示为两个平方和的问题，并应用于建立某些定义在有理数上的Châtelet曲面的Manin猜想。
On supercongruences for truncated sums of squares of basic hypergeometric series
无穷级数的截断和的同余式并不直接推广到这些无穷级数的截断高次幂和的同余式。Guo和Zudilin最近建立了一类基本超几何级数截断和的超同余。在本文中，我们将其中的一些超同余推广到相应级数的截断平方和。
On squares of sums of three cubes
我们证明，几乎每个正整数都可以表示为四个整数的平方和，这些整数表示为三个正立方体的和。
Sums of Two Squares Visualized
我们提供了一个几何解释Brillhart的著名算法表示一个总理$p\equiv 1\pmod 4$作为两个平方和。
Sums of squares in real quadratic fields and Hilbert modular groups
利用实二次域的Hilbert-Maass型的谱理论，得到了整数环中涉及两个平方和表示数的和的渐近性.
Sums of Quaternion Squares and a Theorem of Watson
利用G. L.沃森检查平方和四元数环的整数系数。这使我们能够确定一个大的家庭这样的环，其中每个元素表示为平方和可以写为3平方和。
Pairs of diagonal quadratic forms and linear correlations among sums of two squares
对于合适的对角二次型在8个变量，我们使用圆的方法来调查密度的同时整数解，并与此有关的问题估计两个平方和之间的线性相关。
Two Restricted ABC Conjectures
Ellenberg证明，ABC猜想将遵循如果这一猜想是已知的总和$a+b=c$，使$D\mid abc$的一些整数~ $D$。望月证明了一个定理与一个相反的限制，即完整的abc猜想将遵循，如果它是已知的abc和是不是高度整除。我们证明了这两个定理一般数域。
Sums of two squares in short intervals
我们发现，有短的时间间隔$[x,x+y]$包含$\gg y^{1/10}$数表示为两个平方和，这是远远超过平均时，$y=o( (\log{x})^{5/9})$。对于短等差数列中的两个平方和，我们也得到了类似的结果。
On certain bilinear sums with modular square roots and applications
扩展了Dunn等人关于模平方根加法能量的界，并将结果应用于带模平方根的双线性指数和，在平方模大筛法上取得部分进展。
On the mean square of short exponential sums related to cusp forms
本文的目的是估计全纯尖点形式的傅里叶系数平方根长度指数和的均方。
On bilinear sums with modular square roots and applications III
本文改进了之前方法，针对素数平方模，通过限制二次高斯和到简化剩余类，实现显著消去，提升双线性和的分析。
On a conjecture for representations of integers as sums of squares and double shuffle relations
本文证明了Chan和Chua关于整数表示为8s整平方和的个数的一个猜想。证明使用了Imamoglu和Kohnen的一个定理，以及2级的二重爱森斯坦级数所满足的二重洗牌关系。
Finiteness theorems for universal sums of squares of almost primes
在本文中，我们研究二次型是普遍的，当限制到几乎素输入，建立有限性定理类似的康威-Schneeberger 15定理。
Sums of squares in Quaternion rings
拉格朗日四平方定理指出，任何正整数都可以表示为四个整数的平方和。我们研究了四元数环上的类似问题，重点是整数系数四元数环元素的平方。确定了无穷多个四元数环的最小必要平方数，并给出了其整体上界和下界。
Lemke Oliver and Soundararajan bias for consecutive sums of two squares
在最近的一项令人惊讶的工作中，Lemke Oliver和Soundararajan注意到实验数据如何在等差数列中表现出连续素数对的不稳定分布，并提出了一个启发式模型，该模型基于包含大的第二项的Hardy-Littlewood模型，该模型非常适合数据。本文研究了等差数列中的连续对平方和，并基于Hardy-Littlewood猜想建立了一个类似的启发式模型，这也解释了实验数据中的偏差。在这个过程中，我们证明了几个结果有关的平均值的Hardy-Littlewood常数的上下文中的两个平方和。
On bilinear sums with modular square roots and applications II
本文进一步研究了带有模平方根的双线性和和加性能量，改进了变量范围较大时的结果，并在平方模数的大筛理论中取得进展。
Partitions into Sums of Two Squares
本研究通过圆法变体结合鞍点法，解决了两平方和整数分拆数的渐近公式问题，突破了以往受限分拆研究局限，首次处理了带分数奇点的狄利克雷级数
