The multiplicity-one theorem for the superspeciality of hyperelliptic curves
本文通过Lauricella系统类型D推广了超特殊性同时方程的多重性一定理，适用于任意亏格的超椭圆曲线。
2025-12-12 math.AG
Enumeration Algorithm for Genus-4 Superspecial Hyperelliptic Curves with Automorphism Group $Q_8$
本文提出枚举自同构群为四元数群 $Q_8$ 的亏格 4 超特殊超椭圆曲线的算法，并通过 Magma 实现得到特征 $p<10000$ 下的同构类数量，进而提出关于同构类个数与 $p$ 模 8 关系的猜想。
2025-05-03 math.AG
Superspecial trigonal curves of genus $5$
本文给出了有限域上亏格为$5$的超特殊三角曲线的计数算法。在一个计算机代数系统Magma上执行该算法，我们在有限域$\mathbb{F}_{p^a}$上对任意自然数$a$，如果$p \leq 7$，对奇数$a$，如果$p \leq 13$进行了枚举.
2018-04-30 math.AG math.NT
A note on certain superspecial and maximal curves of genus $5$
本文刻画了有限域上亏格$5$的极大超特殊曲线.证明了$x y z^3 + x^5 + y^5 = 0$的去奇异化$T_p$是亏格$5$的极大超特殊三角曲线当且仅当$p \equiv -1 \pmod{15}$或$p \equiv 11 \pmod{15}$ .此外，我们给出了更一般类型的极大曲线族，其中包括$T_p$。
2019-06-23 math.AG math.NT
Computing superspecial hyperelliptic curves of genus 4 with automorphism group properly containing the Klein 4-group
本文提出算法，在Magma上枚举或寻找自同构群真包含Klein 4群的亏格4超特殊超椭圆曲线，成功枚举了$19 \leq p < 500$的所有曲线，并为$19 \leq p < 7000$的每个$p$找到一条。
2023-12-28 cs.SC math.AG math.NT
On superspecial hyperelliptic curves of genus 5 whose automorphism groups contain $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3$
Graduate School of Information Science and Technology, The University of Tokyo（东京大学信息理工学研究科）；Fukuoka Institute of Technology（福冈工业大学）
本文提出一种算法，用于枚举 genus 5 超特殊双曲曲线，其自同构群包含$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3$，并在特征 11 < p < 1000 的情况下成功实现。
2026-03-23 math.AG math.NT
On the existence of superspecial nonhyperelliptic curves of genus $4$
特征为$p > 0$的理想域$K$上的一条曲线称为超特殊曲线，如果它的雅可比行列式同构于代数闭包$\overline{K}$上的超奇异椭圆曲线的乘积。近年来，在小特征数下，对有限域上亏格为$4$的超特殊非超椭圆曲线的同构类进行了研究。特别地，证明了特征$p = 7$中不存在亏格$4$的超特殊曲线.本文对无穷多个素数$p$给出了亏格为$4$的超特殊非超椭圆曲线存在性的初等证明。具体地说，我们证明了在具有$p > 2$的射影$3$ -空间中簇$C_p : x^3+y^3+w^3= 2 y w + z^2 = 0$是亏格$4$的超特殊曲线当且仅当$p \equiv 2 \pmod{3}$ .我们的计算结果表明，$C_p$与$p \equiv 2 \pmod 3$是最大的曲线在$\mathbb{F}_{p^2}$对所有$3 \leq p \leq 269$。
2019-06-23 math.AG math.NT
Counting Richelot isogenies between superspecial abelian surfaces
Castryck，Decru和Smith利用超特殊的亏格2曲线及其Richelot等距图作为亏格2等距密码的基础，最近Costello和Smith设计了一种改进的亏格2等距寻路算法。为了给密码学的构造和分析奠定坚实的基础，我们利用有限域上亏格为2的曲线的{\em对合约化自同构}给出了{\em分解Richelot同构}的一个新的特征，并明确地计算了{ \em superspecial}主极化交换曲面之间的分解（和未分解）Richelot同构.作为推论，我们给出了Castryck等文中定理2的另一个代数几何证明。
2020-09-19 cs.CR math.AG
Generalized Howe curves of genus 4, 5, and 6 with completely decomposable Jacobians
本文通过限制在雅可比簇分解为四个椭圆曲线乘积的Howe曲线上，将超特殊曲线的存在性问题简化为椭圆曲线的超奇异性问题，从而更高效地构造了4次超特殊曲线，并推广到5次和6次曲线。
2026-11-03 math.AG math.NT
Algorithm to enumerate superspecial Howe curves of genus $4$
Howe曲线是作为两条椭圆曲线的$\mathbf{P}^1$上的纤维积而获得的亏格$4$的曲线。任何Howe曲线都是正则的。本文给出了一个求超特殊Howe曲线及其同构类的有效算法。本文不仅讨论了Howe曲线的超特殊性的判定算法，而且还讨论了Howe曲线的同构判定算法。我们的算法是更有效的比传统的作者提出的一般典型曲线到目前为止。通过在计算机代数系统Magma上执行我们的算法，证明了特征$7<p\le 331$中超特殊Howe曲线的存在性，并列举了特征$p\le 53$中超特殊Howe曲线的同构类.
