Time optimal control problems for some non-smooth systems
研究了一般形式的非光滑系统的时间最优控制问题。非光滑性是由奇异性引起的。证明了庞特里亚金最大值原理对至少一个最优松弛控制成立。因此，庞特里亚金的最大值原理成立时，最优经典控制是一个唯一的最优松弛控制。通过构造一个辅助控制系统，使原最优经典控制成为其唯一的最优松弛控制，得到原最优经典控制的庞特里亚金最大值原理。存在的结果也被认为是。
2013-09-23 math.OC
Time optimal sampled-data controls for heat equations
本文首先设计了一个具有采样控制的热方程的时间最优控制问题，然后用它来逼近具有分布控制的热方程的时间最优控制问题.从采样控制的角度来看，我们的设计是合理的。并通过相应的半离散（时变）时间最优控制问题，为时间最优分布控制问题的数值求解提供了一条正确的途径。研究这样一个时间最优采样控制问题是不容易的，因为它可能有无穷多个最优控制。我们发现这个问题之间的连接，一个最小范数采样数据控制问题和最小化问题。并得到了这些问题的一些性质。在此基础上，我们不仅建立了时间最优采样控制问题和时间最优分布控制问题之间关于采样周期的最优时间和最优控制的误差估计，而且证明了这种误差估计在某种意义下是最优的.
2017-01-22 math.OC
Optimal Control of McKean-Vlasov equations with controlled stochasticity
本文针对扩散项含控制的SDE驱动的随机最优控制问题，借助Fokker-Planck方程将其转化为带开环控制器的确定性问题，以分析最优反馈控制器的存在性。
2024-11-04 math.OC
Empowering Optimal Control with Machine Learning: A Perspective from Model Predictive Control
长期以来，解决复杂的最优控制问题一直面临着计算挑战。机器学习的最新进展为我们提供了应对这些挑战的新机会。本文以模型预测控制（一种流行的最优控制方法）为例，综述了利用机器学习技术增强最优控制求解器能力的最新进展。我们还讨论了应用机器学习开发更鲁棒的最优控制算法时遇到的一些主要挑战。
2022-07-20 math.OC
Linear Programming Based Optimality Conditions and Approximate Solution of a Deterministic Infinite Horizon Discounted Optimal Control Problem in Discrete Time
最近的研究表明，离散时间的确定性无限时域折扣最优控制问题与某个无限维线性规划问题及其对偶问题密切相关。在本文中，我们使用这些结果建立这个最优控制问题的最优性条件，并应用它们来构造一个近最优控制。
2018-02-16 math.OC
On average control generating families for singularly perturbed optimal control problems with long run average optimality criteria
本文的目的是开发工具，用于分析和构造具有长期平均最优性准则的奇异摄动（SP）最优控制问题的近最优解。我们利用的思想是，首先渐近近似一个给定的问题的最优控制的SP系统的某一平均最优控制问题，然后将此平均问题转化为一个无限维（ID）的线性规划（LP）问题，然后近似后者的半无限LP问题。我们表明，这些半无限LP问题的最优解和它们的最优解（可以找到一个可用的LP软件的修改的帮助下）允许一个构建近最优控制的SP系统。我们证明了一个数值例子的建设。
2014-08-19 math.OC
A varying terminal time structure for stochastic optimal control under constrained condition
在本研究中，我们提出了一个变终端时间结构的状态约束下的最优控制问题，其中的终端时间通过约束条件的变化跟随控制。针对这一新的最优控制问题，我们研究了一种新的随机最大值原理，它不同于传统的状态约束下的最优控制问题。通过这种新的随机最大值原理可以验证最优控制模型的最优对。
2020-06-16 math.OC
Sensitivity analysis of value functional of fractional optimal control problem with application to construction of optimal feedback control
本文研究了Caputo分数阶微分方程描述的最优控制问题，证明了其值泛函具有阶为α的方向可微性，并据此提出了一种构造最优反馈控制策略的新方法。
2022-10-12 math.OC
Two equivalence theorems of different kinds of optimal control problems for Schrödinger equations
