In this paper, we study planar drawings of maximal outerplanar graphs with the objective of achieving small height. A recent paper gave an algorithm for such drawings that is within a factor of 4 of the optimum height. In this paper, we substantially improve the approximation factor to become 2. The main ingredient is to define a new parameter of outerplanar graphs (the so-called umbrella depth, obtained by recursively splitting the graph into graphs called umbrellas). We argue that the height of any poly-line drawing must be at least the umbrella depth, and then devise an algorithm that achieves height at most twice the umbrella depth.
Streamed Graph Drawing and the File Maintenance Problem
在流式图形绘制中，平面图G作为数据流递增地给出，并且在每个新的边被释放之后必须更新G的直线图。为了保持心理地图，每次更新后，对绘图的更改应最小化，Binucci et al.show认为，如果不允许边缘移动，指数区域对于树的一些流图绘图是必要的和足够的。我们表明，一些流图图纸可以，事实上，多项式区域，包括平面流图图纸的树，树地图，和outerplanar图，如果我们允许少量的坐标移动后，每次更新。我们的算法涉及一个有趣的连接到一个经典的算法问题-文件维护问题-我们也给这个问题的新算法在一个框架中，允许大容量内存移动。
Algorithms and Experiments Comparing Two Hierarchical Drawing Frameworks
我们提出的算法，扩展了基于路径的分层绘图框架，并给出实验结果。我们的算法在$O(km)$时间内运行，其中$k$是路径的数量，$m$是图的边的数量，并且提供比原始的基于路径的框架更好的上界：例如，所得到的图形的高度等于$G$的最长路径的长度，而不是$n-1$，其中$n$是节点的数目。此外，我们扩展了这个框架，通过捆绑和绘制的DAG在$O(m + n \log n)$时间的所有边缘，使用最小的额外宽度每个path.We还提供了一些比较，一个众所周知的分层绘图框架，广泛称为杉山框架，作为概念的证明。实验结果表明，我们的算法产生的图纸是更好的面积和数量的弯曲，但在稀疏图交叉差。因此，我们的技术提供了一个有趣的替代绘制层次图。最后，我们提出了一个$O(m + k \log k)$时间算法，计算一个特定的顺序的路径，以减少总的边缘长度和交叉和弯曲的数量。
Improved Approximation Algorithms for Box Contact Representations
我们研究了以下几何表示问题：给定一个图，其顶点对应于具有固定尺寸的轴对齐的矩形，在平面上没有重叠的矩形，使得两个矩形接触，如果图包含它们之间的边缘。这个问题被称为\textsc{Contact Representation of Word Networks}（\textsc{Crown}），因为它形式化了绘制单词云背后的几何问题，其中语义相关的单词彼此接近。已知\textsc{Crown}是NP难的，并且存在用于优化版本\textsc{Max-Crown}的某些图类的近似算法，其中实现每个期望的邻接产生一定的收益。我们提出了第一个$O(1)$-近似算法的一般情况下，当输入是一个完整的加权图，并为二分的情况下。由于子图的实现邻接必然是平面的，我们还考虑了几个平面图类（即明星，树，outerplanar，平面图），改进的已知结果。对于某些图形类，我们还描述了改进的未加权的情况下，每个邻接产生相同的利润。最后，我们证明了这个问题是APX-困难的有界最大度的二部图。