2020-03-09 cs.SC math.AG math.NT
Algorithms to enumerate superspecial Howe curves of genus 4
Howe曲线是亏格$4$的曲线，作为$\mathbf{P}^1$的两个亏格-$1$双覆盖的纤维积获得。本文给出了Howe曲线同构的一个简单算法，并提出了两种主要的Howe曲线的寻找和计数算法：一种涉及求解由Cartier-Manin矩阵得到的多元方程组，另一种利用亏格$2$的曲线的Richelot同构.通过对两种算法的实现和复杂度分析，我们得出结论，后者更有效地枚举曲线。利用这些算法，我们证明了对于每个具有$7 < p < 20000$的素数$p$，特征$p$中存在亏格$4$的超特殊曲线.
2020-08-02 math.AG math.NT
Efficient search for superspecial hyperelliptic curves of genus four with automorphism group containing $\mathbb{Z}_6$
在算术和代数几何中，superspecial（s.sp.）曲线是密码学和编码理论中最重要的研究对象之一。如果是$g \geq 4$，则甚至不知道在一般特征$p > 0$中是否存在这样一条属$g$的曲线，而在$g=4$的情况下，已经提出了几种搜索这些曲线的计算方法。在亏格- $4$超椭圆的情况下，Kudo-Harashita提出了一个通用算法来枚举所有的s.sp.。曲线，最近Ohashi-Kudo-Harashita提出了一个算法，具体的情况下，自同构群包含克莱因4-群。本文提出了一个理论上复杂度为$\tilde{O}(p^4)$，实际上复杂度为$\tilde{O}(p^3)$的算法来计数s.sp.亏格为4的超椭圆曲线，其自同构群包含$6$阶循环群。通过在Magma上执行该算法，我们列举了$p$到$1000$的那些曲线。我们还成功地找到了一种S.sp.。在每个具有$p \equiv 2 \pmod{3}$的$p$中亏格$4$的超椭圆曲线。作为理论结果，在附录中我们用自同构群对亏格$4$的超椭圆曲线进行了分类。
2022-10-26 math.AG math.NT
Algorithmic study of superspecial hyperelliptic curves over finite fields
本文提出了研究超特殊超椭圆曲线的算法方法。本文提出的算法是：一个计算有限域上亏格为$\mathbb{F}_q$的超特殊超椭圆曲线的算法，以及一个计算有限域上（不一定是超特殊）超椭圆曲线的自同构群的算法。第一种算法适用于任何$(g,q)$，使得$q$和$2g+2$互质且$q>2g+1$。作为应用，我们在计算机代数系统Magma上实现了亏格为$g=4$的超特殊超椭圆曲线在$\mathbb{F}_{p}$上对$11 \leq p \leq 23$和在$\mathbb{F}_{p^2}$上对$11 \leq p \leq 19$的计算.此外，我们发现了最大的超椭圆曲线和最小的超椭圆曲线在$\mathbb{F}_{p^2}$从列举的超特殊。第二个算法计算一个自同构作为一个具体的元素（的商）的线性组在一般线性组的程度$2$。
2019-07-01 math.AG math.NT
Counting isomorphism classes of superspecial curves
一条超特殊曲线是一个正特征域上的（非奇异）曲线，其雅可比簇同构于代数闭包上的超奇椭圆曲线的乘积。已知在代数闭域上，对于给定的亏格和特征线，直到同构为止，只存在100多条超特殊曲线。本文对超特殊曲线同构类的计数结果作了简要的综述。特别地，本文总结了作者和S.原下我们还调查了与Harashita和E. W. Howe，关于亏格为4的某类非超椭圆曲线中超特殊曲线的计数。
2021-10-01 math.AG math.NT
On the maximality of hyperelliptic Howe curves of genus 3
本文研究正特征亏格为3的超椭圆$p \geq 3$的Howe曲线$C$.我们将证明，如果$C$是超特殊的，那么它的标准式是最大或最小的$\mathbb{F}_{p^2}$上没有采取其$\mathbb{F}_{p^2}$ -形式。
2022-01-31 math.AG
On superspecial hyperelliptic curves of Rosenhain forms
