Betti Numbers and Formal Local Cohomology Modules
本文研究诺特局部环上有限生成模的Betti数与形式局部上同调模的关系，建立了消失与深度的联系，推广经典结果，并应用于Cohen-Macaulay环。
2025-08-07 math.AC
A Structure Theorem and the Graded Betti Numbers for Almost Complete Intersections
给出了任意Noether局部环中深度为3的几乎完全交理想的结构定理。特别地，我们发现最小生成元是交错矩阵的适当子矩阵的乘积。利用上述结果的分次形式，刻画了P^r的所有3-余维几乎完全交格式的分次贝蒂数.
2010-02-16 math.AC math.AG
Classifying Betti Numbers of Fiber Products
针对固定剩余域上某些无法用既有自由分解方法极小分解的完备局部 Noether 代数纤维积，本文改进 Geller 方法以恢复其 Betti 数与 Poincaré 级数。
2023-07-11 math.AC
Betti numbers under small perturbations
研究了局部环中理想的贝蒂数在小扰动下的变化.给定$p\in\mathbb N$和Noether局部环$(R,\mathfrak m)$的理想$I$，我们的主要结果是：存在$N>0$使得如果$J$是一个理想，它具有$I\equiv J\bmod \mathfrak m^N$和与$I$相同的Hilbert函数，则对于$0\le i\le p$，贝蒂数$β_i^R(R/I)$和$β_i^R(R/J)$重合.此外，我们提出了几种情况下，一个理想的$J$，$I \equiv J \bmod \mathfrak m^N$被迫具有相同的希尔伯特函数$I$，因此相同的贝蒂数。
2021-04-12 math.AC
The eventual shape of Betti tables of powers of ideals
设$G$是交换环$A$上的可分次生成阿贝尔群，$S = A[x_1, ..., x_n]$是交换环上的$G$ -分次多项式环.设$I_1, ..., I_s$是$S$中的$G$ -齐次理想，$M$是一个可生成的$G$ -分次$S$ -模.证明了当$A$是Noether时，$MI_1^{t_1} ... I_s^{t_s}$的非零$G$分次Betti数随着$t_i$的增大而呈现渐近线性行为.
2013-07-01 math.AC math.AG
Betti numbers of multigraded modules of generic type
设$R=\Bbbk[x_1,...,x_m]$是域$\Bbbk$上具有标准$\mathbb Z^m$ -分次（多分次）的多项式环，$L$是Noether多分次$R$ -模，$β_{i,α}(L)$是多次$\a$的$L$的（多分次）Betti数.我们介绍的概念，一般（相对于$L$）multidegree，和概念的多阶模的一般类型。当多阶$\a$是通用的（相对于$L$），我们提供了一个Hochster型公式$β_{i,α}(L)$的维数与$L$有关的某个单纯复形的约化同调。这使我们能够证明，有一个同调度$i\ge 1$，其中$β_{i,α}(L)$是非零的，在这个同调度的贝蒂数是$β$ -不变量的某个子矩阵的$L$。特别是，这提供了一个精确的组合描述的所有多级贝蒂数的$L$时，它是一个多级模块的通用类型。
2010-04-30 math.AC
On the Stability of Bass and Betti Numbers under Ideal Perturbations in a Local Ring
University of Education, Hue University（顺化大学教育学院）
该研究在Noether局部环框架下，针对有限生成模上的J-滤正则序列，给出显式阈值N，证明当序列被极大理想N次幂中的元素扰动时，对应商模的Bass数与Betti数保持稳定，为理想扰动下的同调不变量研究提供定量结果。
2026-09-24 math.AC
Free resolutions of parameter ideals over some rings with finite local cohomology
设$R$是Noether局部环.我们考虑如下问题：是否存在整数$n$，使得由包含在极大理想的$n$次幂中的参数系统生成的所有理想具有相同的贝蒂数？对某些具有有限局部上同调的环，我们得到了一个肯定的回答。