本文对内控薛定谔方程的不同类型的最优控制问题建立了两个等价定理。第一个是关于极小范数与极小时间控制问题的等价性。(The最小时间控制问题也称为第一类最优时间控制问题。上述两类问题的目标是状态空间的起源。第二类讨论了最优目标控制问题、最优范数控制问题和第二类最优时间控制问题这三类最优控制问题的等价性。这两个定理分别是在[18]和[17]中针对热方程建立的。
2013-01-27 math.OC
Optimal control on finite graphs: asymptotic optimal controls and ergodic constant in the case of entropic costs
对于连续时间有限图上的最优控制问题，动态规划原理导致了以非线性常微分方程系统为特征的值函数。在本文中，我们考虑的情况下，熵成本的非线性微分方程可以转化为线性的，由于变量变换与熵和指数之间的经典对偶。当图是连通的时，我们证明了用经典的矩阵分析工具可以很容易地计算渐进最优控制和各态历经常数。
2022-12-28 math.OC
Analysis of optimal control problems of semilinear elliptic equations by BV-functions
研究了有界变差空间中具有控制代价的半线性椭圆型方程的最优控制问题。基于BV的最优控制有利于分段恒定，因此“简单”的控制，具有很少的跳跃。分析了最优控制的存在性，一阶和二阶最优性的充分必要最优性条件。特别注意的是在BV-范数的定义中的向量范数的选择的效果，最佳的原始和伴随变量。
2017-10-25 math.OC
The connection between discrete and continuous state constraints optimal control systems: the deterministic case
本研究考虑连续状态限制下由常微分方程驱动的最优控制问题。从操作的角度，我们引入了一个离散状态约束最优控制问题，并证明了这个离散状态约束最优控制问题是原问题的一个近似最优控制问题。此外，我们证明了近最优控制问题的最优解收敛到原问题的最优解。最后，我们用一个线性二次最优问题来验证本文的主要结果。
2018-12-02 math.OC
Optimal Control of Stationary Doubly Diffusive Flows in Bounded Lipschitz Domains: Analysis and Numerical Approximation
Louisiana State University（路易斯安那州立大学）；Indian Institute of Technology, Roorkee（印度理工学院鲁尔基分校）
本文研究Lipschitz域上定常双扩散流的带约束分布式最优控制，通过低假设适定性分析证明二次型代价泛函最优控制存在性，推导一阶必要与二阶充分最优性条件并验证参考控制局部最优性。
2026-11-03 math.OC
Verification theorem and construction of $ε$-optimal controls for control of abstract evolution equations
本文研究了抽象发展方程，包括一类半线性偏微分方程最优控制的动态规划方法。我们引入并证明了一个验证定理，它提供了一个最优性充分条件。证明了动态规划的次最优性和超最优性原理，并给出了$ε$ -最优控制的显式构造.
2007-06-10 math.OC
A locking-free optimal control problem with $L^1$ cost for optimal placement of control devices in Timoshenko beam
本文用有限元法研究和分析了一个带有$L^1$控制的连续梁的最优控制问题的数值逼近。从实际的角度来看，列入的$L^1$ -范数的成本功能是有趣的梁振动模型的情况下，因为稀疏性强制执行的$L^1$ -范数是非常有用的本地化致动器或控制设备。控制变量的离散化采用分段常数函数。状态和伴随状态由线性有限元的\emph{locking free scheme}近似。类似于纯$L^2$ -范数惩罚最优控制，证明了这种近似具有最优收敛阶，且不依赖于梁的厚度。
2017-07-24 math.OC
Discrete Time Mean-Field Stochastic Linear-Quadratic Optimal Control Problems
本文首先给出了离散时间平均场随机线性二次型最优控制问题可解的充要条件。然后，通过引入几个有界线性算子序列，将问题转化为一个算子随机LQ问题，其中的最优控制是一个线性状态反馈。此外，从最优控制的形式，该问题转化为矩阵动态最优化问题。通过求解这个最优化问题，我们得到了最优反馈增益，从而得到了最优控制。最后，通过完成平方，上述控制的最优性进行了验证。
2016-07-22 math.OC
Optimal Control for Controllable Stochastic Linear Systems
研究了一类约束随机线性二次型最优控制问题，其中终态是固定的，初态被约束为位于一个随机线性流形上.研究了随机线性系的能控性。然后通过考虑一个参数化的无约束倒向LQ问题和一个最优参数选择问题，得到了系统的最优控制。我们的结果的一个显着特点是，而不是解决一个方程，涉及的衍生物的参数，最佳参数的特点是由一个代数方程。
2019-06-09 math.OC