本文研究特征p≥3的代数闭域上超特殊超椭圆曲线的Rosenhain形式，证明其参数满足平方条件，并提出一种枚举小特征下此类曲线的新算法，成功计算了低亏格曲线的同构类数量。
2026-06-09 math.AG math.NT
On the maximality of genus-3 nonhyperelliptic curves of Ciani type
本文研究了正特性$p \geq 3$的Ciani曲线$C: x^4 + y^4 + z^4 + rx^2y^2 + sy^2z^2 + tz^2x^2 = 0$.我们将证明，如果$C$是超特殊的，那么它的标准式是最大或最小的$\mathbb{F}_{p^2}$，而不采取其$\mathbb{F}_{p^2}$ -形式。
2022-01-31 math.AG
The modulo eight behavior of common factors of two hypergeometric polynomials arising from a genus three heperelliptic family
Graduate School of Information Science and Technology, The University of Osaka（大阪大学信息科学技术研究生院）
研究奇特征代数闭域上单参数亏格为三超椭圆曲线族，将超特殊性质转化为超几何多项式消失，证明其首一最大公因式无平方因子且不可约因子次数至多为二，确定其模八特征下的行为。
2026-07-22 math.AG
Enumerative geometry of plane curves of low genus
我们收集了各种已知的结果（关于平面曲线和稳定映射的模空间），导出了新的递归公式，列举了具有各种行为的任何次数的低亏格平面曲线。给出了有理平面曲线、椭圆平面曲线和具有固定复结构的椭圆平面曲线示性数的递推公式。还给出了具有各种“余维1”行为（尖点、三角点、三尖点等）的椭圆（和有理）平面曲线的数目的递归。以及塞维里变种的几何和算术部分属）。对于亏格2和亏格3的平面曲线，我们也计算后者的数。我们依靠Caporaso，Diaz，Getzler，Harris，Ran的结果，特别是Pandharipande。
1998-03-02 math.AG
Enumerating log rational curves on some toric varieties
Washington University in St. Louis（华盛顿大学圣路易斯分校）；Tulane University（杜兰大学）
本文通过模空间上的相交理论计算，完全确定了射影丛X=P_{P^r}(O^s+O(-a))上的亏格0、固定域对数Gromov-Witten不变量，证实了Cela-Iribar López的一个猜想，并否证了关于P^r在r个点处爆破的另一个猜想。
2026-06-07 math.AG
Enumerating places of $\mathbf P^1$ up to automorphisms of $\mathbf P^1$ in quasilinear time
本研究提出两种相互依赖的拟线性时间算法，分别枚举有限域上射影直线n次位模PGL₂(k)作用的轨道与n次有效除子的轨道代表元，并基于后者在Magma中实现亏格2-4超椭圆曲线的快速计算，性能显著优于现有方法。
2025-10-21 math.AG math.NT
Some explicit arithmetic on curves of genus three and their applications
本文发展了亏格3曲线的显式算术，提出了计算分解Richelot同源余域的算法及Howe曲线定义方程的显式公式，并据此构建了枚举超特殊Howe曲线的高效算法。
2024-07-29 cs.SC math.AG math.NT
Decomposed Richelot isogenies of Jacobian varieties of hyperelliptic curves and generalized Howe curves
本文研究任意亏格超椭圆曲线 Jacobian 簇间的分解 Richelot 同源，给出其刻画，定义广义 Howe 曲线并证明相关关系定理，还提供亏格 5 与 4 的新例子。
2023-08-21 cs.CR math.AG
Enumerating pencils with moving ramification on curves