Sums of squares of $|ζ(1/2+it)|$ over short intervals
研究了短区间上$|ζ(1/2+it)|$的平方和。已知的上界的四阶和十二阶矩的$|ζ(1/2+it)|$推导。讨论了估计$|ζ(1/2+it)|$的高次幂矩的其他可能性。
Zero sums in restricted sequences
如果存在$\bfx=(x_1,\ldots,x_m)$使得\textit{$A$-weighted Davenport Z-sequence}.这里是$\bfzero_m=(0,\ldots,0)\in\Z_n^m$。类似地，如果存在具有$|Supp(\bfa)|=n$的$\bfa:=(a_1,\ldots,a_m)\in (A\cup\{0\})^m\setminus\{\bfzero_m\}$，则序列$\bfx$被称为\textit{$A$-weighted Erdős Z-sequence}，使得$\sum_i a_ix_i=0$，其中$Supp(\bfa):=\{i: a_i\ne 0\}$。如果没有$\Z_n$的元素在$\bfx$中出现超过$k$次，则将$\Z_n$序列$\bfx$称为$k$限制的.本文研究了长度为$m$的$k$ -限制$\Z_n$ -序列是$A$ -加权Davenport Z-序列时，$m$的最小值的确定问题。$A$加权的Erdibs Z序列）。我们也考虑同样的问题，随机$\Z_n$序列，为某些非常自然的选择$A$。
Sums of primes and squares of primes in short intervals
令$\mathbf H_2$表示偶数集合$n \not\equiv 1 \pmod 3$。我们证明了当$H \ge X^{0.33}$，几乎所有的整数$n \in \mathbf H_2$，$X < n \le X + H$都可以表示为一个素数与一个素数的平方之和.我们也证明了一个类似的结果，三个平方和的素数。
Finite sequences of integers expressible as sums of two squares
本文构造了无穷多组满足特定间隔条件的整数序列，使其各项均可表示为两个非零整数平方和，并给出连续三项、四项、五项及公差为4的五项算术级数等参数化结果。
Ternary Sums of Squares and Triangular Numbers
对于任何整数$x$，令$T_x$表示三角数$\frac{x(x+1)}{2}$。本文给出了三进制和$αx^2 +βT_y + γT_z$表示除1/2个正整数以外的所有正整数三元组$(α, β, γ)$的一个完全刻划。这解决了Kane和Sun的一个猜想\cite [猜想1.19（i）]{KS 08}，并完成了几乎泛三元混合平方和和三角数的刻画.
Universal Sums of Triangular Numbers and Squares
本文研究三角数与平方数的泛性和问题，证明其泛性等价于能表示一组给定的正整数。
On sums of squares of primes II
在本文中，我们继续我们的研究，开始在第一部分，例外的一组整数，不受限制的基本同余条件，这不能表示为总和的三个或四个平方的素数。我们在第一篇论文中纠正了一个严重的疏忽，但在所需的指数和估计方面取得了进一步的进展，同时对以前采用的筛分技术进行了修饰。这导致我们的边界的最大尺寸的例外集的改进。
On solving a restricted linear congruence using generalized Ramanujan sums
考虑$b,n\in\mathbb{Z}$的一次同余方程方程$x_1+\ldots+x_k \equiv b\,(\text{mod } n)$。$(a,b)_s$是指同时划分$a$和$b$的最大的$l^s\in\mathbb{N}$。对于每个$d_j|n$，定义$\mathcal{C}_{j,s} = \{1\leq x\leq n^s | (x,n^s)_s = d^s_j\}$。Bibak等人用Ramanujan和给出了上述同余方程在$x_i$上的一些gcd限制下的解的个数的公式。我们推广了他们的结果，在$x_i$上引入了广义gcd限制，证明了对于上述一次同余方程，解的个数为$$\frac{1}{n^s}\sum\limits_{d|n}c_{d,s}(b)\prod\limits_{j=1}^{τ(n)}\left(c_{\frac{n}{d_j},s}(\frac{n^s}{d^s})\right)^{g_j}$$，其中$g_j = |\{x_1,\ldots, x_k\}\cap \mathcal{C}_{j,s}|$对$j=1,\ldots τ(n)$，$c_{d,s}$表示E.科恩
On restricted averages of Dedekind sums
本文研究固定$α\leq 1/2$时特定有理数集合上Dedekind和的平均值，将先前$α=1/2$的渐近结果扩展至所有固定有理数及几乎所有无理数$α$，并量化了by-excess Euclidean算法运行时间渐近式第二项的偏差。
Arithmetic functions commutable with sums of squares
本文刻画了所有函数$f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}$使得$f(x_1^2+ \cdots + x_k^2)=f(x_1)^2+ \cdots + f(x_k)^2$，其中$k \geq 3$和$x_1, \cdots, x_k$是正整数.