2006-04-08 math.AC
The Ohm-Rush content function II. Noetherian rings, valuation domains, and base change
Ohm-Rush代数的概念及其相关的内容映射与素特征代数、多项式扩张和Stillman猜想的Ananyan-Hochster证明有关。随着进一步的限制（创建越来越多的弱内容，不确定性，内容和高斯代数的专门概念），构造变得更加强大。在这里，我们肯定地解决了我们上一篇文章中关于诺特环上的一个忠实平坦的弱容度代数是否是单调的问题（以及关于一个阿廷环上的这样的代数是否是容度的问题），尽管这两个问题在一般情况下仍然是开放的。我们证明了在Prüfer域上的容度代数映射中，高度保持不变，并且满足维数公式。我们证明了包含的非平凡赋值域是一个内容代数当且仅当值群上的诱导映射是同构，这样的映射诱导素谱同胚。整个例子，包括结果表明，超越域扩张的属性所发挥的微妙作用。
2018-05-09 math.AC
Frobenius Betti numbers and syzygies of finite length modules
设$(R,\mathfrak m)$是维数为$d$的局部（Noether）环，$M$是具有自由分解$G_\bullet$的有限长$R$ -模. De Stefani、Huneke和Núñez-Betancourt探讨了关于$M$的归结性质的两个问题。首先，在特征$p>0$中，Frobenius贝蒂数，$β_i^F(M, R) : = \lim_{e \to \infty} λ(H_i(F^e(G_\bullet)))/p^{ed}$，力pd $_R M < \infty$的消失条件是什么。其次，如果pd $_R M = \infty $，这是否迫使$d+2$ nd或$M$的更高合点具有无限长。对于第一个问题，在相当严格的假设下，他们证明了$d+1$连续消失的弗罗贝纽斯贝蒂数迫使PD $_R M < \infty$。当$d=1$和$R$是CM时，一个消失的Frobenius Betti数就足够了。利用稳定幻影同源性的性质，我们表明，这些结果在一般情况下，即，$d+1$连续消失的Frobenius贝蒂数迫使$_R M < \infty$，并且在$R$是CM的假设下，$d$连续消失的Frobenius贝蒂数就足够了。对于第二个问题，他们获得非常有趣的结果时，$d=1$。特别地，$M$的第三个合点不能有有限的长度。他们的主要工具是，如果$d=1$，则表明如果合宿具有有限长度，那么它是Tor…
2020-01-14 math.AC
Three-Dimensional Manifolds, Skew-Gorenstein Rings and their Cohomology
分次斜交换环在实际中经常出现。这里有两个例子：1）紧致三维流形的上同调环。2)超平面排列的补的上同调环（Orlik-Solomon代数）。给出了分次斜交换环的同调理论的一些应用。特别是，我们发现紧凑的定向3-流形无边界的希尔伯特系列的米田外代数的上同调环的基本群是一个明确的超越函数。这只对3-流形的第一个大的贝蒂数（大于或等于11）是可能的。我们还给出了基本群的上同调环的Ext-代数不是单生成的3-流形的例子。
2010-01-13 math.AC math.RA
Multiplicities and Betti numbers in local algebra via lim Ulrich points
本文研究交换Noether局部环$R$上有限长同调的有限自由复形.重点是复杂的长度$\mathrm{dim}\, R$，这是最小的可能值，特别是对自由分解的模块的有限长度和有限的投射维数。当$R$是严格完全交时，得到了这种短复形的欧拉示性数的下界;当$R$是正素特征域上标准分次代数在其极大理想上的局部化时，得到了这种短复形的Dutta重数的下界.证明的关键思想是构造一个合适的Ulrich模，或者在后一种情况下，构造一个在$R$的有理Grothendieck群中渐近地具有Ulrich性质并具有良好收敛性质的模序列.这样的序列是通过在相关的投射簇上构造适当的层序列而得到的。
2021-09-19 math.AC math.AG
Asymptotic behavior of dimensions of syzygies
设R是交换Noether局部环，M是无限投射维数的N-生成R-模.众所周知，M的合合模的深度最终稳定到R的深度。在本文中，我们调查的条件下，可以作出类似的声明，关于尺寸。特别地，我们证明了如果R是等维的，且M的贝蒂数最终不减，则M的任意充分高合合模的维数与R的维数一致.