Measurement-Feedback Control with Optimal Data-Dependent Regret
受在线学习的启发，数据相关后悔最近被提出作为控制器设计的一个标准。在遗憾-最优控制范例中，因果控制器被设计为最小化对假设的最优非因果控制器的遗憾，该假设的最优非因果控制器选择全局成本最小化的控制动作序列给定非因果访问的干扰序列。我们扩展遗憾-最优控制更具挑战性的测量反馈设置，在线控制器必须与最优非因果控制器竞争，而不直接观察状态或驱动干扰。我们证明了没有测量反馈控制器可以有界的竞争比或遗憾，这是有界的测量扰动的路径长度。然而，我们推导出一个控制器的遗憾有最佳的依赖于联合能源的驱动和测量干扰，和另一个控制器的遗憾有最佳的依赖于路径长度的驱动干扰和能量的测量干扰。本文介绍的关键技术是在一个综合系统中将遗憾-最优测量-反馈控制化为$H_{\infty}$ -最优测量-反馈控制。我们提出了数值模拟，说明我们提出的控制算法的有效性。
2022-09-14 math.OC
Optimal control via second order sensitivity analysis
这篇短文说明了如何用二阶灵敏度分析解决最优控制问题
2019-05-21 math.OC
Pontryagin's maximum principle and second order optimality condition for optimal control problems for the nonlocal Cahn-Hilliard-Navier-Stokes systems in two dimensions
在这项工作中，我们解决了一些最优控制问题有关的两个等温，不可压缩，immisible流体在二维有界区域的发展。将分布式最优控制问题表示为受控非局部Cahn-Hilliard-Navier-斯托克斯方程下的适当代价泛函的最小化。利用庞特里亚金最小值原理描述了问题的一阶最优性必要条件，并证明了问题的二阶最优性充要条件。
2019-02-16 math.OC
The Boltzmann-Hamel Equations for Optimal Control
我们将Boltzmann-Hamel方程推广到最优控制的情形，得到了运动学和动力学非完整最优控制问题的一组方程。特别是，我们将证明动态最优控制问题可以写成4 n-2 m个一阶运动微分方程的最小集合。
2007-06-29 math.OC
Stochastic Linear Quadratic Optimal Control with General Control Domain
本文考虑控制域为非凸的随机线性二次型最优控制问题。利用泛函分析和凸扰动法，建立了一个新的最大值原理。通过算例说明了所提出的最大值原理的应用。
2017-10-31 math.OC
Optimal control of second-order integral equations
我们分析多个Fredholm和Volterra积分方程的最优控制问题。这些都是非庞特里亚金型的最优控制问题，即庞特里亚金型的极值原理不成立。得到了最优性的一阶必要条件和二阶充要条件。我们说明与应用程序的一阶和二阶Volterra双线性控制问题。
2019-04-13 math.OC
Optimal control of the Poisson equation with transport regularization: Properties of optimal transport plans and transport map
本文研究泊松方程约束下以输运距离为正则项的Borel测度最优控制问题，证明了解的存在性并导出一阶必要条件，进而利用最优输运计划揭示最优控制的结构性质。
2025-06-03 math.OC
Tractable Dual Optimal Stochastic Model Predictive Control: An Example in Healthcare
针对非线性系统，基于随机最优控制的输出反馈随机模型预测控制，由于需要求解有限时域随机最优控制问题，在计算上是困难的。然而，解决这个问题会导致一个最佳的探测性质的控制律，称为双重控制，它权衡了勘探和开采的好处。在实践中，随机模型预测控制的棘手性通常通过将潜在的随机最优控制问题替换为更顺从的近似代理问题来克服，然而，这会损失控制信号的最优探测性质。虽然在一些方法中可以叠加探测，但这是次优地完成的。在本文中，我们研究近似的系统动力学的部分可观察的马尔可夫决策过程与自己的有限时域随机最优控制问题，这可以解决的最优控制政策，实施滚动时域时尚。该过程使得能够在控制动作中保持探测。我们进一步讨论了医疗保健决策中的一个数值例子，突出了随机最优滚动时域控制的对偶性。
2017-04-25 math.OC
Optimal Control of the 2D Evolutionary Navier-Stokes Equations with Measure Valued Controls
本文考虑二维演化Navier-Stokes系统的最优控制问题。寻找稀疏性，我们把控制作为时间的函数，在Borel措施的空间中取值。成本泛函不直接涉及控制，但我们假设一些约束。我们证明了控制问题的适定性，并得到了局部最优控制的充要条件。
2020-07-08 math.OC