我们考虑的一般问题，枚举分支覆盖的射影线从一个固定的一般曲线的分歧条件，在可能的移动点。我们的主要计算是在亏格1;极限线性级数理论允许一个减少到这种情况。本文首先得到了一个简单的公式，用于计算固定的椭圆曲线E上铅笔的加权计数，其中允许有基点。然后，我们使用包含-排除过程，推导出具有移动分歧条件的映射E->P^1的个数的公式。一个引人注目的结果是在一定的对合下这些计数的不变性。我们的结果推广了Harris，Logan，Osserman和Farkas-Moschetti-Naranjo-Pirola的工作。
2020-11-10 math.AG math.CO
A Gross-Zagier formula for quaternion algebras over totally real fields
我们证明了Gross和Zagier关于奇异模差因式分解定理的高维推广。给出了椭圆曲线与两个不同的虚二次域$K$和$K^\prime$的复乘的同构数的计数公式，证明了这一结果.等价地，Gross-Zagier公式计算虚二次域的整数环在$B_{p, \infty}$中的最优嵌入，$B_{p, \infty}$是$\QQ$上的定四元数代数，仅在$p$和无穷远处分支。本文给出了严格类数为1的全实数域上的定四元数代数中本原CM域的整数环同时嵌入超特殊阶的个数的一个类似的计数公式。我们的结果也可以看作是不同域上具有CM的阿贝尔簇之间模$\frak{p} | p$同构个数的一个计数公式。我们的计数公式也可以用来确定哪些超特殊素数出现在与两个不同CM域相关联的CM点上的Siegel模函数的值的差的因式分解中，并给出这些超奇异素数可能出现的界。在亏格2曲线的雅可比行列式的特殊情况下，这提供了关于Igusa不变量的分子的因子分解的信息，因此也与构造用于密码学的亏格2曲线的问题有关。
2011-12-09 math.AG math.NT
Explicit construction of a plane sextic model for genus-five Howe curves, II
本文构造了属五非超椭圆 Howe 曲线的显式平面六次模型，确定其奇点一般为四个二重点，并结合已有结果证明存在具有不同二重点数的曲线族。
2024-01-01 math.AG math.NT
The Number of Curves of Genus 2 with a Given Refined Humbert Invariant
Queen’s University（女王大学）；ENS de Lyon（里昂师范学院）
本文针对雅可比簇与复乘法椭圆曲线自乘积同源的亏格2曲线，给出了具有等价精细Humbert不变量的同构类数量的显式公式，还建立了相关刻画并给出示例。
2026-08-26 math.AG math.NT
Enumerating Cuspidal Curves on Toric Surfaces
枚举代数几何处理的问题计数几何对象定义代数，一类重要的枚举问题是计数曲线：给定一类由固定一些代数或几何不变量定义的射影簇中的曲线（例如奇点的度、亏格和类型），该问题通常采取“在一般位置上有多少该类别的曲线通过n个点的配置”的形式。热带几何处理某些分段线性复形，这些复形是由复代数簇族的退化而产生的，也可以用“最大加”代数（热带半域）来描述。本文所解决的问题是复曲面上具有一个尖点和一定节点数的有理曲线的计数问题，这些曲线在一般位置上通过一个充分点的构形。我们表明，这个数字等于某些热带曲线计数的多重性，我们描述这些曲线和他们的多重性。主要的工具是热带化和拼凑。在热带化中，我们从一个等奇异曲线族过渡到一个特殊的极限纤维，它可以用热带数据和分析数据来描述。然后，我们对这些可能的极限进行分类，并使用拼接定理来重建与之对应的族。
2019-03-04 math.AG
A Generalized RSK for Enumerating Linear Series on $n$-pointed Curves
本文以推广 RSK 的 Young 表与多元序列双射，组合证明并解释了 $n$-标记曲线在指定入射条件下线性级数计数为 $(r+1)^g$（及 $r=1$ 重合点情形为 $2^g$）的几何结果。
2025-03-14 math.AG math.CO
The relative class number one problem for function fields, III
本文完成了有限域上曲线函数域相对类数一问题的求解，通过Brill--Noether分层枚举亏格6或7的曲线，并验证三个域存在平凡相对类群的二次扩张。
2023-12-29 math.AG math.NT
