在"Subgroups of free投射有限群and large subfields of Q"（Israel J.Math.39（1981），no.1 - 2，pages25 - 45; MR 617288）中，A. Lubotzky和L. van den Dries提出了一个问题：如果有限指数子群上的秩函数满足Schreier著名的指数秩关系，那么一个由剩余生成的有限群是否必然是自由的（见第34页的问题2）。我在1980年回答了这个问题，但到目前为止，我还没有发表我的答案。这条注释填补了这个遗漏;它给出了我原始证明的修正和删节版本。

2018-01-09math.GR

李代数和群的Schreier型公式和两种增长标度

Schreier's type formulae and two scales for growth of Lie algebras and groups

设$G$是秩为$n$的自由群，$H\subset G$是它的有限指数子群.则$H$也是自由群，$H$的秩$m$由Schreier公式$m-1=(n-1)\cdot|G:H|.$确定。但是对于自由李代数，并不存在一个直接类似于施赖埃公式的公式，因为任何有限余维的子代数都有无穷多个生成元。但是自由李代数的适当的Schreier公式是以形式幂级数的形式存在的。也有一个版本的指数母函数。本文综述了这些公式如何应用于研究1）双生成李代数和群的增长性和2）李代数簇的余维增长性。首先，这些公式允许为自由可解（或更一般地，多幂零）李代数指定生成相应类型的函数的显式公式。其次，这些显式公式的生成函数被用来获得这两种类型的增长的渐近。这些结果可以看作是自由李代数和群的Witt公式的类似结果。在李代数的情况下，我们得到了两个尺度的各自类型的增长。我们还简要地提到了其他类型的线性代数的增长性的情况。

2022-02-04math.COmath.GRmath.RA

当Schrier横截面变得狂野

When Schrier transversals grow wild

通过$F$中$H$的Schreier横截，将关于自由群$F$的有限指数子群秩的Schreier公式推广到任意（甚至无限生成）子群$H$.秩公式也可以用$H$的共生表示。我们引入了一个自由群$F$的子群$H$的秩增长函数$rk_H(i)$. $rk_H(i)$被定义为由长度小于或等于$i$的元素（相对于$F$的生成元）生成的$H$的子群的秩，并且它等于$H$的陪集图的子图的基本群的秩，其由从$1$开始的长度为$\leq i$的路径组成。当$H$是超正规的，即包含一个非平凡的正规子群的$F$，我们证明了它的秩增长是等价的共生$H$。一个特殊的情况是已知的结果，一个supernormal子群的$F$是有限的指数当且仅当它是可再生的。特别地，当$H$正常时，则组$G=F/H$的增长等同于$H$的等级增长。一个Schreier断面构成$H$的陪集图的一棵生成树，因而它的拓扑结构是单纯复形的一个可收缩生成子复形.含有可收缩生成子复形的$d$维单纯复形具有一束$r$ $d$ -球的同伦类型.当这些复形也是$n$ -正则时，则$r$可以通过将秩公式（适用于Schreier横截）推广到更高的维度来计算。

1994-12-28math.GR

无限有限生成挠群的一个简单构造

A simple construction of infinite finitely generated torsion groups

本文利用 Nielsen-Schreier 指数公式，为 Golod 关于存在无限有限生成挠群的定理提供了一个足够简单、可纳入标准群论课程的新证明。

2023-05-31math.GR

nilpotent群作用于一维紧致流形的临界正则性

Critical regularity of nilpotent groups acting on one-dimensional compact manifolds

研究nilpotent群在闭区间或半开区间及圆上的忠实微分作用的临界正则性，通过代数方法推导出表达式，推广了先前成果。

2026-03-30math.DSmath.GR

希尔伯特定理90的群论版本

A group theoretical version of Hilbert's theorem 90

证明了对于群$G$，$G/N$循环的正规子群$N$，映射$N^{\mathrm{ab}}\to G^{\mathrm{ab}}$的核满足经典的Hilbert 90性质（参见. Thm. A）。因此，如果$G$是无扭生成的，$|G:N|<\infty$，并且所有阿贝尔群$H^{\mathrm{ab}}$，$N\subseteq H\subseteq G$都是无扭的，那么$N^{\mathrm{ab}}$必须是$G/N$的伪置换模（参见。Thm. B）。从定理A还推导出传递核和余核的阶之间的非平凡关系，其确定希尔伯特-铃木乘子（cf. Thm. C）。转换到数论的背景下，人们得到希尔伯特定理94的强形式。在$G$是随机生成的并且$N$在$G$中具有素数索引$p$的情况下，存在“广义Schreier公式”，其涉及$G$和$N$的无挠秩以及传递核和协核的阶的比率（参见图10）。Thm. D）。

2015-02-04math.GRmath.KT