Bilevel optimal control: existence results and stationarity conditions
众多现实应用的数学建模导致了具有两个决策者的分层最优化问题，其中至少一个决策者必须解决普通或偏微分方程的最优控制问题。这种模型被称为双层最优控制问题。在这里，我们首先回顾了一些不同的特点，两层最优控制包括重要的应用，存在性结果，解决方案，和最优性条件。之后，我们专注于一个特定的问题类中出现的参数的目标功能的最优控制问题的偏微分方程必须重建。在验证解的存在性后，利用松弛方法中的基本参数最优控制问题的最优值函数导出必要的最优性条件。
2019-06-19 math.OC
Norm and time optimal control problems of stochastic heat equations
本文研究随机热方程的范数与时间最优控制，刻画范数最优控制并讨论性质，证明两类最优控制的等价性及时间最优控制的 bang-bang 性质，填补随机情形研究空白。
2023-08-16 math.OC
A Structured Optimal Controller with Feed-Forward for Transportation
研究了路图上一类简单运输模型的最优控制问题。我们给出了一个封闭的形式解决方案的最优控制器，它也可以占计划干扰使用前馈。最优控制器是高度结构化的，这允许控制器仅使用本地通信来实现，通过两次扫描图来进行。
2022-01-28 math.OC
Value functional and optimal feedback control in linear-quadratic optimal control problem for fractional-order system
本文研究线性Caputo分数阶系统的有限时域二次最优控制问题，通过求解带分数共变导数的Hamilton-Jacobi-Bellman方程，给出了价值泛函显式公式及构造ε-最优控制的逐步反馈方法。
2022-08-30 math.OC
Symmetric Discrete Optimal Control and Deep Learning
本文研究离散最优控制与反向传播及深度学习的关联，重点给出离散刚体方程的对称表示并分析伴随轨道上的最优流。
2024-04-09 math.OC
Stochastic Optimal and Time-Optimal Control Studies for Additional Food provided prey-predator Systems involving Holling Type-III Functional Response
本研究针对具有Holling Type-III功能反应的附加食物捕食-被捕食系统，分别采用拉格朗日线性二次控制与时间最优控制框架，利用随机最大值原理证明最优控制存在，并通过随机前向-后向扫描数值模拟验证，为生物保护与害虫管理提供理论支撑。
2022-07-14 math.OC
Pointwise second-order necessary conditions for stochastic optimal controls, Part I: The case of convex control constraint
本文是我们建立随机最优控制的逐点二阶必要条件系列工作的第一部分。在该部分中，漂移项和扩散项都可以包含控制变量，但是假设控制区域是凸的。在Malliavin演算的一些假设下，我们建立了经典意义下的随机奇异最优控制的必要条件。
2014-09-09 math.OC
An infinite-horizon optimal control problem and the stability of the adjoint variable (in Russian)
在无限时域最优控制问题中，伴随变量的稳定性意味着伴随变量沿着最优解在无穷远处消失。
2010-12-16 math.OC
Second Order Optimality Conditions for Optimal Control Problems Governed by 2D Nonlocal Cahn Hilliard Navier Stokes Equations
本文提出了一个关于二维有界区域内两种等温、不可压缩、不互溶流体演化的分布式最优控制问题。分布式最优控制问题的框架是一个合适的成本功能的控制非局部Cahn-Hilliard-Navier-斯托克斯方程的最小化。我们利用庞特里亚金最小值原理描述了最优性的一阶必要条件，并证明了问题的二阶最优性的充分充要条件。
2018-09-25 math.OC
Strong local optimality for generalized L1 optimal control problems
本文分析了控制仿射最优控制问题，其代价泛函包含控制的绝对值。与这样的系统相关联的庞特里亚金极值是由（可能的）爆炸弧与奇异弧和非激活弧（即控制为零的弧）的串联给出的。在这里，我们考虑庞特里亚金极值给出了一个bang-inactive-bang级联。我们建立了充分的最优性条件，这样的极值，在一些正则性条件和适当的有限维二阶变分的收敛性。
2018-07-03 math.OC
Infinite horizon sparse optimal control