Mean square estimate for relatively short exponential sums involving Fourier coefficients of cusp forms
我们估计一个短的指数和涉及傅里叶系数的尖点形式的线性扭曲，光滑的权函数，和一个相对较短的平均间隔的均方。
On sums of three squares
令$r_3(n)$为正整数$n$表示为三个整数平方和的数目。本文给出了Wagon关于$r_3(n)$均方渐近值的一个猜想的两种不同的证明。
Representing multiples of $m$ in real quadratic fields as sums of squares
研究了实二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{D})$，使得对给定的有理整数$m$，所有$m$ -全正整数的倍数都是平方和.我们证明了相当尖锐的充要条件，这发生。此外，我们给出了一个快速的算法，解决了这个问题的具体$m$，$D$，我们给$m \leq 5000$完整的结果。
Ternary codes associated with symplectic groups and power moments of Kloosterman sums with square arguments
本文构造了与辛群Sp（2，q）和Sp（4，q）相关的两个三元线性码.这里q是3的幂。在此基础上，我们得到了具有平方变元的Kloosterman和的幂次矩和它们的偶次幂次矩关于码中权的频率的递推公式。这是通过Pless幂矩恒等式和利用辛群Sp（2n，q）的“高斯和”的显式表达式来完成的。
Sums of integers and sums of their squares
假设一个正整数$n$被写为$m$整数的平方和。关于这些$m$整数之和本身的值$T$，我们能说些什么呢？如果把$n$的所有可能表示都看作是$m$整数的平方和，那么可以得到哪个$T$？Goldmakher和Pollack用$\mathscr{S}_m(n)$表示所有可能的$T$的集合，并使用初等参数给出了$\mathscr{S}_4(n)$的简单特征。他们的结果可以重新解释的莫德尔的理论表示的二元整二次型的平方和积分线性型。基于这种方法，我们的特点$\mathscr{S}_m(n)$的所有$m\leq 11$，并提供了一些部分结果，任意$m$。我们还展示了如何莫德尔的结果可以用来研究原来的问题，其中整数的总和是由这些整数的线性型取代的变化。这样，我们恢复和推广了Z.W. Sun et. al..
Perfect powers that are sums of squares in a three term arithmetic progression
我们确定原始解决方案的方程$(x-r)^2 + x^2 + (x+r)^2 = y^n$的$1 \le r \le 5,000$，利用因式分解的参数和原始因子定理，由于Bilu，Hanrot和Albertier。
Sums of squares of integers except for a fixed one
本文研究除固定整数外的整数平方和问题，对任意非负整数$n$找到了能表示所有相关正整数的最小平方数数量，推广了Dubouis在$n=0$时的结果。
Weyl sums over integers with digital restrictions
本文给出了二进制数和固定或受某种同余条件限制的整数上的Weyl和的估计。在我们的证明中，我们使用的思想可以追溯到Banks，Conflitti和第一作者（2002）的一篇论文。此外，我们应用了Bourgain，Demeter和Guth（2016）以及Wooley（2016，2019）建立的Vinogradov中值定理的“主要猜想”。我们使用我们的结果给出的点集的差异，定义的多项式的值在参数有二进制数字的总和以不同的方式限制的估计。
The mean square of real character sums
在本文中，我们评估的形式$\displaystyle \sideset{}{^*}\sum_{d \leq X}\left(\sum_{n \leq Y} \left(\frac{8d}{n} \right ) \right)^2$，其中$\left ( \frac{8d}{\cdot} \right )$是克罗内克符号和$\sideset{}{^*}\sum$表示正奇平方的和。
The difference of the sums of odd and even parts of restricted partitions
本文推导了在部分不重复的限制条件下，分拆的奇部和与偶部和之差的生成函数，并给出了模4的同余式。
Sums of four squareful numbers
我们找到了一个渐近公式的本原向量$(z_1,\ldots,z_4)\in (\mathbb{Z}_{\neq 0})^4$的数量，使$z_1,\ldots, z_4$都是平方的，并有界的$B$，和$z_1+\cdots + z_4 = 0$。我们的结果与Pieropan，Smeets，Tanimoto和Várilly-Alvarado的Campana-Manin猜想一致.
Sums of squares of k-term forms
本文研究至多k项的n元d次形式的平方和锥，证明其随k严格嵌套，并构造了具有特定项数的不定不可约形式。
Square-root cancellation for sums of coefficients of $\operatorname{GL}(m)$-automorphic forms over values of random polynomials
本文证明了对任意 $m\geq 2$ 和 $d\geq 1$，$\mathrm{GL}(m)$-自守形式的傅里叶系数在随机 $d$ 次多项式值上的平均和具有平方根抵消。
Intervals between numbers that are sums of two squares
在本文中，我们改进的矩估计的差距，可以表示为两个整数的平方和的数字。本文考虑一类Bessel函数和，证明了其加权均值的上界.该界限提供了所有$γ\leq 2$的间隙的$γ$阶矩的估计。
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