2011-10-20 math.AC
Asymptotic behavior of homological invariants of localizations of modules
本文研究交换诺特环上模的商模局部化的同调不变量，证明其内射维数、投射维数、Bass 数与 Betti 数在大整数 n 下稳定或呈多项式增长，且该性质不依赖于素理想的选取。
2023-10-29 math.AC math.RA math.RT
Cominimaxness with respect to ideals of dimension one
设$R$是交换Noether环，$\fa$是$R$的理想，$M$是$R$ -模.证明了若$\Ext^i_R(R/\fa,M)$对所有$i\leq \dim M$都是极小极大，则$R$ -模块$\Ext^i_R(N,M)$对所有$i\geq 0$和任何由$\Supp_R(N) \subseteq V (\fa)$和$\dim N \leq 1$生成的$R$ -模块$N$都是极小极大.作为这个结果的一个结果，我们得到对于任何$\fa$ -挠$R$ -模$M$，$\Ext^i_R(R/\fa, M)$对所有$i\leq \dim M$都是极小极大的，$M$的所有Bass数和所有Betti数都是有限的.这推广了\cite [推论2.7]{BNS 2015}。给出了局部上同调模关于维数至多为1的理想的余极大性的一些等价条件。
2018-01-23 math.AC
Restricting homology to hypersurfaces
研究了交换Noether环$R$上的模$M$相对于表示$R\cong P/I$的同调性质，其中$P$是局部环.证明了$I$中正则元$f$的$M$关于$P/(f)$的Betti序列只依赖于$I/\mathfrak{n} I$中$f$的类，其中$\mathfrak{n}$是$P$的极大理想.应用到理论的支持集在局部代数和模表示理论的基本交换群。
2018-05-09 math.AC math.GR
The resolution of the universal ring for finite length modules of projective dimension two
Hochster建立了交换诺特环$\Cal R$和形式为$0\to \Cal R^{e}\to \Cal R^{f}\to \Cal R^{g}\to 0$的通用分解$\Bbb U$的存在性，使得对于任何交换诺特环$S$和任何等于$0\to S^{e}\to S^{f}\to S^{g}\to 0$的分解$\Bbb V$，存在唯一的环同态$\Cal R\to S$与$\Bbb V=\Bbb U\otimes_{\Cal R} S$。本文假设$f=e+g$是整数环上的多项式环，并利用自由$\Cal P$-模找到了$\Cal R$的分解$\Bbb F$，其中$\Cal P$是整数环上的多项式环.分辨率$\Bbb F$不是最小的;但它是直接的，坐标自由的，并且与特征无关。此外，可以使用$\Bbb F$来计算$\operatorname{Tor}^{\Cal P}_{\bullet}(\Cal R, \Bbb Z)$。如果$e$和$g$都至少为5，则$\operatorname{Tor}^{\Cal P}_{\bullet}(\Cal R, \Bbb Z)$不是自由阿贝尔群;因此，自由$\pmb K\otimes_{\Bbb Z} \Cal P$-模对$\pmb K\otimes_{\Bbb Z} \Cal R$的最小分解中的分次贝蒂数依赖于域$\pmb K$的特征。我们记录的模块中的最小…
2006-07-25 math.AC
Dimension and singularity theory for local rings of finite embedding dimension
本文建立了有限嵌入维数的局部环的一个代数理论。提出了（Krull）维数的几种推广，并利用这些推广了交换代数中的奇异性概念.最后，变体的同调定理被证明持有相等的特性。然后将这一理论应用于Noether局部环，得到：（i）Cohen-Macaulay局部环上Cohen-Macaulay模的贝蒂数的维数和重数的一致界，以及有限生成模的Bass数的相似界;（ii）分别为解析非分歧的、解析不可约的、非混合的、拟非混合的、正规的、Cohen-Macaulay的特征，（3）在混合特征下，当剩余特征或分歧指数相对于维数（以及其他一些数值不变量）较大时的改进新相交定理。
2008-09-30 math.AC math.LO
Some Homological Conjectures Over Idealization Rings
本文证明了理想化环上多个长期存在的同调猜想，包括Auslander-Reiten、Jorgensen-Leuschke等猜想的特定情形，并给出了Zariski-Lipman猜想在Betti数条件下的肯定回答。
2024-05-31 math.AC
Rationality of Equivariant Hilbert Series and Asymptotic Properties
对应的诺特多项式代数$\mathbf{P}$上的FI-或OI-模$\mathbf{M}$可以被认为是多项式环$\mathbf{P}_n$上的相容模$\mathbf{M}_n$的序列，该多项式环的变量数线性地依赖于$n$。为了研究模$\mathbf{M}_n$依赖于$n$的不变量，如果$\mathbf{M}$是分次的，则引入了等变Hilbert级数.如果$\mathbf{M}$也是随机生成的，则证明该级数是一个有理函数.此外，如果这个功能是书面形式减少相当精确的信息有关的不可约因素的分母。这是应用程序的关键。因此，模块$\mathbf{M}_n$的克鲁尔维数最终在$n$中线性增长，而$\mathbf{M}_n$的重数最终在$n$中指数增长。此外，对于任何固定次数的$j$，$\mathbf{M}_n$的次数$j$分量的向量空间维度最终在$n$中多项式地增长。因此，在一个固定的同调度和一个固定的内部度的$\mathbf{M}_n$的任何分次Betti数最终在$n$多项式增长。进一步证明了$\mathbf{M}_n$的Castelnuovo-Mumford正则性和投射维数在$n$中最终都线性增长的猜想.还证明了模$\mathbf{M}$的宽度$n$分量$\mathbf{M}_n$最终是Artin的，可以用它们的等变Hilbert级数来刻画。利用正则语言和有限自动机，给出了计算等变希尔伯特级…
2020-06-23 math.AC math.CO math.RT