讨论了一类具有$0<p\leq 1$的$L^p$型代价泛函的无限时域最优控制问题.研究了凸$p=1$情形和非凸$0<p<1$情形下最优控制的存在性，并分析了$L^p$型罚函数所促进的最优控制的稀疏结构.提出了一种动态规划方法来数值逼近相应的稀疏最优控制器。
2016-02-29 math.OC
Optimal control problems with control complementarity constraints
研究了一类特殊的控制函数具有互补约束的最优控制问题。证明了当控制空间为一阶索伯列夫空间时，这类问题具有最优解。在导出强平稳型最优性必要最优性条件的基础上，提出了一种基于Fischer-Burmeister函数的惩罚方法，并分析了其理论性质.最后，数值处理的问题进行了讨论和计算实验的结果。
2019-01-21 math.OC
Second Order Optimality Conditions for Optimal Control Problems of Stochastic Evolution Equations
本文建立了无穷维随机发展方程最优控制问题的二阶最优性最优性条件。控制作用于漂移项和扩散项，并且控制区域是凸的。松弛和$V$转置解的概念（在我们以前的作品中介绍）的运营商值向后随机发展方程推导这些最优性条件。二阶伴随方程的修正部分在我们的二阶最优性条件中起着重要的作用，而修正部分在一阶Pontryagin型随机最大值原理中是不存在的.
2018-11-18 math.OC
Optimal Control of Continuity Equations
考虑连续性方程的一个最优控制问题。“控制器”的目的是在给定时刻在目标设定内最大化总质量。建立了最优控制的存在性。对于该问题的一个特殊情形，即初始分布是绝对连续的光滑密度分布，目标集具有一定的正则性，导出了一个必要的最优性条件.证明了对于一般问题，可以构造一个满足最优性必要条件的摄动问题，并且对于该摄动问题的任何最优控制，都是原问题的近似最优控制.
2015-06-30 math.OC
Second-Order Necessary Conditions for Optimal Control of Semilinear Elliptic Equations with Leading Term Containing Controls
考虑一类散度型半线性椭圆型方程的最优控制问题。状态方程的首项和半线性项都含有控制项。著名的Pontryagin型最大值原理是最优控制的一阶必要条件。当这样一个一阶必要条件在某种意义上是奇异的时，某种类型的二阶必要条件就会自然出现。本文的目的是探讨这类条件对我们的最优控制问题。
2017-03-25 math.OC
Second order conditions for optimality and local controllability of discrete-time systems
研究可逆离散控制系统的局部能控性和最优控制问题。给出了最优性的二阶必要条件和局部能控性的充分条件。这些条件是用几何术语表示的，使用自然地与系统相关联的向量场。最优问题的Hessian是根据系统的向量场的李括号来计算的。
2013-01-28 math.OC
Optimality Conditions for Semilinear Parabolic Equations with Controls in Leading Term
考虑一类半线性抛物型偏微分方程的最优控制问题。控制变量出现在方程的首项中。用尖峰变分法建立了最优控制的必要条件。还说明了具有状态约束的问题的结果。
2010-08-19 math.OC
Summation method in optimal control problem with delay
本文描述了一种构造分布时滞微分方程零能控性问题最优解的求和方法
2021-12-26 math.OC
Online Optimal State Feedback Control of Linear Systems over Wireless MIMO Fading Channels
考虑无线MIMO衰落信道下线性系的最优控制问题，其中MIMO无线衰落和遥控器的随机接入可能导致闭环控制系统的间歇可控或不可控。将随机接入MIMO衰落信道下的最优控制设计表示为一个无限时域平均代价马尔可夫决策过程（MDP），并提出了一种新的状态约简技术，将最优性条件转化为约简状态的时不变Bellman最优性方程.通过对约化状态Bellman最优性方程的分析，给出了最优控制解的存在唯一性的封闭刻画.具体地说，在闭环系统几乎必然可控的情况下，我们证明了最优控制解总是存在的，并且是唯一的。在MIMO衰落信道和遥控器的随机接入破坏闭环可控性的情况下，提出了一种新的可控和不可控半正定（PSD）锥分解方法，该方法通过对MIMO衰落信道污染的控制输入矩阵进行奇异值分解（SVD）得到PSD锥分解.基于分解的细粒度约化状态Bellman最优性方程，进一步给出了最优控制解存在唯一的封闭形式的充分条件.该闭环充分条件揭示了即使闭环系统具有间歇可控性或几乎必然不可控性，最优控制作用仍然存在的事实。
2021-04-19 math.OC
Stochastic maximum principle for optimal control of SPDEs
本文在一般情况下（当控制域不需要是凸的，扩散系数可以包含一个控制变量时），给出了随机偏微分方程最优控制的随机最大值原理.
2012-06-11 math.OC
Optimal control of unilateral obstacle problem with a source term
考虑一类带椭圆型变分不等式的障碍问题的最优控制问题。在$H^{2}$中假设了作为控制函数的障碍函数。我们使用一个近似的技术来引入一族由变分方程控制的问题。我们证明了最优解的存在性，并给出了必要的最优性条件。
2008-03-13 math.OC
Switching in time-optimal problem. The 3-D case with 2-D control
研究了二维控制参数取值于圆盘上的三维控制仿射系统的时间最优控制的局部结构和轨迹。特别地，我们给出了最优控制是光滑的或只有孤立跳跃间断的充分条件。
2016-05-22 math.OC
Indefinite Stochastic Linear-Quadratic Optimal Control Problems with Random Coefficients: Closed-Loop Representation of Open-Loop Optimal Controls
研究了有限时间内随机线性二次型最优控制问题，其中允许控制系统的系数是随机的，且允许代价泛函中的权矩阵是随机的和不定的.它示出，与希尔伯特空间的方法，对于开环最优控制的存在，成本功能（相对于控制）的凸性是必要的;和一致的凸性，这是稍微强，原来是足够的，这也导致了唯一的可解性相关联的随机Riccati方程。此外，它表明，开环最优控制承认一个闭环表示。此外，还得到了代价泛函一致凸的若干充分条件，这些条件比加权矩阵值过程是正（半）定过程的经典条件具有严格的一般性.
2019-11-10 math.OC
General Doubly Stochastic Maximum Principle and Its Applications to Optimal Control of SPDEs
本文证明了在凸控制域上由拟线性随机热方程描述的系统的最优控制的充要最大值原理，其中所有系数都包含控制变量。为此，研究了完全耦合正倒向双随机系统的最优控制问题。我们应用我们的NSMPs处理一类正倒向双随机线性二次最优控制问题和一个随机偏微分方程（简称SPDE）的最优控制问题。
2012-10-31 math.OC
Impulse and sampled-data optimal control of heat equations, and error estimates
研究了具有周期终态约束的内控多维热传导方程在所有可能解上极小化某个二次泛函的最优控制问题。这个问题有唯一的最优解，它可以用一个由庞特里亚金最大值原理导出的最优性系统来表征。我们定义了这个最优控制问题的两个近似。第一个是一个脉冲近似，并考虑一个系统的线性热方程与脉冲控制。第二个是通过采样和保持程序应用到控制，导致到一个采样数据近似的受控热方程。我们证明了这两个问题有一个唯一的最优解，我们建立精确的误差估计的最优控制和最优状态的初始问题，其脉冲和采样数据的近似。
2015-09-19 math.OC
Accessibility Properties of Abnormal Geodesics in Optimal Control Illustrated by Two Case Studies
本文从化学网络的几何和最优控制两个方面分析了时间最优控制中的异常测地线与时间极小值函数的可达性和正则性之间的关系。
2022-02-23 math.OC
Second-order KKT optimality conditions for multi-objective optimal control problems
本文研究了一类带混合逐点约束的多目标最优控制问题在Pareto意义下的Karush-Kuhn-Tucker型局部最优解的二阶最优性条件.为了处理这些问题，我们首先推导出抽象的多目标最优控制问题的二阶最优性条件，这些条件满足Robinson约束规格。然后我们将所得结果应用于我们的具体问题。所得到的结果的证明是直接的，独立的，而不使用标量化技术。
2017-12-28 math.OC
Optimal control on graphs: existence, uniqueness, and long-term behavior
连续时间随机最优控制的文献很少涉及离散状态空间的情况。本文给出了有限图上连续时间马尔可夫链的最优控制的一般框架。特别是，我们提供的长期行为的价值函数和最优控制的结果，以及相关的遍历Hamilton-Jacobi方程的结果。
2019-12-04 math.OC
